运输问题及解法

Am+1 0 …… 0
a1
M
am
am 1 bj ai
四 应用举例
由于在变量个数相等的情况下，表上作业法的计算远比单纯 形法简单得多。所以在解决实际问题时，人们常常尽可能把 某些线性规划的问题化为运输问题的数学模型。下面介绍几 个典型的例子。
例3 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表3-29 所示。又如果生产出来的柴油机当季不交货的，每 台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。 要求在完成合同的情况下，作出使该厂全年生产(包 括储存、维护)费用最小的决策。
1
1
这两种情形都 a可 i 以 bj的 化形 为式来
求解
二.运输问题的模型产销平衡源自题模型M i n Z c ij x ij
j
x ij a i
(
p
)
x ij b j
i
x ij 0
将约束方程式展开可得
x11 L x1n
x21 L x2n
O
x11
x21 L
xm1 L xmn xm1
用线性规划法处理此问题。
设由产地i到销地j的运量为xij， 产销平衡表
模型为：
销地
min z= 3x11+11x12+3x13+10x14 产 地
B1 B2 B3 B4 产 量
+x21 +9x22 +2x23 +8x24
A1
7
+7x31 +4x32+10x33+5x34
A2
4
x11+x12+x13+x14=7 x21+x22+x23+x24=4 x31+x32+x33+x34=9 x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5
季度 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
生产能力(台) 25 35 30 10
单位成本(万元) 10.8 11.1 11.0 11.3
解 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货， 所以设xij为第i季度生产的用于第j季度交货的柴油机 数。根据合同要求，必须满足
x11 10
x12 x13
x22 x23
原理：设有运输问题
M i n Z
c ij x ij
j
x ij a i
(
p
)
x ij b j
i
x ij 0
的对偶问题为
C
M ax W aiui b jv j
(d )
u
i
vj
cij (mn个 约 束 )
ui , v j为 自 由 变 量
C B B 1 是 对 偶 问 题 的 解 ， C B B 1 （ u 1 , u 2 , L u m ， v 1 , v 2 , L v n ）
n个销售地B1，，Bn，销量分别是: b1，，bn，
m
n
产销平衡,即 ai bj,由Ai Bj的运价为cij。
i1
j1
问:应如何调运使总费用最省?
即求Ai Bj的运量xij，使运费可达极小化。
2.产销不平衡问题
此时分为两种情形来考虑：
m
n
供不应求：即产量小于销量时有 ai bj
1
1
m
n
供过于求：即产量大于销量时有 ai bj
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产 量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
4 37
A1
A2
3
1
4
A2
A3
6
39
A3
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
销量 3 6 5 6
初始方案运费 Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86(元)
表上作业法要求，调运方案的数字格必须 为m+n-1个，且所有数字格不构成闭回路。一 般，用最小元素法给出的方案符合这一要求。
产大于销的产销量表
B1 …… Bn
Bn+1
A1
a1
M
Am b1 ……
M
am
bn bn1 ai bj
产大于销的单位运价表
B1 …… Bn
A1 C11
C1n
Bn+1 0
M
M
M
M
Am Cm1
Cmn
0
2.销大于产的情况：
M in Z C X
m
x ij b j
i1
x ij
ai
x ij 0
添加松弛变量xm+1j
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步 骤如下：
1.确定一个初始可行调运方案。可以通过 最小元素法、Vogel 法来完成；
2.检验当前可行方案是否最优，常用的方 法有闭回路法和位势法，用这两种方法 计算出检验数，从而判别方案是否最优；
3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方 案，常采用闭回路法。
（Ⅰ）运输问题的常用解法： 最小元素法（确定初始方案）→闭回路法（检
M in Z C X
m 1
x ij
bj
i1
x ij
ai
x ij 0
同理，此时xm+1j的意义为销售短缺的量，同样，Am+1 不存在， cm+1j为0。
销大于产的产销量表
B1
……
Bn
A1
M
Am Am+1
b1
……
bn
销大于产的单位运价表
B1 …… Bn
A1 C11
C1n
M
M
M
Am Cm1
Cmn
15 x33
25
x14 x24 x34 x44 20
又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴油机 数不可能超过该季度的生产能力，故又有：
x11 x12 x13 x14 2 5
x22 x23 x24 3 5 x33 x34 3 0
x44 1 0
第i季度生产的用于j季度交货的每台柴油机的实际 成本cij应该是该季度单位成本加上储存、维护等费 用。cij的具体数值见表3-30。
仍以例一为例：对偶变量
表面上是7个，实际上只 有6个。∴有一个是自由 变量。
销地
产地 A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产 量
4 37
3
1
4
6
39
3 656
B1
B2
B3
B4
i
3 11
A1 1
2
A2
11 9
3
10 1
21 8 0
A3 1 0 7
4
10
12
5 4
vj 1 8 2 9
位势法步骤： ①由有数格cij=ui+vj求得ui和vj （先令u1=0），原有数格 （基变量）的检验数σij=0； ②空格σij= cij — (ui+vj) ； ③由此可得检验数表。
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
σ11=1， σ12=2 σ22=1， σ24=-1 σ31=10， σ33=12
∵ σ24=-1<0，∴从（A2 B4） 出发其闭回路上θ=1，调 整后得到一个新方案（如下表），运量为θ=1的（A2 B3）变空格，得到新方案后再转 2。
B1
B2
B3
B4
A1
5
2
而 ij
cij CBB1Pij 且Pij ei emj
从 而ij cij(uivj)
基 变 量 检 验 数 ij c ij ( u i v j) 0
共 m n 个 变 量 ， m n 1 个 方 程 组 成 方 程 组 u i v j c i j
解 出 所 有 的 u i, vj
可 由 ij c ij (u i vj) 算 出 所 有 非 基 变 量 的 检 验 数
A2
3
1
A3
6
3
经再计算新方案的检验数全部大于0。所以，该新 方案为最优方案，可计算得总运费为85元。
注：若闭回路的偶数顶点中同时有两个格以上运量 为θ，则调整后其中一个变空格，其余填0。（保证 基变量个数不变）
2.确定初始方案的方法之二—伏格尔法（Vogel法）
⑴求各行各列运价最小与次小之差额，选其中最大 的行或列中最小运价进行供应；
3.调整:从σij 为最大正值的空格出发.对其闭回路上的 奇数顶点运量增加θ,偶数顶点的运量减少θ(这才能保 证新的平衡)，其中θ为该空格闭回路中偶数顶点的最 小值。
销地
产地 A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产 量
4 37
3
1
4
6
39
3 656
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
（ A2 B1 ）；
②计算出空格的检验数—等于闭回路上由此空格起奇
数顶点运价与偶数顶点运价的代数和。如σ11＝c11 -c13+c23-c21=1
销地
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产 量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
4 37
A1
A2
3
1
4
A2
A3
6
39
A3
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
第五章 运输问题
一.运输问题的一般提法 在经济建设中，经常碰到物资调拨中
的运输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全 国都有若干生产基地，分别将这些物资调 到各消费基地去，应如何制定A调1，， 运方案， 使总的运输费用最少？
运输问题的一般提法是：
1.产销平衡问题
已知:m个产地A1，，Am， 产量分别是:a1，，am，
销量 3 6 5 6
③计算出此空格的检验数σij,若σij≥０，则该方案为最
优方案，否则转３；
注：检验数的经济意义，以σ11为例，空格表示原方案中X11=0,
即A1 → B1 的运输量为0。若试着运1单位，则这样所引起的总
费用的变化恰是σ11，可见检验数σij的意义是： Ai → Bj增运１
单位所引起的总费用的增量。 σij >０，说明若增运一单位则在 总运输量不变情况下，总运费会增加。此时不应在 Ai → Bj上 增运。
3 11 3 10 39 4 8 1 2 10 5
销量 3 6 5 6
出现退化时，要在同时被划去的行列中 任选一个空格填0，此格作为有数字格。
2.检验（闭回路法:计算空格的检验数）
①找出任意空格的闭回路—除此空格外，其余顶点均 为有数格。如可找（ A1 B1 ）→ （ A1 B3 ） → （ A2 B3） →
11L 1
L
11L
1
n行
1
1
O
1 1 O
1
1
1
1
O
1
0
M
1 i行
p ij
M
0
1 m
j行
M 0
0
M
1 i行
p ij
M 0
1 m
j行
M 0
0
M
0
ei
1
i
行
0 M
0
pij ei emj
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
有一个平衡关系式
x14+x24+x34=6 xij≥0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4)
运输问题一般用表上作业
法求解，需建立表格模型：
A3
9
销量
3656
单位运价表
销地
产地
A1 A2 A3
B1 B2 B3 B4
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
给出初始调运方案最常用的方法 ——最小元素法
销地
验当前方案）→闭回路法（方案调整） 以下面例题说明这种方法的具体步骤：
例12：某食品公司下设3个加工厂A1， A2，A3， 和4个门市部B1， B2，B3，B4。各加工厂每天的 产量、各门市部每天的销售量以及从各加工厂 到各门市部的运价如下表所示。 问：该公司应如何调运，在满足各门市部销 售需要的情况下，使得运费支出为最少？
⑵如果某一行或某一列按照这种方法已被供应满， 则划去该行或该列，在剩下的行列中重复这种方法， 即得最优方案。
销地
B1 B2 B3 B4 产 量 产地
A1
527
A2
3
14
A3
6
39
销量 3 6 5 6
销地
产地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
2
B2
B3
B4
11 3
10
70
9
2
8
61
4
10 5
21
5
1
32
3.求空格检验数的方法之二—位势法
闭回路:从方案中某一始格出发，沿同行或同 列前进，当遇到一个数字格时可以可转90度 或继续前进，按此方法进行，直到回到始点 的一个封闭曲线。同行或同列最多有两个点。
最小元素法中的退化情况
销地
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产 量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
5 27
A1
A2
44
A2
A3
36
09
A3
ai bj ）
所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量
为m+n-1个。
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用 线性规划法中的单纯形法来解决。但是：
1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 形表太大；
2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0， 会使问题更加复杂。
以上两个原因使得我们不得不利用运输 问题的特点设计出它的特殊解法——表 上作业法。
x12
O
x22 L xm2
O
O
x1n
x2n L xmn
a1 a2 M
am b1 b2
M
bn
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
x 1 1 x 1 2 L x 1 n x 2 1 x 2 2 L x 2 n L x m 1 x m 2 L x m n
1 1 L 1
m行
当找出σij<0的格后，调整方法仍用闭回路法。
（Ⅲ）产销不平衡的运输问题
1.产大于销的情况：
M in Z C X
M in Z C X
n
x ij a i
j1
x ij
bj
i
x ij 0
添加松弛变量xi,n+1
n1
x ij
ai
j1
x ij
bj
i
x ij 0
xin+1的定义：由Ai向Bn+1的运量，而Bn+1并不存在， 相当于增加了一个虚设的销地—Ai自己的仓库 里，自己往自己的地方运，运费cin+1显然为0。 实际上xin+1即Ai的剩余量。