六年级下册数学专题练习：6、整除及数字整除特征全国通用(含解析)

6、整除及数字整除特征

【数字整除特征】

例1 42 □ 28用99的倍数，这个数除以99所得的商是_。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析：能被99整除的数，一定能被9和11 整除。

设千位上和个位上分别填上数字a、b,贝卩：各位上数字之和为［16+

（a+b）］。

要使原数能被9整除，必须使［16+ （a+b）］是9的倍数，即（a+b）之和只能取 2 或11。

又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8）, 要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b- a-8）是11的倍数不合。

所以a-b=3。

又a+b=2 或11 ,可求得a=7, b=4。

从而很容易求出商为427284+ 99=4316

例2某个七位数1993口□能同时被2、3、4、5、6、7、& 9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9 的最小公倍数是2520。

而1993000- 2520=79（余2200。

于是再加上（2520-2200）=320时,就可以了。所以最后三位数字依次是

3、2、0。

例3七位数175口62助末位数字是—的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11 的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是［3+ （b-a）］或［（a-b）-3］。

要使原数是11的倍数，只需［3+（b-a）］或［（a-b）-3］是11的倍数。则有b- a=8，或者a-b=3。

①当b-a=8时，b可取9、8；

②当a-b=3 时，b 可取6、5、4、3、2、1、0。

所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11 的倍数。

例 4 下面这个四十一位数

55......5口99 (9)

（其中 5 和9 各有20 个）能被7 整除，那么中间方格内的数字是__。

（1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：注意到111111宁7=15873所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。

要使原四^一位数能被7整除，只需55口99这个五位数是7的倍数。容易得

出，中间方格内的数字是6。

【整除】

例 1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是________ 。

（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）

讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。

3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23 是本题的答案。

例 2 一个整数在3600 到3700 之间，它被 3 除余 2 ，被5 除余 1 ，被7 除余3。这个整数是__。

（《现代小学数学》邀请赛试题）

讲析：所求整数分别除以3、5、7 以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7 整除了。

因为3、5和7的最小公倍数是105。3600- 105=3徐30, 105-30=75,

所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。

例 3 在一个两位数中间插入一个数字,就变成了一个三位数。如52 中间插入 4 后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数,是原两位数的9 倍。这样的两位数共有__个。

（中南地区小学数学竞赛试题）

讲析：因为插入一个数字后,所得的三位数是原两位数的9 倍,且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。

又插入的一个数字,必须小于个位数字,否则新三位数就不是原两位数的9 倍了。因此原二位数的个位不能为0,而一定是5。

结合被9整除的数字特征,不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。

例4a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是_。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：a

与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。

因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7 以后，肯定余 1 。

只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7 的倍数。

联想到69, 69+1=70,经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。

例5一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余 1 ，再把第二次所得的商被8除后余乙最后得到的一个商是a［见图5.43（1）］，又知这个自然数被17 除余4,所得的商被17除余15,最后得到一个商是2a［见图5.43（2）］，求这个自然数。

（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：可从最后的商步步向前推算。

由图5.43 （1）可得：第二次商是（8a+7）;第一次商是8X（8a+7）+1=64a+57;所求的自然数是8X（64a+57）+仁512a+457

由图 5.43（2）得,所求的自然数是578a+259

所以, 512a+457=578a+259。

解得a=3。

故，这个自然数是512X 3+457=1993

例6某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、3、••…、• 12。他

们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数,并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13 整除。问这一家的电话号码是什么数？

（1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）

讲析：设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、、、, a+12。

因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数 a 能同时被1、

2、3、••…、• 12 整除。