学而思三年级竞赛班(第四讲和差倍)

杨树
杨树
柳树 槐树
柳树
10 200
槐树
6
计算：200-10+6=196（棵） 一倍数：196÷（2+1+1）=49（棵） 杨树：49×2=98（棵） 柳树：49+10=59（棵） 槐树：49-6=43（棵）
二、差倍问题（知道两个数的倍数关系以及这两个数的差，求这两个数各是多少的问题）
（一）整倍型 例 6 甲乙两筐梨，甲筐比乙筐重 48 千克，甲筐每天可以卖出的数量是乙筐的 2 倍，4 天后
哥哥 45
弟弟
计算一倍数，即哥哥现在的图书量：（25+20）÷（1+2）=15（本） 哥哥给弟弟的图书量：25-15=10（本）
（四）暗倍 注意：数字问题中，末尾添一个 0 即为原来的 10 倍
例 4 两个数的和是 682，其中一个加数的个位是 0，如果把这个 0 去掉，就得到另一个加 数，求两个加数各是多少。 解析：大数把个位的 0 去掉，即是÷10，得到小数，那么可知大数是小数的 10 倍，那么和 应该就是（1+10）=11 倍 一倍数（小数）：682÷（1+10）=62 大数：62×10=620
例 2 商店运来桔子、苹果、香蕉共 53 千克，桔子的重量是苹果的 3 倍少 3 千克，香蕉的 重量是苹果的 2 倍多 2 千克，桔子重多少千克？ 解析：苹果是 1 倍数，画出线段图
苹果
3 倍数
桔子
2 倍数
少3
53
香蕉
多2பைடு நூலகம்
看图可知，根据“多”的减去，“少”的加上的原则，53 加上 3，减去 2，则是一个整倍数。
三年级竞赛 2010 秋季 第四讲 和差倍
程雪
是乙堆的 3 倍，那么甲堆原来有零件多少个？李师傅一共生产了多少个？ 解析：如果从甲堆零件中拿 15 个放到乙堆中，则两堆零件个数相等，说明甲堆比乙堆多 15
×2=30 个， 如果从乙堆零件中拿 15 个放到甲堆中，
乙
15 30
甲
15
这时两堆的差：15×2+30=60 ……给 15，就相差 30，再加上原来还多的 30
第一筐原来的苹果：
8×4=32（千克）
4、移多补少型 核心思想：“给”一半，“多”两倍（给 1 个，会相差 2 个）
例 5 李师傅生产了一批零件，把它们分成了甲、乙两堆，如果从甲堆零件中拿 15 个放到 乙堆中，则两堆零件个数相等，如果从乙堆零件中拿 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数
三年级竞赛秋季班（五级下） 4.5
补充：倍数变化型 （一）移来移去 倍变型（总和不变） 方法：总和不变，找公倍数画图
学案 3 小红和小静都喜欢集邮，如果小静给小红 7 张邮票，小静的邮票数量就是小红的 3 倍， 如果小红给小静 5 张邮票，小静的邮票数量就是小静的 5 倍，问原来小红和小静各有多少张邮票？ 解析：“如果小静给小红 7 张邮票，小静的邮票数量就是小红的 3 倍”，说明总数是个 4 倍数，“如 果小红给小静 5 张邮票，小静的邮票数量就是小静的 5 倍”，说明总数是个 6 倍数。那么总数一 定是 12 的倍数。不妨将总数分为 12 份。
三年级竞赛秋季班（五级下） 4.1
三年级竞赛 2010 秋季 第四讲 和差倍
程雪
计算一倍数：（53+3-2）÷（1+3+2）=9（千克） 桔子：9×3-3=24（千克）
例 3 略（方法同例 2）
（三）暗和 注意： 移来移去，总量不变
例 1 傻哥哥有书 25 本，笨弟弟有书 20 本，问傻哥哥给笨弟弟多少本书后，笨弟弟的书是 傻哥哥的书的 2 倍？ 解析：题目里的倍数关系是哥哥给完弟弟书后的情况，所以根据该关系画出的线段图是“移” 完之后的。但不管怎么移，总的图书量不变，都是 25+20=45（本）
各自变化后
2、开始相等
倍数关系
找差： 反向变化用加法
同向变化用减法
练 有两块同样长的花布，第一块卖出 31 米，第二块卖出 19 米，这时第二块长度是第一块
长的 4 倍，这两块电线原来各长多少米？
解析：计算差（草图略） 31-19=12（米） ……同向变化用减法
这时的倍数关系图
第一块
12
第二块
计算一倍数，即第一块现在剩下的米数： 12÷（4-1）=4（米）
这时的倍数关系是：甲是乙的 3 倍，将差搬到倍数关系图上，得到
乙
60
甲
找 1 倍数，即乙现在个数：60÷（3-1）=30（个） 甲现在：30×3=90（个） 甲原来：90-15=75（个） 共生产：30+90=120（个）
三、和差问题
公式
大数 = （和+差）÷2
小数 = （和-差）÷2
例 8 有 50 名学生参加联欢会，第一个到会的女生与全部男生握过手，第二个到会的女生 只差一个男生没握过手，第 3 个到会的女生只差 2 个男生没握过手，以此类推，最后一个到 会的女生只与 7 个男生握过手，问这些学生中有多少名男生？ 解析：本题题目比较难懂，对于这种题，可以想象场景，帮助自己理解题意。题目说“第一 个到会的女生与全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手”，为什么第二 个女生还差一个男生没握呢，那个男生去哪里了呢？于是我们想象，这是一间教室，里面本 来全是男生，第一个女生进来和所有的男生都握了手，然后就和其中一个男生跳舞去了，这 样第二个女生进来时就少了一个男生，所以她就差一个男生没握过手。同样，第二个女生和 剩下的男生握手之后也和其中一个男生跳舞去了，所以第 3 个女生就差 2 个男生没握手…… 最后一个女生进来时，只有 7 个男生了，所以她只和 7 个男生握过手，她也和其中一个男生 跳舞去了。最后就剩下 6 个男生。那不就说明男生比女生多 6 个吗？ 原来这个题是和差问题呀！和是 50，差是 6，相信孩子们就都能做了。 列式：男生（50+6）÷2=28（人）
三年级竞赛秋季班（五级下） 4.2
三年级竞赛 2010 秋季 第四讲 和差倍
程雪
例 7 甲乙丙三个数的和是 78，甲比乙的 2 倍多 4，乙比丙的 3 倍少 2，求甲乙丙三个数各 是多少？ 解析：先找倍数关系画线段图，丙最小，丙为 1 倍数，画出图形如下：
丙 乙 甲
4
2
2
78
2
注意：甲是乙的 2 倍多 4，因为乙不是丙的整倍数，所以不容易直接画出甲与丙的倍数关系， 建议照上图这样，将甲分段画，画为 2 个乙和一个 2，就容易看出与丙的倍数关系了。
女生（50-6）÷2=22（人）
学案 2 小刚和小明各有一定数量的玻璃珠，小刚比小明多 21 个，如果小刚送给小明几个
玻璃珠后，小明的玻璃珠反而比小刚多出 5 个，那么小刚到底送给小明几个玻璃珠？
解析：法一，移多补少里我们学过如果甲比乙多 8 个，要使两人一样多，则甲要把多出来的
8 个平均分，即给乙 4 个。本题有些不一样，但思想是一样的，即要把小刚多出来的平均分，
（五）一倍数统一（选最小的当一倍数）
例 红、黄、蓝三个盒子共有 56 个珠子，红盒子里的珠子是黄盒子的 2 倍，蓝盒子里的珠 子是红盒子的 2 倍，三个盒子各有多少个珠子？ 解析：1、画线段图。画三个数之间的倍数关系时，选取最小的作为一倍数。
黄
红
56
蓝
2、计算 一倍数黄盒子： 56÷（1+2+2×2）=8（个） 红： 8×2=16（个） 蓝： 16×2=32（个）
三年级竞赛 2010 秋季 第四讲 和差倍
程雪
第四讲：和差倍问题
基本功
1、 会画线段图
2、 熟练运用倍数关系
一倍数 = 几倍数÷倍数
几倍数 = 一倍数×倍数
一般解题步骤
1、画线段图（先画倍数关系，再标明数量）
2、求一倍数（数量与倍对应好才能相除！）
3、根据题目要求求相应的解
一、和倍问题（知道几个数的倍数关系以及这几个数的和，求这几个数各是多少的问题） （一）整倍型 例 果园里有梨树和苹果树共 324 棵，苹果树的棵树是梨树的 5 倍，苹果树比梨树多多少棵？ 解析：1、画出线段图
但注意“多”出来的是 21+5=26 个。
小明 小刚
5
21
三年级竞赛秋季班（五级下） 4.6
三年级竞赛 2010 秋季 第四讲 和差倍
程雪
21+5 最后要达到小明比小刚多 5 个的要求，就需要小刚把比小明多的 21 个拿出来后，还要拿 5 个出来，即一共拿 26 个出来平均分，所以给：（21+5）÷2=13（个） 法二，小刚多出来的部分要分成两份，一份给小明，一份留给小刚。这两份和是 21，差是 5， 就是一个和差问题了，同学们自己写算式吧。
三年级竞赛秋季班（五级下） 4.4
三年级竞赛 2010 秋季 第四讲 和差倍
程雪
两块布原来的长度：4+31=35（米）
练 有两根同样长的绳子，第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一根
长的 3 倍，这两根绳子原来各长多少米？
解析：草图找差
原来
第一根
12
第二根
14
容易看出，差是 12+14=26（米）……即反向变化用加法 搬到这时的倍数图上
两筐梨的重量一样多，甲筐每天卖出多少梨。
解析：甲筐原比乙筐重 48 千克，4 天后一样重，说明这 4 天甲筐比乙筐多卖了 48 千克。
卖出
乙
48
甲
三年级竞赛秋季班（五级下） 4.3
三年级竞赛 2010 秋季 第四讲 和差倍
程雪
甲每天卖的都是乙的 2 倍，那么 4 天卖出的总和也是乙的 2 倍，那么多卖的 48 对应的就是 （2-1）=1 倍 甲共卖出：78×2=96（千克） 甲每天卖：96÷4=24（千克）
解析：图略（你能自己画出来吗）
计算差（即甲原来比乙多多少元）：80+20=100（元）
甲是乙的 3 倍，差对应的就是 3-1=2 倍
计算 1 倍数，即乙原来的存款： 100÷（3-1）=50（元）
甲原来的存款：
50×3=150（元）
学案 4 两个筐中各有一些苹果，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的 4 倍，如果从第一
个筐中取出 26 千克，从第二个筐中取出 2 千克，则两筐苹果重量相等，你知道这两个筐中
原来各有苹果多少千克吗？
解析：图略（你能自己画出来吗）
计算差（即第一筐比第二筐原来多多少千克）：26-2=24（千克）
第一筐是第二筐的 4 倍，差对应的就是 4-1=3 倍
计算 1 倍数，即第二筐原来的苹果：
24÷（4-1）=8（千克）
（二）非整倍型 略 思路：先转化成整倍问题 方法：“多”的减去，“少”的加上（多退少补） （三）暗差 提示：在未直接告诉差的差倍问题中，可以先画草图，把差找到（熟练之后不用草图也能直
接算出差），再把差“搬”到对应的倍数关系图上，就一目了然了。 这里把经常出现的暗差情形小结一下： 1、两数经过同样变化，差不变 联想年龄问题，因为两人同时长大相同的岁数，所以两人的年龄差永远不变
丙：（78-4+2×3）÷（1+3+3×2）=8 乙：8×3-2=22 甲：22×2+4=48 小窍门：对于代数思想好的同学，还可以这样思考。乙是丙的 3 倍少 2，如果丙是 a，那么 乙是“3a-2”；甲是乙的 2 倍多 4，即甲是 2×（3a-2）+4 = 6a-4+4 = 6a。
（六）各自变化后相等 注意：画图时运用倒推思想 家庭作业 4 某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共 200 棵，当种了一半的杨树和 10 棵柳树之后， 又临时运来了 6 棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划栽种这三种树各多少棵？ 解析：先找倍数关系画图，相等也是一种倍数关系（1 倍）。再倒推回原来各自的情况。
第一根
26
第二根
计算一倍数，即第一根现在剩下的米数： 26÷（3-1）=13（米） 两根绳子原来的长度：13+12=25（米）
各自变化后
3、开始倍数关系
相等
找差：反向变化用加法
同向变化用减法
练 甲、乙两人存款若干元，甲存款是乙存款的 3 倍，如果甲取出 80 元，乙存入 20 元，甲
乙的存款正好相等，甲乙二人原来各存款多少元？
练 大桶里有油 60 千克，小桶里有油 30 千克，将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油
中，大桶是小桶的 4 倍，问两个桶各剩油多少千克？
解析：草图找差
小桶
卖出
60‐30
大桶
卖出
容易看出，原来与卖出后两个桶的差不变，差是 60-30=30（千克） 搬到这时的倍数图上
小桶
30
大桶
计算一倍数，即小桶现在剩下的： 30÷（4-1）=10（千克） 大桶剩下：10×4=40（千克）
梨树
苹果树
2、求一倍数 324÷（1+5）=54（棵） ……324 棵对应的是 6 倍数
3、求解 苹果树棵树：54×5=270（棵） 比梨树多：270-54=216（棵）
324 棵
或者苹果树比梨树多（5-1）倍，故 54×（5-1）=216（棵）
（二）非整倍型 思路：先转化成整倍问题 方法：“多”的减去，“少”的加上（多退少补）