实数与向量的积

第五教时

教材：实数与向量的积

目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1 .弓I 入新课：已知非零向量 a 作出a + a + a 和(a)+( a)+( a)

a a a

O A

B C

农—

—a a

N M

Q

P

OC =OA AB BC = a + a + a=3a PN = PQ QM MN =( a)+( a)+( a)= 3a

讨论：1 3a 与a 方向相同且|3a|=3|a|

2 3a 与a 方向相反且| 3a|=3|a|

2. 从而提出课题：实数与向量的积 实数入与向量a 的积，记作：入a 定义：实数入与向量a 的积是一个向量，记作：入a 1丨入a|=|入||a|

2入＞0时入a 与a 方向相同；入＜0时入a 与a 方向相反；入=0时入a = 0 3. 运算定律：结合律：入(旧)=(入①

第一分配律：(入+ ^ a = X a + g ② 第二分配律：入(a + b )= X a+ X b

③

结合律证明：

如果X =0, p=0, a =0至少有一个成立，则①式成立 如果X 0，卩 0，a 0有：| X ( g)|=| X || g|=| X || 训 a|

|( X a |=|

入川 a |=| X || M | a | 如果X 、卩同号，贝

U ①式两端向量的方向都与 a 同向；

如果X 、卩异号，贝U ①式两端向量的方向都与a 反向。 从而 X ((a)=( X ii a 第一分配律证明：

如果X =0，尸0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果X 0，卩0，a 0

当X 、卩同号时，则X a 和g 同向， •••|( X + Q a l=| X +川 a|=(| X |+| M )| a|

| X a+u a |=| X a|+| pB|=| X || a|+| M l a|=(| X |+| M )| a| •「X 、卩同号•②两边向量方向都与a 同向

即：| (X + M a |=| X a + g |

当X 、卩异号，当X ＞卩时②两边向量的方向都与X a 同向 当X ＜卩时②两边向量的方向都与卩a 同向

还可证：| (X + M a |=| X a + | •••②式成立 第二分配律证明：

如果a = 0， b =0中至少有一个成立，或X =0，X =1则③式显然成立

当 a 0，b 0 且 X 0，X 1 时

1当X >0且X 1时在平面内任取一点0， 作 OA a AB b OA 1 X a A ,B 1 X b 由作法知：AB // A 1B 1 有 OAB= OA 1B 1 |AB |= X |AB| ... |O AJ

X

OAB OA 1B 1

|OA| |AB|

则OB a +b

OB 1 X a + X b

•| X ( g)|=|(X "|

X AOB= A i OB i |OB|

因此，O, B, B i在同一直线上，QB J FI入OB | OB1与入OB方向也相同当入＜0时可类似证明：入（a + b）= X a+ X b

•••③式成立

4. 例一（见P104）略

三、向量共线的充要条件（向量共线定理）

1 .若有向量a（a 0）、b，实数X,使b = X a则由实数与向量积的定义知：a与

b为共线向量

若a与b共线（a 0）且|b|: |a|=«则当a与b同向时b = pa

当a与b反向时b = g

从而得：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数X 使 b = X a

2 .例二（P104-105 略）

三、小结：

四、作业：课本P105练习P107-108习题5.3 1、2