2011年高中数学优质课比赛课件：等比数列的性质及其应用
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新教材高中数学第四章第2课时等比数列的性质及其应用pptx课件新人教A版选择性必修第二册
情境Ⅱ:观察下面的数列.
a,a2,a3,a4,a5,a6,a7,…,an(其中 a 为常数,且 a≠0).
【思考】
(1)根据情境Ⅰ
中等差数列的性质,能否类比得出等比数列的性质?
提示:在等比数列{an}中,若 m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则 aman= qm+n-2,
akal= qk+l-2,所以 aman=akal.
因为 a2,a5,a8 成等比数列,且 a2,a5,a8 均大于 0,所以 , , 成等比数列,
所以 a4a5a6= = =
× =9.
探索点一
等比数列性质的应用
【例 1】(1)在等比数列{an}中,若 a4=2,a7=5,则数列{lg an}的前 10 项和
答案:C
(2)已知数列{an}为等比数列.
①若 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=36,求 a3+a5 的值;
②若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
解:①因为 a2a4+2a3a5+a4a6=36,
所以 +2a3a5+ =36,所以(a3+a5)2=36.
所以这四个数依次为 1,-2,4,10 或- ,-2,-5,-8.
4.同类练已知三个数成等比数列,其积为 512,如果第一个数与第
三个数各减去 2,第二个数不变,那么得到的三个数成等差数列,求原
来的三个数.
解:设三个数依次为 ,a,aq.
因为 ·a·aq=512,
所以 a=8.
因为
− +(aq-2)=2a,
a,a2,a3,a4,a5,a6,a7,…,an(其中 a 为常数,且 a≠0).
【思考】
(1)根据情境Ⅰ
中等差数列的性质,能否类比得出等比数列的性质?
提示:在等比数列{an}中,若 m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则 aman= qm+n-2,
akal= qk+l-2,所以 aman=akal.
因为 a2,a5,a8 成等比数列,且 a2,a5,a8 均大于 0,所以 , , 成等比数列,
所以 a4a5a6= = =
× =9.
探索点一
等比数列性质的应用
【例 1】(1)在等比数列{an}中,若 a4=2,a7=5,则数列{lg an}的前 10 项和
答案:C
(2)已知数列{an}为等比数列.
①若 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=36,求 a3+a5 的值;
②若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
解:①因为 a2a4+2a3a5+a4a6=36,
所以 +2a3a5+ =36,所以(a3+a5)2=36.
所以这四个数依次为 1,-2,4,10 或- ,-2,-5,-8.
4.同类练已知三个数成等比数列,其积为 512,如果第一个数与第
三个数各减去 2,第二个数不变,那么得到的三个数成等差数列,求原
来的三个数.
解:设三个数依次为 ,a,aq.
因为 ·a·aq=512,
所以 a=8.
因为
− +(aq-2)=2a,
等比数列的性质PPT
②
由①得 a2＝16q
③
由②得 a22q－1·q＝－128. 将③代入得：q2－2q－8＝0，
∴q＝4 或 q＝－2.
又 a2＝16q，∴q>0，∴q＝4，∴a＝±8.
当 a＝8 时，所求四个数分别为：－4,2,8,32.
当 a＝－8 时，所求四个数分别为：4，－2，－8，－32.
某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中 低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均 比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上 一年增加50万平方米，那么到哪一年底
(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的 最小正整数n＝6.10分
故到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%.12分
则 Sn＝250n＋nn－ 2 1×50＝25n2＋225n， 令 25n2＋225n≥4 750，即 n2＋9n－190≥0， 解得 n≤－19 或 n≥10，而 n 是正整数． ∴n≥10.4 分 故到 2018 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积 将首次不少于 4 750 万平方米.6 分
联 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； 系 (2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列.
◎在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个 根，试求a7.
【错解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根，
等比数列的性质 课件
∴q＝2 或 q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝4×12n－1＝23－n.
法二：从而aa11＋ a3＝a3＝ 4，5， 解得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列{a2n}是公 比为 q2 的等比数列；
∴{an＋1－an}为等比数列，其中首项为 a2－a1＝2a1＋1－a1＝a1＋1＝2， 公比 q＝2. 则 an＋1－an＝2·2n－1＝2n. ∴2an＋1－an＝2n，∴an＝2n－1.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为 an＋1－1－d c＝can－1－d c，当 a1－1－d c≠0 时，数列an－1－d c为等比 数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
[解析] 设第 n 个图形的边长为 an. 由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长 的13，所以数列{an}是首项为 1，公比为13的等比数列，故 an＝13n－1. 第 1 个图形的边数为 3，因为从第 2 个图形起，每一个图形的边数均 为上一个图形边数的 4 倍，所以第 n 个图形的边数为 3×4n－1.因此， 第 n 个图形的周长13n－1×(3×4n－1)＝3×43n－1.
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
高中数学等比数列的前n项和性质及应用课件
思路探究：(1 )由 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 成等比数列求解．
S偶
(2 )利用
S奇
＝q ，及 S 2n＝S
奇＋S
偶求解．
合作探究
思
而
学
(1 )A (2)24 [(1)∵{a n}为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 也为等比数列， 即 7 ，S 4－7 ,9 1 －S 4 成等比数列， ∴(S 4－7 )2＝7 (9 1 －S 4)，解得 S 4＝2 8 或 S 4＝－2 1 . ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1 ＋q 2)＝S 2(1 ＋q 2)> S 2，∴S 4＝2 8 .
2
2
128
S偶
1
[解]
设等比数列为{a n }，项数为
2n ，一个项数为
2n
的等比数列中， ＝q .则 S奇
q＝ ， 2
3
3
又
an
和
a n ＋1
为中间两项，则
a
n
＋a
n
＋1
＝ 1
2
8
，即
a1q
n －1＋a 1q
n＝ ， 128
1
1
又
a
1
＝ 2
，q
＝ 2
，
1 ∴
2
·21
n
－1
1 ＋
2
·21
n
＝ 1
高中数学
数列
等比数列
等比数列的前n项 和性质及应用
学习目标
学
而
思
1．等比数列前 n 项和的变式
a 1 1 －q n
优质课竞赛《等比数列》PPT课件
a2
a1
1 2
1, 2
a3
a2
1 2
1 4
,
a4
a3
1 2
1, 8
a5
a4
1 2
1, 16
A=1 n=1 输出A n=n+1
可得递推公式： a1
1, 1
an 2an1(n1)
A=1/2A
否
由于 an 1 ， 这 个 数 列 是 等 比 数 列 ， n>5?
an1 2
其通项公式为:
an
（ 1 ）n1 2.
.
10
二、等比数列的通项公式：
❖ 法二：叠加法 累乘法
a2 q
等 差 数
a2 a1 d
a3a2 d
类比
列 a4 a3 d
……
等 比
a1
a3 q a2
数 列
a4 q
…a 3 …
×） a n q
+）anan1d
a n1
共n – 1 项
ana1(n1)d
a n q n1
.
a1
11
等比数列通项公式的变形
1 20 202 203 …
.
5
引例：
❖ ④ 除了单利，银行还有一种支付利息的方式——复利， 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一 期的利息，也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本 利和的公式是：本利和 = 本金×（1+利率）存期。
❖ 现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复 利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1 2 4 8 16 …
.
3
等比数列的性质和应用 通用精品课件
17
点评：本题的解法体现了构造方程解题 的思想。用到了等比数列的性质1和求和 公式。
18
例5、已知等比数列an中，前10项的和S10 10,
前20项的和S20 30,求S30
解法1：设公比为q, S10 S20 , q 1 10 20
则
a1(1 q10 ) 10 1 q
26
3.等比数列的两个重要性质
4.解等比数列题的解法主要有两种 (1)基本量法即化到a1和q求解 (2)灵活运用性质1和 2求解
27
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
2 3
q
由
：aa11
q32q1得：aq1
2 ,
3
an
2 3n1 (n N )
24
点评：本题的解法关键之处在于要证明该等比 数列是递增数列，另外qn 81还要回代到 （1）式中去求出a1和q的关系。
等比数列的性质和应用PPT优秀课件
公式
2.在使用等比数列n的 项前 和的公式时， 一定要注意公比是1， 否若 为不能确定 公比是否1为 ，则一定要分类.讨论
28
3.等比数列的两个重要性 质
4.解等比数列题的解要法有主两种 (1)基本量法即化a1和 到q求解 (2)灵活运用性1和 质2求解
29
祝同学们学习愉快！
再见
30
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
11
点评：解法 2采用的是等比数列的 性质1，这一性质又称为“称对性” 利用这一性质解题可减以少运算量。
12
例2、在等比 an数 中列 ，已知对任n,意正
有Sn 2n1,则a12a22an2
解：当n 2时，an Sn Sn1 (2n 1) (2n1 1) 2n1
4
一等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比都等于同一个常数(指与n无关的数), 那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫 做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
an q(q0,q是常n 数 2,n ， N) an1
5
二、等比数列的通项公式
a n a1 q n1
a1 anq 1 q
126
,
q
1 2
18
又
an
a 1 q n 1 , 即：2
64
q n1
高中数学 等比数列课件(完整版).ppt
演示课件
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
等比数列的性质及应用(PPT)5-3
等差数列和等Fra bibliotek数列的性质及应用
三、应用举例
例1、等比数列an中，a1 an 66，a2an1 128，
前n项的和Sn 126，求n和公比q
等差数列和等比数列的性质及应用 一、知识回顾
等差数列的性质 设有等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn
1.若m, n, p, q N*, m n p q,则am an ap aq
2.数列
Sn n
也是等差数列，公差
d 2
3.数列Sk , S2k Sk , S3k S2k ,也成等差数列，公差为 k 2d
4.若项数为2n(n 2, n N ), S偶 S奇 nd
若项数为2n 1(n 2, n N ), S奇 n 1
5.设等差数列
bn
的前n项和为ST偶n，则nabnn
S 2 n 1 T2n1
6.若a1 0, d 0, Sn有最大值 若a1 0, d 0, Sn 有最小值
可由aa
n 0 n1
来确 0
定n
可由aann
0 1
0来确定n
水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，在低温下冻成的砖形硬块。 【冰锥】īī（～儿）名雪后檐头滴水凝成锥形的冰。也叫冰锥子、冰柱、冰溜（）。 【并】ī 名山西太原的别称。 【兵】ī①兵器：短～相接｜秣马厉～。②名军人；军队：当～｜～种｜骑～。③名军队中的最基层成员：官～一致。④指军事或战 争：～法｜～书。；中国保藏中心 微生物资源中心 保藏中心 https:/// 中国保藏中心 微生物资源中心 保藏中心 ；军队哗变：发动～。 【兵不血刃】ī兵器上面没有沾血，指未经交锋而取得胜利。 【兵不厌诈】ī用兵打仗可以使用欺诈的办法迷惑敌人（语本《韩非子?难一》：“战阵之间，不 厌诈伪。”不厌：不排斥；不以为非）。 【兵车】ī名①古代作战用的车辆。②指运载军队的列车、汽车等。 【兵船】ī名旧时指军舰。 【兵丁】īī名士兵的 旧称。 【兵法】ī名古代指用兵作战的策略和方法：熟谙～。 【兵符】ī名①古代调兵遣将的符节。②兵书。 【兵戈】ī〈书〉名兵器，借指战争：不动～｜～ 四起。 【兵革】ī〈书〉名兵器和甲胄，借指战争：～未息。 【兵工】ī名军工。 【兵工厂】ī名制造武器装备的工厂。 【兵贵神速】ī用兵以行动特别迅速最 为重要（语出《三国志?魏书?郭嘉传》）。 【兵荒马乱】ī形容战时社会动荡不安的景象。 【兵火】ī名战火，指战争：～连天｜书稿毁于～。 【兵家】ī名① 古代研究军事理论、从事军事活动的学派。主要代表人物有孙武、孙膑等。②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。 【兵舰】ī名军舰。 【兵 谏】ī动用武力胁迫君主或当权者接受规劝：发动～。 【兵来将挡，水来土掩】ī，比喻不管对方使用什么计策、手段，都有对付办法。也比喻针对具体情况 采取相应对策。 【兵力】ī名军队的实力，包括人员和武器装备等：～雄厚｜集中～。 【兵临城下】ī指大军压境，城被围困。形容形势危急。 【兵乱】ī名由 战争造成的混乱局面；兵灾：屡遭～。 【兵马俑】ī名古代用来殉葬的兵马形象的陶俑。 【兵痞】ī名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。 【兵棋】ī名特制的军队标号图型和人员、兵器、地物等模型，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动，供指挥员研究作战和训练等情况时使用。 【兵器】 ī名武器?。 【兵强马壮】形容军队实力强，富有战斗力。 【兵权】ī名军权。 【兵戎】ī〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。 【兵士】ī名士 兵。 【兵书】ī名讲兵法的书。 【兵团】ī名①军队的一级组织，下辖几个军或师。②泛指团以上的部队：主力～｜地方～。
三、应用举例
例1、等比数列an中，a1 an 66，a2an1 128，
前n项的和Sn 126，求n和公比q
等差数列和等比数列的性质及应用 一、知识回顾
等差数列的性质 设有等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn
1.若m, n, p, q N*, m n p q,则am an ap aq
2.数列
Sn n
也是等差数列，公差
d 2
3.数列Sk , S2k Sk , S3k S2k ,也成等差数列，公差为 k 2d
4.若项数为2n(n 2, n N ), S偶 S奇 nd
若项数为2n 1(n 2, n N ), S奇 n 1
5.设等差数列
bn
的前n项和为ST偶n，则nabnn
S 2 n 1 T2n1
6.若a1 0, d 0, Sn有最大值 若a1 0, d 0, Sn 有最小值
可由aa
n 0 n1
来确 0
定n
可由aann
0 1
0来确定n
水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，在低温下冻成的砖形硬块。 【冰锥】īī（～儿）名雪后檐头滴水凝成锥形的冰。也叫冰锥子、冰柱、冰溜（）。 【并】ī 名山西太原的别称。 【兵】ī①兵器：短～相接｜秣马厉～。②名军人；军队：当～｜～种｜骑～。③名军队中的最基层成员：官～一致。④指军事或战 争：～法｜～书。；中国保藏中心 微生物资源中心 保藏中心 https:/// 中国保藏中心 微生物资源中心 保藏中心 ；军队哗变：发动～。 【兵不血刃】ī兵器上面没有沾血，指未经交锋而取得胜利。 【兵不厌诈】ī用兵打仗可以使用欺诈的办法迷惑敌人（语本《韩非子?难一》：“战阵之间，不 厌诈伪。”不厌：不排斥；不以为非）。 【兵车】ī名①古代作战用的车辆。②指运载军队的列车、汽车等。 【兵船】ī名旧时指军舰。 【兵丁】īī名士兵的 旧称。 【兵法】ī名古代指用兵作战的策略和方法：熟谙～。 【兵符】ī名①古代调兵遣将的符节。②兵书。 【兵戈】ī〈书〉名兵器，借指战争：不动～｜～ 四起。 【兵革】ī〈书〉名兵器和甲胄，借指战争：～未息。 【兵工】ī名军工。 【兵工厂】ī名制造武器装备的工厂。 【兵贵神速】ī用兵以行动特别迅速最 为重要（语出《三国志?魏书?郭嘉传》）。 【兵荒马乱】ī形容战时社会动荡不安的景象。 【兵火】ī名战火，指战争：～连天｜书稿毁于～。 【兵家】ī名① 古代研究军事理论、从事军事活动的学派。主要代表人物有孙武、孙膑等。②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。 【兵舰】ī名军舰。 【兵 谏】ī动用武力胁迫君主或当权者接受规劝：发动～。 【兵来将挡，水来土掩】ī，比喻不管对方使用什么计策、手段，都有对付办法。也比喻针对具体情况 采取相应对策。 【兵力】ī名军队的实力，包括人员和武器装备等：～雄厚｜集中～。 【兵临城下】ī指大军压境，城被围困。形容形势危急。 【兵乱】ī名由 战争造成的混乱局面；兵灾：屡遭～。 【兵马俑】ī名古代用来殉葬的兵马形象的陶俑。 【兵痞】ī名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。 【兵棋】ī名特制的军队标号图型和人员、兵器、地物等模型，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动，供指挥员研究作战和训练等情况时使用。 【兵器】 ī名武器?。 【兵强马壮】形容军队实力强，富有战斗力。 【兵权】ī名军权。 【兵戎】ī〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。 【兵士】ī名士 兵。 【兵书】ī名讲兵法的书。 【兵团】ī名①军队的一级组织，下辖几个军或师。②泛指团以上的部队：主力～｜地方～。
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12
• 分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.
• 由类比思想的应用可得: 若三个数成等比数列，则设这三个数
为 a , a , a q， 再联立方程组. q
三个正数成等比数列，他们的和等于21，
倒数的和等于 7 ，求这三个数.
12
解：设三个正数为
a , a, a q.
q
a aaq 21， a(1 1q) 21，
则am+an=ap+aq
若bn-k,bn,bn+k 是{bn}中的三项
则 bn2bnk•bnk.
若n+m=p+q
则bn bm=bp bq
变 式 ： （ 1 ） 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 1 1 ,a 5 9 ,
则 a 33 , q 3 .
( 2 ) 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 1 5 1 0 , a 4 5 9 0 , 则 a 6 0 270.
( 3 ) 在 等 比 数 列 a n 中 ， 若 a 1 a 2 2 ,a 3 a 4 4 ，
a,G,b成等比, 则G2=ab
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d. 猜想1：bn bmqnm.
性质２：若an-k,an,an+k
猜想2：
是{an}中的三项，
若bn-k,bn,bn+k
则2an=an+k+ an-k.
( 2 ) 求 数 列 a n 的 通 项 公 式 .
小结
等差数列与等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
bn bmqnm
性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项， 则2an=an+k+ an-k.
性质３： 若n+m=p+q
首项a1, 公差d
首项a1, 公比q(q≠0)
d与{an}
q与{an}
通项 公式
d＞0 d＜0 d＝0
{an }递增 {an }递减 {an }为常数列
q＞0 q＜0 q＝1
{an }中各项同号 {an }中的项正负相间 {an }为非零常数列
an= a1+（n-1）d
an= a1·qn-1
中项 a,A,b成等差,则2A=a＋b
是{bn}中的三项，
则 bn2bnkbnk.
性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ３： 若n+m=p+q，
则am+an=ap+aq.
猜想3：若n+m=p+q，
则bn ·bm=bp ·bq.
bn bmqnm.
证明:
b m b 1q m 1 ,b n b 1q n 1 ，
b m q n m b 1 q m 1 q n m
等比数列的性质及其应用(1)
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，每
定义
每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列
一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫
就叫做等差数列.
做等比数列.
数学 表达
an+1-an= d(常数)
an+1 an
=
q(常数)
符号 表示
q
q
得
q1 1 7， a a aq 12
1(q11) 7 .
a
q 12
a23.6 a6,
q 2或1 . 2
例3:a,b,c,d成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为0. 求证:a+b,b+c,c+d成等比数列.
变式：
已知数列an满足a1 1,an1 2an 1， (1)求证：数列an 1是等比数列；
b1 qn1
bn.
若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq.
证明: b nb m b 1q 1 n 1b 1q 1 m 1
b12q1nm2， b pb qb 1q 1p 1b 1q 1 q 1
n m p q b1， 2 qb1npqbm 2， bpbq.
反之成立吗? 不 一 定 ， 当 q = 1 时 不 成 立 .
则 a 4 a 5
(4)在 1和 n 间 插 入 n 个 正 数 ， 使 得 这 n2 个 数 成 等 比 数 列 ， n
求 插 入 的 这 n 个 数 的 积 .
Tn1 na1a2
倒
an1ann 序
Tnnanan1
1 a2a1n
相 乘
例2: 三个数成等比数列，它们的和等于21， 倒数的和等于 7 ，求这三个数.
如 数 列 a n : 1 ,1 ,1 ,1
例1:
⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16， a8= -128 .
⒉在等比数列{an}中，且an＞0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 .
⒊在等比数列{an}中，若 a4a7a13 a16 62 ， 5 则a10= 5 .
• 分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.
• 由类比思想的应用可得: 若三个数成等比数列，则设这三个数
为 a , a , a q， 再联立方程组. q
三个正数成等比数列，他们的和等于21，
倒数的和等于 7 ，求这三个数.
12
解：设三个正数为
a , a, a q.
q
a aaq 21， a(1 1q) 21，
则am+an=ap+aq
若bn-k,bn,bn+k 是{bn}中的三项
则 bn2bnk•bnk.
若n+m=p+q
则bn bm=bp bq
变 式 ： （ 1 ） 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 1 1 ,a 5 9 ,
则 a 33 , q 3 .
( 2 ) 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 1 5 1 0 , a 4 5 9 0 , 则 a 6 0 270.
( 3 ) 在 等 比 数 列 a n 中 ， 若 a 1 a 2 2 ,a 3 a 4 4 ，
a,G,b成等比, 则G2=ab
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d. 猜想1：bn bmqnm.
性质２：若an-k,an,an+k
猜想2：
是{an}中的三项，
若bn-k,bn,bn+k
则2an=an+k+ an-k.
( 2 ) 求 数 列 a n 的 通 项 公 式 .
小结
等差数列与等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
bn bmqnm
性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项， 则2an=an+k+ an-k.
性质３： 若n+m=p+q
首项a1, 公差d
首项a1, 公比q(q≠0)
d与{an}
q与{an}
通项 公式
d＞0 d＜0 d＝0
{an }递增 {an }递减 {an }为常数列
q＞0 q＜0 q＝1
{an }中各项同号 {an }中的项正负相间 {an }为非零常数列
an= a1+（n-1）d
an= a1·qn-1
中项 a,A,b成等差,则2A=a＋b
是{bn}中的三项，
则 bn2bnkbnk.
性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ３： 若n+m=p+q，
则am+an=ap+aq.
猜想3：若n+m=p+q，
则bn ·bm=bp ·bq.
bn bmqnm.
证明:
b m b 1q m 1 ,b n b 1q n 1 ，
b m q n m b 1 q m 1 q n m
等比数列的性质及其应用(1)
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，每
定义
每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列
一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫
就叫做等差数列.
做等比数列.
数学 表达
an+1-an= d(常数)
an+1 an
=
q(常数)
符号 表示
q
q
得
q1 1 7， a a aq 12
1(q11) 7 .
a
q 12
a23.6 a6,
q 2或1 . 2
例3:a,b,c,d成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为0. 求证:a+b,b+c,c+d成等比数列.
变式：
已知数列an满足a1 1,an1 2an 1， (1)求证：数列an 1是等比数列；
b1 qn1
bn.
若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq.
证明: b nb m b 1q 1 n 1b 1q 1 m 1
b12q1nm2， b pb qb 1q 1p 1b 1q 1 q 1
n m p q b1， 2 qb1npqbm 2， bpbq.
反之成立吗? 不 一 定 ， 当 q = 1 时 不 成 立 .
则 a 4 a 5
(4)在 1和 n 间 插 入 n 个 正 数 ， 使 得 这 n2 个 数 成 等 比 数 列 ， n
求 插 入 的 这 n 个 数 的 积 .
Tn1 na1a2
倒
an1ann 序
Tnnanan1
1 a2a1n
相 乘
例2: 三个数成等比数列，它们的和等于21， 倒数的和等于 7 ，求这三个数.
如 数 列 a n : 1 ,1 ,1 ,1
例1:
⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16， a8= -128 .
⒉在等比数列{an}中，且an＞0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 .
⒊在等比数列{an}中，若 a4a7a13 a16 62 ， 5 则a10= 5 .