菱形难题组卷答案

答：
S△ABC= x• x= x2，
∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 x﹣ ，较短的对角线为
（ x﹣ ） = x﹣1，
∴黑色菱形的面积= （ x﹣ ）（ x﹣1）= （x﹣2）2，
∴=
=，
整理得，11x2﹣144x+144=0， 解得 x1= （不符合题意，舍去），x2=12， 所以，△ABC 的边长是 12． 故答案为：12． 点 本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于 评： 60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形 的面积与菱形的面积列出方程．
等于△ABD 的面积， ×8×4 =16 cm2．
故答案为：16 ．
点 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造 评： 出等边三角形是解题的关键．
2．（2012•湖州）如图，将正△ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三角形和一个 黑色菱形，这个黑色菱形可分割成 n 个边长为 1 的小三角形，若 = ，则△ABC 的边长是 12 ．
答案 四．填空题（共 29 小题） 1．（2012•沈阳）如图，菱形 ABCD 的边长为 8cm，∠A=60°，DE⊥AB 于点 E， DF⊥BC 于点 F，则四边形 BEDF 的面积为 16 cm2．
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点：
专 压轴题．
题：
分 连接 BD，可得△ABD 是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形
3．（2012•西宁）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， AC=12，BD=16，E 为 AD 中点，点 P 在 x 轴上移动，小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的 P 点坐标 （8，0）或（ ，0） ．
考 菱形的性质．菁优网版权所有
点：
专 压轴题．
题：
分 作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长
析： 最大，设菱形的边长为 x，表示出 AB，然后利用勾股定理列式进行计算求
出 x，再根据菱形的四条边都相等解答．
解 解：如图，菱形的周长最大，
答：
设菱形的边长 AC=x，则 AB=4﹣x，
考 菱形的性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有 点：
专 压轴题；规律型． 题：
分 设正△ABC 的边长为 x，根据等边三角形的高为边长的 倍，求出正△ 析： ABC 的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根
据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分 成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解． 解 解：设正△ABC 的边长为 x，则高为 x，
∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2， ∴EK= OA=3，
∴OK=
=4，
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK， 即 OP：5= ：4，
解得：OP= ，
∴P 点Baidu Nhomakorabea标为（ ，0）．
∴其余所有符合这个条件的 P 点坐标为：（8，0）或（ ，0）．
解 解：∵四边形 ABCD 是菱形，
答：
∴AC⊥BD，OA= AC= ×12=6，OD= BD= ×16=8，
∴在 Rt△AOD 中，AD=
=10，
∵E 为 AD 中点， ∴OE= AD= ×10=5，
①当 OP=OE 时，P 点坐标（﹣5，0）和（5，0）；
②当 OE=PE 时，此时点 P 与 D 点重合，即 P 点坐标为（8，0）； ③如图，当 OP=EP 时，过点 E 作 EK⊥BD 于 K，作 OE 的垂直平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P，
考 菱形的性质；认识立体图形；几何体的展开图．菁优网版权所有
点：
专 压轴题．
题：
分 由底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，由体积=底面积×
析： 高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为
200cm2，即可求得底面菱形的周长与 BC 边上的高 AE 的长，由勾股定理求
考 菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．菁优网版权所有
点：
专 压轴题．
题：
分 由在菱形 ABCD 中，AC=12，BD=16，E 为 AD 中点，根据菱形的性质 析： 与直角三角形的性质，易求得 OE 的长，然后分别从①当 OP=OE 时，②当
OE=PE 时，③当 OP=EP 时去分析求解即可求得答案．
析： 的对称性可得四边形 BEDF 的面积等于△ABD 的面积，然后求出 DE 的长
度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解 解：如图，连接 BD，∵∠A=60°，AB=AD（菱形的边长），
答：
∴△ABD 是等边三角形，
∴DE= AD= ×8=4 cm，
根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形 BEDF 的面积
在 Rt△ABC 中，AC2=AB2+BC2，
即 x2=（4﹣x）2+12， 解得 x= ，
所以，菱形的最大周长= ×4= ．
故答案为： ．
点 本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时 评： 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
5．（2012•杭州）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3， 则这个棱柱的下底面积为 15 cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为 200cm2，记底 面菱形的顶点依次为 A，B，C，D，AE 是 BC 边上的高，则 CE 的长为 1 或 9 cm．
得 BE 的长，继而求得 CE 的长．
解 解：∵底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，
答：
∴这个棱柱的下底面积为：150÷10=15（cm2）；
故答案为：（8，0）或（ ，0）．
点 此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角 评： 形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
4．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为 4，宽为 1 的矩形纸条交叉并旋转，使 重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是 4，那么菱形周长的最大值是 ．