圆锥曲线-利用向量转化几何条件
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一、数量积公式与韦达定理结合
1.平面上动点P到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=−2的距离小1.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F作直线与曲线C交于两点A,B,与直线l交于点M,求|MA|·|MB|的最小值.
二、角条件转化为向量(直角、锐角、钝角)
1.椭圆的方程为x2
4
+
y2
3
=1,设动直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,
且与直线x=4相交于点Q,试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以P Q为直径的圆恒过点M?若存在求出点M的坐标,若不存在说明理由。
2.已知F1,F2分别是椭圆x2
4
+y2=1的左右焦点。
(1)若P是第一象限内该椭圆上一点,−−→
P F1·
−−→
P F2=−
5
4
,求点P的坐标;
(2)设过定点M(2,0)直线l于椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角,求直线l斜率的取值范围。
3.已知中心在坐标原点O,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)直线l平行于OM,且与椭圆交与A!B两个不同点;
(1)求椭圆的方程
(2)若∠AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围;
(3)求证直线MA,MB与x轴围城的三角形总是等腰三角形。
三、证明三点共线转化为向量
1.(利用−→a=λ−→
b,转化为比值关系)已知曲线C:(5−m)x2+(m−2)y2=8(m∈R)
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M.N,直线y=1与直线BM交于点G。求证:A,G,N三点共线。
2.已知椭圆C:x2
8
+
y2
4
=1与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4
与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线.
四、同一直线上不同线段比的问题转化为向量
1.已知x2−y2
3
=1(x>1)设直线y=−2x+m与y轴交于点P,与C相交于点Q,R,
且|P Q|<|P R|,求|P R|
|P Q|的取值范围。
2.已知椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率e=√
3
3
,椭圆E的右顶点与上
顶点之间的距离为√5.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过定点P(−3,4)且斜率为k的直线交椭圆E于不同的两点M,N,在线段MN取异
于M,N的点H,满足|P M|
|P N|=
|MH|
|HN|,证明:点H恒在一条直线上,并求出这条直线
的方程.
3.已知椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),双曲线
x2
a2
−y
2
b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近
线l1,l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使得l⊥l2,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B。
(1)当l1,l2夹角为60◦,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程及离心率;
(2)求|F A|
|AP|的最大值。