圆锥曲线-利用向量转化几何条件

一、数量积公式与韦达定理结合

1.平面上动点P到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=−2的距离小1．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作直线与曲线C交于两点A,B，与直线l交于点M，求|MA|·|MB|的最小值．

二、角条件转化为向量（直角、锐角、钝角）

1.椭圆的方程为x2

4

+

y2

3

=1，设动直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，

且与直线x=4相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以P Q为直径的圆恒过点M？若存在求出点M的坐标，若不存在说明理由。

2.已知F1,F2分别是椭圆x2

4

+y2=1的左右焦点。

（1）若P是第一象限内该椭圆上一点，−−→

P F1·

−−→

P F2=−

5

4

,求点P的坐标；

（2）设过定点M(2,0)直线l于椭圆交于不同的两点A,B，且∠AOB为锐角，求直线l斜率的取值范围。

3.已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)直线l平行于OM，且与椭圆交与A!B两个不同点；

（1）求椭圆的方程

（2）若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；

（3）求证直线MA,MB与x轴围城的三角形总是等腰三角形。

三、证明三点共线转化为向量

1.（利用−→a=λ−→

b,转化为比值关系）已知曲线C:(5−m)x2+(m−2)y2=8(m∈R)

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M.N，直线y=1与直线BM交于点G。求证：A,G,N三点共线。

2.已知椭圆C:x2

8

+

y2

4

=1与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4

与曲线C交于不同的两点M,N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A,G,N三点共线.

四、同一直线上不同线段比的问题转化为向量

1.已知x2−y2

3

=1(x>1)设直线y=−2x+m与y轴交于点P，与C相交于点Q,R，

且|P Q|<|P R|，求|P R|

|P Q|的取值范围。

2.已知椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=√

3

3

，椭圆E的右顶点与上

顶点之间的距离为√5.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过定点P(−3,4)且斜率为k的直线交椭圆E于不同的两点M,N，在线段MN取异

于M,N的点H，满足|P M|

|P N|=

|MH|

|HN|，证明：点H恒在一条直线上，并求出这条直线

的方程.

3.已知椭圆C:x2

a2

+

y2

b2

=1(a>b>0)，双曲线

x2

a2

−y

2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近

线l1,l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使得l⊥l2，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B。

（1）当l1,l2夹角为60◦，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；

（2）求|F A|

|AP|的最大值。