气隙磁导的计算
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干个有简单几何形状的磁通管，先分别计算每个磁通管的磁导，再将 并联的磁通管磁导相加以求出全部气隙磁通的Λδ。
二、分析对象： 气隙较大、边缘磁通不能忽略的情况。
14
§8-3 分割磁场法
三、计算公式：
每一个磁通管的磁导，可由其平均截面积和平均长度之比决定，
即 ▪ ▪
i
0 S av av
式中 Λ i —— 磁通管的磁导(H)； Sav —— 磁通管的平均截面积(m2) δav —— 磁通管的平均长度(m)。
式中 ▪
l3I
2
(r
I
)
则
l3III
2
(r
III
)
3II 4(20Im I l3Im I )3IV
l3II
2
(r
II
)
3 3I2 3II 3III
29
§8-3 分割磁场法
将以上各磁通管磁导相加起来，即得到工作气隙磁导
Λδ，其计算式为
▪
123
式中 “ r ”的含义：对无极靴拍合式电磁铁，r表示铁心
★ 气隙磁导的计算方法有解析法、图解法、磁场分割法、经验公式法 以及数值方法等。由于磁极边缘效应的影响以及磁极侧面磁通扩散的影响， 气隙磁场的分布十分复杂。工程计算中常要通过合理假设将问题简化，然 后再作具体运算。
36
小结
★ 解析法只适用于均匀磁场、也即边缘效应和磁通扩散可以忽略 不计时的计算，这种场合不多，所以很少单独实际应用，但解析法是 以严格的电磁场理论和数学方法为基础的，所以可以说是其他各种方 法的基础。
例2: 用分割磁场法求拍合式电磁铁的 气隙磁导。
图5-14中，由于极面不平行，工作 气隙长度各处不同，作为近似计算，可以 将气隙磁场划分为I、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ四个区 域，并假定每个区域内气隙长度相等，即 第I区域气隙长度δI ＝(R-r)θ,第Ⅱ和第Ⅳ 区域气隙长度δⅡ =δⅣ=Rθ,第Ⅲ区域气隙 长度为δⅢ＝(R+r)θ。
性垫片； 4、与漏磁通相对应的漏磁气隙。
4
§8-1 概 述
二、表示不同气隙的示意图。
5
§8-1 概 述
三、计算气隙磁导（Λδ）的必要性：
气隙较大且磁路不饱和时，工作气隙的磁阻Rδ比导磁体的磁阻大得 多，故磁路的磁通势大多消耗在工作气隙δ上。因此 Λδ的计算结果直接磁 路计算的结果。
四、计算方法： 数学解析法、分隔磁场法、图解法、经验公式法。
2III 0.520l2III
▪
式中
l2I
(r I )
22
l2II
(r II
22
)
▪ 则
l2III
(r III
22
)
2 2I2 2II 2III
28
§8-3 分割磁场法
(3) 1/4空心圆柱体3的磁导
▪ ▪
3I
40ml3I (2I m)
▪
3III
40ml3III (2III m)
Λδ
0 d 2 4
(0.866d0.307)2
0
12
§8-2 数学解析法
4、如图所示，对端面不平行的矩形磁极：
式中 dx∈（r1，r2）， θ= δ/x，即 δ =θ* x，
积分，得：
d
0bdx
d r2
r1
0b
r2 dx x r1
0b ln r2
r1
13
§8-3 分割磁场法
一、分割磁场法 是把包括边缘磁通在内的全部气隙磁通按其可能的路径分割成若
4、磁场分割法。
通过本章的学习，使学生掌握工程中所用的磁导计算的方法，课后学 生还可了解最新的ANSYS软件分析磁场
▪
3
§8-1 概 述
一、气隙的种类： 1、产生电磁吸力并作功的可变的工作气隙，也称主
气隙； 2、主磁通必经路径上、因结构原因而存在的固定气
隙，或略有变化的气隙； 3、为防止剩磁阻碍衔铁释放而设的固定气隙和非磁
6
§8-2 数学解析法
一、气隙磁导计算方法 二 、 欧姆定律求气隙磁导Λδ的方法
7
§8-2 数学解析法
一、气隙磁导计算： 当磁力线和等磁位线的分布可以通过数学表达式来描述时，气隙磁
导就能应用解析法计算。 然而，只有在某些特殊场合，例如：磁极形状为规则的几何形状、
气隙内的磁通分布和等位线分布均匀、而且磁极的边缘效应及磁通的扩 散可以忽略不计时，方能运用磁场理论和严格的数学推导，直接求得准 确的气隙磁导计算公式。
★ 图解法是在正确描绘磁场图景的基础上计算气隙磁导的一种方 法，它原则上可用于任何场合。由于作图过程是个反复修改的过程， 工作量很大，同时准确度还决定于作图者的技巧、经验和熟练程度， 故除非气隙几何形状过于复杂，一股不采用图解法。
37
小结
★ 磁场分割法是兼具解析法的严格性和图解法能考虑 到磁场分布的空间性的一种综合方法。它立足于估计磁通 的可能路径,把磁场分割为若干具有规则形状的磁通管， 然后以解析法求这些磁通管的磁导，最后总其成得到气隙 磁导。因此，以磁场分割法求气隙磁导既方便、又能保证 工程计算所需的准确度。在各种气隙磁导计算方法中，磁 场分割法是最常使用的。
26
§8-3 分割磁场法
拍合式电磁铁工作气隙磁场可以分 割为圆柱体1、1/4圆柱体2和1/4空心 圆柱体3等磁通管。
磁通管的磁导按下列各式计算： (1) 圆柱体1的磁导
1
0 r 2 C
§8-3 分割磁场法
(2) 1/4圆柱体2的磁导
▪
▪
2I
0.52
0l2I
2II 2IV0 .5 20 l2II
u0 ——真空磁导率(H／m)。
10
§8-2 数学解析法
当δ /a或δ/b＞0.2时,则用下式计算Λδ： 式中 增加”0.307δ/π”项是考虑了边缘磁通而 增加的修正系数。
0(a0.3 07)(b0.3 07)
11
§8-2 数学解析法
3、相互平行的圆形导体：
如图所示。
当δ/d≤0.2:
或δ/d＞0.2时,则用下式计算
§8-3 分割磁场法
(四) l/8球体4的磁导Λ4 l/8球体磁通管的球体半径为δ，磁通管的平均长度δav用作图法求
出，为 δav=1.3δ
磁通管的体积V为 V=πδ3/6 则
4 0a2Vv 0.3080
23
Hale Waihona Puke Baidu
§8-3 分割磁场法
(五) l/8空心球体5的磁导Λ5
l/8球体磁通管的球体内半径为δ，外半径为（δ＋m），磁通管的平
av
4
(2
m)
20
§8-3 分割磁场法
磁通管的平均截面积Sav为
Sav ma
则
3
40ma (2 m)
21
§8-3 分割磁场法
磁通管的平均长度δav为
Sav ma
磁通管的平均长度δav为
3
40ma (2 m)
当δ＜3m时，也可以用端面不平行磁根间气隙
磁导的计算式计算。
3
20aln(1m)
22
15
§8-3 分割磁场法
或 ▪
i
0V 2
av
式中 V —— 磁通管的体积(m3)。
各并联磁通管磁导之和即为气隙磁导Λδ，其计算式为:
n
▪ ▪
i
i1
式中 n——磁通管数目。
16
§8-3 分割磁场法
四、举例说明： 例1：一边长为a的正方形磁极 对—个平行的无限大平面之间的 气隙磁场，可以分割为—个长方 体1、四个l/4圆柱体2、四个 1/4空心圆柱体3、四个l/8球体 4和四个1/8空心球体5等磁通管。
1．57δ之间，由作图法测定为δav＝1．22δ,磁通管的平均截面积Sav为:
SavVav 4 1.2 2a20.644a
则
2001 .6.2 42 4a0.5280a
19
§8-3 分割磁场法
(三) l/4空心圆柱体3的磁导Λ3 l/4圆柱体磁通管磁通管的内半径是δ ，外半径为δ＋m，m表示边 缘磁通的范围，常根据实验或经验确定，在δ值较小时，可取M等于 (1~2)δ，对于有极靴的直流电磁铁，可取m等于极靴厚度。 磁通管的平均长度δav为
8
§8-2 数学解析法
二、按照磁路的欧姆定律求气隙磁导Λδ的方法： 1、对均匀磁场，常用Λδ的计算公式为：
1 R
0S
气隙长度
9
§8-2 数学解析法
2、两平行平面的矩形磁极：
1 R
0ab
式中 Λδ——气隙磁导(H)；
a ——磁极长度(m)；
b ——磁极宽度(m)；
δ ——磁极间气隙长度(m)；
半径；对有极靴的拍合式电磁铁，r表示极靴半径。
30
§8-3 分割磁场法 各种规则的磁通管的磁导计算公式对照表：
31
§8-3 分割磁场法 ▪
32
§8-3 分割磁场法
33
§8-4 磁导的实验研究
实验研究目的：是为了解决两个问题，一是利用得自实 验的大量数据概括出计算磁导的经验公式；二是利用实验 结果来比较各种磁导计算方法的误差。
根据磁导的定义，在实验中可以通过测量气隙磁通 Φδ和气隙磁压降Uδ，然后求其比值的方式来求气隙磁导。 因此，以实验方式测定气隙磁导，实质上就是测定气隙磁 通和气隙磁压降。
34
实验： 用磁通计测磁通。
§8-4 磁导的实验研究
35
小结
★ 对于通过衔铁运动作机械功的一类电磁系统，气隙是必不可少的。 由于气隙中空气的磁导率远小于磁导体的磁导率，故气隙磁阻远比同尺寸 的磁导体的磁阻大。此外，气隙磁阻计算较复杂，不易提高其准确度。因 此，整个电磁系统计算的准确度，往往由气隙(特别是工作气隙)磁导的计 算准确度所决定。
★ 数值方法具有适应性强和准确度高的优点，但计算 成本高，故宜用于难度高而又需作大宗运算的场合。
38
小结
综上所述，在计算气隙磁导时：若气隙值甚小， 允许忽略边缘效应和磁通扩散，可采用解析法(当磁 场形状规则时)；否则，就应采用磁场分割法；若磁 场形状很复杂，则应采用图解法或数值方法。
39
电 器 理 论 基 础-第八章
天津工业大学 电气工程与自动化学院
电气工程及其自动化专业
本章讲授内容
1、概述 2、解析法 3、磁场分割法 4、磁导的实验研究
2
前言
教学目的与要求：
掌握解析法与磁场分割法，了解图解法
教学重点与难点：
解析法与磁场分割法
教学基本内容：
1、气隙磁导计算概述； 2、解析法；
3、图解法；
均长度δav为: δav=π(2δ+m )/4,磁通管的平均截面积为: Sav=πm
(2δ+m )/8, 则
m(2 m)
5
0
8
m(2
m)
0.50m
4
24
§8-3 分割磁场法 求出各磁通管的磁导以后，则总的气隙磁导可用下式计算：
1 4 ( 2 3 4 5 )
25
§8-3 分割磁场法
17
§8-3 分割磁场法
先分别计算各磁通管的磁导。
(一) 长方体1的磁导Λ1
▪
▪
2
a ▪
0
1
式中 δ ——正方形磁极到平面的距离 (m)；
a ——正方形磁圾的边长(m)。
18
§8-3 分割磁场法
(二) l/4圆柱体磁通管的磁导Λ1 l/4圆柱体磁通管的半径是δ、长度为a，磁通管的平均长度在δ和
二、分析对象： 气隙较大、边缘磁通不能忽略的情况。
14
§8-3 分割磁场法
三、计算公式：
每一个磁通管的磁导，可由其平均截面积和平均长度之比决定，
即 ▪ ▪
i
0 S av av
式中 Λ i —— 磁通管的磁导(H)； Sav —— 磁通管的平均截面积(m2) δav —— 磁通管的平均长度(m)。
式中 ▪
l3I
2
(r
I
)
则
l3III
2
(r
III
)
3II 4(20Im I l3Im I )3IV
l3II
2
(r
II
)
3 3I2 3II 3III
29
§8-3 分割磁场法
将以上各磁通管磁导相加起来，即得到工作气隙磁导
Λδ，其计算式为
▪
123
式中 “ r ”的含义：对无极靴拍合式电磁铁，r表示铁心
★ 气隙磁导的计算方法有解析法、图解法、磁场分割法、经验公式法 以及数值方法等。由于磁极边缘效应的影响以及磁极侧面磁通扩散的影响， 气隙磁场的分布十分复杂。工程计算中常要通过合理假设将问题简化，然 后再作具体运算。
36
小结
★ 解析法只适用于均匀磁场、也即边缘效应和磁通扩散可以忽略 不计时的计算，这种场合不多，所以很少单独实际应用，但解析法是 以严格的电磁场理论和数学方法为基础的，所以可以说是其他各种方 法的基础。
例2: 用分割磁场法求拍合式电磁铁的 气隙磁导。
图5-14中，由于极面不平行，工作 气隙长度各处不同，作为近似计算，可以 将气隙磁场划分为I、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ四个区 域，并假定每个区域内气隙长度相等，即 第I区域气隙长度δI ＝(R-r)θ,第Ⅱ和第Ⅳ 区域气隙长度δⅡ =δⅣ=Rθ,第Ⅲ区域气隙 长度为δⅢ＝(R+r)θ。
性垫片； 4、与漏磁通相对应的漏磁气隙。
4
§8-1 概 述
二、表示不同气隙的示意图。
5
§8-1 概 述
三、计算气隙磁导（Λδ）的必要性：
气隙较大且磁路不饱和时，工作气隙的磁阻Rδ比导磁体的磁阻大得 多，故磁路的磁通势大多消耗在工作气隙δ上。因此 Λδ的计算结果直接磁 路计算的结果。
四、计算方法： 数学解析法、分隔磁场法、图解法、经验公式法。
2III 0.520l2III
▪
式中
l2I
(r I )
22
l2II
(r II
22
)
▪ 则
l2III
(r III
22
)
2 2I2 2II 2III
28
§8-3 分割磁场法
(3) 1/4空心圆柱体3的磁导
▪ ▪
3I
40ml3I (2I m)
▪
3III
40ml3III (2III m)
Λδ
0 d 2 4
(0.866d0.307)2
0
12
§8-2 数学解析法
4、如图所示，对端面不平行的矩形磁极：
式中 dx∈（r1，r2）， θ= δ/x，即 δ =θ* x，
积分，得：
d
0bdx
d r2
r1
0b
r2 dx x r1
0b ln r2
r1
13
§8-3 分割磁场法
一、分割磁场法 是把包括边缘磁通在内的全部气隙磁通按其可能的路径分割成若
4、磁场分割法。
通过本章的学习，使学生掌握工程中所用的磁导计算的方法，课后学 生还可了解最新的ANSYS软件分析磁场
▪
3
§8-1 概 述
一、气隙的种类： 1、产生电磁吸力并作功的可变的工作气隙，也称主
气隙； 2、主磁通必经路径上、因结构原因而存在的固定气
隙，或略有变化的气隙； 3、为防止剩磁阻碍衔铁释放而设的固定气隙和非磁
6
§8-2 数学解析法
一、气隙磁导计算方法 二 、 欧姆定律求气隙磁导Λδ的方法
7
§8-2 数学解析法
一、气隙磁导计算： 当磁力线和等磁位线的分布可以通过数学表达式来描述时，气隙磁
导就能应用解析法计算。 然而，只有在某些特殊场合，例如：磁极形状为规则的几何形状、
气隙内的磁通分布和等位线分布均匀、而且磁极的边缘效应及磁通的扩 散可以忽略不计时，方能运用磁场理论和严格的数学推导，直接求得准 确的气隙磁导计算公式。
★ 图解法是在正确描绘磁场图景的基础上计算气隙磁导的一种方 法，它原则上可用于任何场合。由于作图过程是个反复修改的过程， 工作量很大，同时准确度还决定于作图者的技巧、经验和熟练程度， 故除非气隙几何形状过于复杂，一股不采用图解法。
37
小结
★ 磁场分割法是兼具解析法的严格性和图解法能考虑 到磁场分布的空间性的一种综合方法。它立足于估计磁通 的可能路径,把磁场分割为若干具有规则形状的磁通管， 然后以解析法求这些磁通管的磁导，最后总其成得到气隙 磁导。因此，以磁场分割法求气隙磁导既方便、又能保证 工程计算所需的准确度。在各种气隙磁导计算方法中，磁 场分割法是最常使用的。
26
§8-3 分割磁场法
拍合式电磁铁工作气隙磁场可以分 割为圆柱体1、1/4圆柱体2和1/4空心 圆柱体3等磁通管。
磁通管的磁导按下列各式计算： (1) 圆柱体1的磁导
1
0 r 2 C
§8-3 分割磁场法
(2) 1/4圆柱体2的磁导
▪
▪
2I
0.52
0l2I
2II 2IV0 .5 20 l2II
u0 ——真空磁导率(H／m)。
10
§8-2 数学解析法
当δ /a或δ/b＞0.2时,则用下式计算Λδ： 式中 增加”0.307δ/π”项是考虑了边缘磁通而 增加的修正系数。
0(a0.3 07)(b0.3 07)
11
§8-2 数学解析法
3、相互平行的圆形导体：
如图所示。
当δ/d≤0.2:
或δ/d＞0.2时,则用下式计算
§8-3 分割磁场法
(四) l/8球体4的磁导Λ4 l/8球体磁通管的球体半径为δ，磁通管的平均长度δav用作图法求
出，为 δav=1.3δ
磁通管的体积V为 V=πδ3/6 则
4 0a2Vv 0.3080
23
Hale Waihona Puke Baidu
§8-3 分割磁场法
(五) l/8空心球体5的磁导Λ5
l/8球体磁通管的球体内半径为δ，外半径为（δ＋m），磁通管的平
av
4
(2
m)
20
§8-3 分割磁场法
磁通管的平均截面积Sav为
Sav ma
则
3
40ma (2 m)
21
§8-3 分割磁场法
磁通管的平均长度δav为
Sav ma
磁通管的平均长度δav为
3
40ma (2 m)
当δ＜3m时，也可以用端面不平行磁根间气隙
磁导的计算式计算。
3
20aln(1m)
22
15
§8-3 分割磁场法
或 ▪
i
0V 2
av
式中 V —— 磁通管的体积(m3)。
各并联磁通管磁导之和即为气隙磁导Λδ，其计算式为:
n
▪ ▪
i
i1
式中 n——磁通管数目。
16
§8-3 分割磁场法
四、举例说明： 例1：一边长为a的正方形磁极 对—个平行的无限大平面之间的 气隙磁场，可以分割为—个长方 体1、四个l/4圆柱体2、四个 1/4空心圆柱体3、四个l/8球体 4和四个1/8空心球体5等磁通管。
1．57δ之间，由作图法测定为δav＝1．22δ,磁通管的平均截面积Sav为:
SavVav 4 1.2 2a20.644a
则
2001 .6.2 42 4a0.5280a
19
§8-3 分割磁场法
(三) l/4空心圆柱体3的磁导Λ3 l/4圆柱体磁通管磁通管的内半径是δ ，外半径为δ＋m，m表示边 缘磁通的范围，常根据实验或经验确定，在δ值较小时，可取M等于 (1~2)δ，对于有极靴的直流电磁铁，可取m等于极靴厚度。 磁通管的平均长度δav为
8
§8-2 数学解析法
二、按照磁路的欧姆定律求气隙磁导Λδ的方法： 1、对均匀磁场，常用Λδ的计算公式为：
1 R
0S
气隙长度
9
§8-2 数学解析法
2、两平行平面的矩形磁极：
1 R
0ab
式中 Λδ——气隙磁导(H)；
a ——磁极长度(m)；
b ——磁极宽度(m)；
δ ——磁极间气隙长度(m)；
半径；对有极靴的拍合式电磁铁，r表示极靴半径。
30
§8-3 分割磁场法 各种规则的磁通管的磁导计算公式对照表：
31
§8-3 分割磁场法 ▪
32
§8-3 分割磁场法
33
§8-4 磁导的实验研究
实验研究目的：是为了解决两个问题，一是利用得自实 验的大量数据概括出计算磁导的经验公式；二是利用实验 结果来比较各种磁导计算方法的误差。
根据磁导的定义，在实验中可以通过测量气隙磁通 Φδ和气隙磁压降Uδ，然后求其比值的方式来求气隙磁导。 因此，以实验方式测定气隙磁导，实质上就是测定气隙磁 通和气隙磁压降。
34
实验： 用磁通计测磁通。
§8-4 磁导的实验研究
35
小结
★ 对于通过衔铁运动作机械功的一类电磁系统，气隙是必不可少的。 由于气隙中空气的磁导率远小于磁导体的磁导率，故气隙磁阻远比同尺寸 的磁导体的磁阻大。此外，气隙磁阻计算较复杂，不易提高其准确度。因 此，整个电磁系统计算的准确度，往往由气隙(特别是工作气隙)磁导的计 算准确度所决定。
★ 数值方法具有适应性强和准确度高的优点，但计算 成本高，故宜用于难度高而又需作大宗运算的场合。
38
小结
综上所述，在计算气隙磁导时：若气隙值甚小， 允许忽略边缘效应和磁通扩散，可采用解析法(当磁 场形状规则时)；否则，就应采用磁场分割法；若磁 场形状很复杂，则应采用图解法或数值方法。
39
电 器 理 论 基 础-第八章
天津工业大学 电气工程与自动化学院
电气工程及其自动化专业
本章讲授内容
1、概述 2、解析法 3、磁场分割法 4、磁导的实验研究
2
前言
教学目的与要求：
掌握解析法与磁场分割法，了解图解法
教学重点与难点：
解析法与磁场分割法
教学基本内容：
1、气隙磁导计算概述； 2、解析法；
3、图解法；
均长度δav为: δav=π(2δ+m )/4,磁通管的平均截面积为: Sav=πm
(2δ+m )/8, 则
m(2 m)
5
0
8
m(2
m)
0.50m
4
24
§8-3 分割磁场法 求出各磁通管的磁导以后，则总的气隙磁导可用下式计算：
1 4 ( 2 3 4 5 )
25
§8-3 分割磁场法
17
§8-3 分割磁场法
先分别计算各磁通管的磁导。
(一) 长方体1的磁导Λ1
▪
▪
2
a ▪
0
1
式中 δ ——正方形磁极到平面的距离 (m)；
a ——正方形磁圾的边长(m)。
18
§8-3 分割磁场法
(二) l/4圆柱体磁通管的磁导Λ1 l/4圆柱体磁通管的半径是δ、长度为a，磁通管的平均长度在δ和