高二数学上学期期末模拟测试试题(1)理

2016—2017学年上学期期末考试 模拟卷（1）高二理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．考试范围：必修5、选修2-1。

第I 卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p ：2,2nn n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2nn n ∀∈>N B ．2,2nn n ∃∈≤N C ．2,2nn n ∀∈≤ND ．2,=2nn n ∃∈N2．等差数列{}n a 中，6916a a +=，41a =，则11a =A ．64B ．31C ．16D ．153．已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若坐标原点到抛物线2y mx =的准线的距离为2，则m =A ．8B ．8±C ．14±D ．18± 5．设平面α的一个法向量为1(1,2,2)=-n ，平面β的一个法向量为2(2,4,)k =--n ，若αβ∥，则k =A ．2B ．4-C ．2-D ．46．已知ABC △中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，且30,2,2A a b ===，那么满足条件的ABC △ A ．有一个解B ．有两个解C ．不能确定D ．无解7．设变量x ,y 满足约束条件2210,2510x y x y z x y x y +≥⎧⎪--≥=-⎨⎪-≤⎩则A ．有最小值7-，最大值2B ．有最大值1-，无最小值C ．有最小值7-，无最大值D ．既无最小值，也无最大值8．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC △是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．若不等式222424ax ax x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,2]-D ．(,2]-∞-10．过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点, 且点M 平分弦AB ,则直线AB 的方程为A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=11．已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数n 的最大值为A ．9B ．8C ．7D ．512．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为A ．(1,2)B ．(1,10)C ．(2,10)D ．(5,10)第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，空间四边形ΟΑC Β中，ΟΑ=a ，ΟΒ=b ，ΟC =c ，点Μ在OA 上，且23OM OA =，点N 为BC 中点，则MN 等于 ．（用向量,,a b c 表示）14．已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，则数列{}n a 的通项公式为 .15．小华同学骑电动自行车以24km /h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是___________km ．16．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆221(1)4x y -+=于点,,,A B C D 四点，则9||4||AB CD +的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）设命题:p 函数y =lg(x 2＋2ax ＋4)的定义域为R ；:q 函数()(42)x f x a =--在(−∞，＋∞)上是减函数．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11()2n na b n a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）在ABC △中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，34A π=，1010sin =B ，D 为BC 边中点，1=AD ． （1）求cb的值； （2）求ABC △的面积.20．（本小题满分12分）某公司生产一批A 产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元，该公司通过设备升级，生产这批A 产品所需原材料减少了x 吨，且每吨原材料创造的利润提高了0.5%x ；若将少用的x 吨原材料全部用于生产公司新开发的B 产品，每吨原材料创造的利润为1312()1000a x -万元，其中0a >． （1）若设备升级后生产这批A 产品的利润不低于原来生产该批A 产品的利润，求x 的取值范围；（2）若生产这批B 产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A 产品的利润，求a 的最大值．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若3PM MC =，求二面角M BQ C --的大小．22．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得0=⋅OB OA 成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2016—2017学年上学期期末考试 模拟卷（1）高二理科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CDCDDBABCBCC13．211 322 -++ab c14．15,12,2n nnan-=⎧=⎨≥⎩15．3216．37217．（本小题满分10分）【解析】当命题p为真时，即x2＋2ax＋4>0对x∀∈R恒成立.所以222(2)4144160422a a a a∆=-⨯⨯=-<⇒<⇒-<<,令{}|22P a a=-<<；（3分）当命题q为真时，根据指数型函数的单调性分析知其底数大于1，即3421232a a a->⇒<⇒<，令3{|}2Q a a=<，（6分）将集合P Q、在数轴上表示如下：由命题p q∨为真，p q∧为假可知命题p，q一真一假.由上图可知，当(,2]a∈-∞-时，命题p为假，命题q为真；当3[,2)2a∈时，命题p为真，命题q为假,（8分）所以当命题p q∨为真，p q∧为假时，实数a的取值范围是3(,2][,2)2-∞-．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意可知:3311222()()()S a S a S a+=+++，∴31321232S S S S a a a-+-=+-,即314a a=,于是23114aqa==，（3分）∵0q>，∴12q=，∵11a=，∴11()2nna-=.（6分）（2）∵11()2n na b n a +=，∴11()()22n na b n=，即n n n a b =，∴12n n nnb n a -==⋅，（8分） ∴211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅, ①∴2321222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅, ②（10分）①−②得: 2112122222(1)2112nn nn n n T n n n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--,∴1(1)2nn T n =+-⋅.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）在ABC △中，10sin 10B =，34A π=，22cos ,22sin ,10103cos -===∴A A B ， （3分） ∴23102102205sin sin()210210205C A B =+=⨯-⨯==. sin 1052sin 1025b Bc C ∴==⨯=．（6分） （2）D 为BC 的中点，2AD AB AC ∴=+，22242AD AB AB AC AC =+⋅+，即22242()2c b bc =++⋅-， 化简得bc c b 2422-+= ①， 由（1）知22=c b ②，联立①②解得2=b ，22=c ，（10分） 1sin 22ABC S bc A ∴==△.（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意得：12(500)(10.5%)12500x x -+≥⨯．整理得：23000x x -≤，又0x >，故0300x <≤．（4分） （2）由题意知，生产B 产品创造的利润为1312()1000a x x -万元， 设备升级后， 生产A 产品创造的利润为12(500)(10.5%)x x -+万元，（5分） 则1213()12(500)(10.5%)1000a x x x x -≤-+恒成立，（6分） ∴235001252x ax x ≤++，且0x >，∴50031252x a x ≤++．（8分） ∵50050024125125x xx x +≥-50024125x x ⋅=，当且仅当500125x x =，即250x =时等号成立， ∴0 5.5a <≤，∴a 的最大值为5.5．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）∵Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===，1BC =， ∴PQ AD ⊥，QD BC ∥，∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴DC QB ∥， ∵底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=，∴BQ AD ⊥．（4分） 又BQPQ Q =，∴AD ⊥平面PQB ．∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（5分） （2）∵PQ AD ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD =，∴PQ ⊥底面ABCD ，以Q 为原点，QA 所在直线为x 轴，QB 所在直线为y 轴，QP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)Q ，(0,3,0)B ，(1,3,0)C -，(0,0,3)P .（6分）设(,,)M a b c ，则34PM PC =， 即333333(,,3)(1,3,3)(,,)44a b c -=--=--， ∴34a =-，33b =，3c =，∴3333(,,)4M -，（8分） ∴3333(,,)444QM =-，(0,3,0)QB =， 设平面MQB 的法向量(,,)x y z =r ，则3333044430QM x y z QB y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩r r ，取1x =，得(1,0,3)=r .BQC 的一个法向量(0,0,1)=n ．（10分） 设二面角M BQ C --的平面角为θ(显然θ为锐角)，则3cos ||||2θ⋅==⋅r n r n ， ∴6θπ=， ∴二面角M BQ C --的大小为6π．（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 22221x y a b+=(0)a b >>，半焦距为c . 依题意得12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =． 所以2223b a c =-=．（4分）所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（5分） （2）存在直线l ，使得0=⋅OB OA 成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．则∆222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．（7分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+． 若0OA OB ⋅=，则12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，即221212(1)()0k x x km x x m ++++=，所以222224128(1)03434m km k km m k k-+⋅-⋅+=++,化简得2271212m k =+，即227112k m =-． 将227112k m =-代入2234k m +>中，得22734(1)12m m +->，解得234m >．（10分）又由227121212m k =+≥，得2127m ≥，从而2217m ≥或2217m ≤-． 所以实数m 的取值范围是22(,21][21,)77-∞-+∞．（12分）。