相似三角形中的辅助线

相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或实行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线

例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长

线与BC延长线相交于F，求证：

B

D

A C

E

F

证明：过点C作CG//FD交AB于G

F 小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还能够增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。

例2. 如图，△ABC中，AB

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

不相似，因而要通过两组三角形相似，使用中间比代换得到，为构造相似三

角形，需添加平行线。

方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。

方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N

二、作垂线

3. 如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E 、F ，求证：2

AC AF AD AE AB =⋅+⋅。

又 BCM ADN ∆≅∆ ∴ AN=CM

∴ 2

)(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=⋅+⋅

三、作延长线

例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：延长BA 、CD 交于点P ∵CH ⊥AB ，CD 平分∠BCD ∴CB=CP ，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA ：AB=1：2 ∴PA ：PB=1：3 ∵AD ∥BC ∴△PAD ∽△PBC

∴

例6. 如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2

=CF •BF

解析：欲证式即

FG

CF

BF FG = 由“三点定形”，ΔBFG 与ΔCFG 会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG 为Rt Δ），但由E 为CD 的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG 相似的三角形来求解。

不妨延长GF 与AC 的延长线交于H

则

EC FH

ED FG AE AF =

= ∴EC

FH ED FG = 又ED=EC ∴FG=FH 又易证Rt ΔCFH ∽Rt ΔGFB ∴

BF

FH

FG CF =

∴FG ·FH=CF ·BF ∵FG=FH ∴FG 2=CF ·BF 四、作中线

例7 如图，ABC ∆中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求AC 。

解：取BC 的中点M ，连AM ∵ AB ⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C

又 BD=DC ∴ DCB DBC ∠=∠ ∴ DBC C ∠=∠=∠1 ∴ MAC ∆∽DBC ∆ ∴ BC AC DC MC =

又 DC=1 MC=2

1

BC ∴ 22

1

BC DC BC MC AC =⋅=

（1）

又 AEC Rt ∆∽BAC Rt ∆ 又 ∵ EC=1 ∴ BC BC CE AC =⋅=2

（2） 由（1）（2）得，42

1

AC AC =

∴ 32=AC 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC 中点M ，构造MAC ∆与DBC ∆相似是解题关键

综合练习题

1、在△ABC 中，D 为AC 上的一点，E 为CB 延长线上的一点，BE=AD ，DE 交AB 于F 。 求证：EF ×BC=AC ×DF

2、ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：CN CM PB PA ::=。

3、. 理由？（用三种解法）

1、证明：

过D 作DG ∥BC 交AB 于G ，则△DFG 和△EFB 相似，∴DG DF

BE EF

=

∵BE ＝AD,∴DG DF AD EF = ①由DG ∥BC 可得△ADG 和△ACB 相似，∴DG AD BC AC = ∴DG BC

AD AC

=

②由①②得，DF BC

EF AC

=∴EF ×BC ＝AC ×DF 2、证明：

过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥CB 于F ，则CEPF 为矩形∴ PF =//EC ∵ ︒=∠=∠45B A ∴ AEP Rt ∆∽PFB Rt ∆∴ PF PE PB AP ::= ∵ EC=PF ∴

EC

PE

PF PE PB PA ==（1） 在ECP ∆和CNM ∆中：CP ⊥MN 于Q ∴ ︒=∠+∠90QNC QCN 又 ∵

︒=∠+∠90QCM QCN ∴ CNQ MCQ ∠=∠ ∴ PEC Rt ∆∽MCN Rt ∆ ∴

CN EC CM EP = 即 CN

CM

EC EP =

（2）由（1）（2）得CN CM PB PA = 3、

方法一：如图（1），设BC 中点为E ，连接AE 。

图（1）

方法二：如图（2），在DA 上截取DE=DC

图（2）

在△BED 与△BCD 中，

方法三：如图（3），过B 作BE ⊥BC 于B ，交CA 的延长线于E 。