高中数学新人教A版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语 集合的表示教师用书

第2课时集合的表示

问题导学

预习教材P3－P5，并思考以下问题：

1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？

2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？

3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？

1．列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

■名师点拨

(1)应用列举法表示集合时应关注以下四点：

①元素与元素之间必须用“，”隔开；

②集合中的元素必须是明确的；

③集合中的元素不能重复；

④集合中的元素可以是任何事物．

(2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．

2．描述法

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}．

■名师点拨

(1)应用描述法表示集合时应关注以下三点

①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；

②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；

③不能出现未被说明的字母．

(2)注意区分以下四个集合

①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；

②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；

③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y ＝x2＋1的图象上的点组成的集合；

④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．( )

(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．( )

(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )

(4)集合{x|x>3，且x∈N}与集合{x∈N|x>3}表示同一个集合．( )

(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．( )

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×

方程x2－1＝0的解集用列举法表示为( )

A．{x2－1＝0} B．{x∈R|x2－1＝0}

C．{－1，1} D．以上都不对

解析：选C.解方程x2－1＝0得x＝±1，

故方程x2－1＝0的解集为{－1，1}．

集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )

A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}

C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}

解析：选B.因为x－3<2，x∈N*，

所以x<5，x∈N*，所以x＝1，2，3，4.

由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．

解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1

答案：{0，1，2，3，4} {x∈N|－1

用列举法表示集合

用列举法表示下列集合：

(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ； (2)方程(x －2)2

(x －3)＝0的解组成的集合M ；

(3)方程组⎩

⎪⎨⎪

⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；

(4)15的正约数组成的集合N . 【解】 (1)因为－2≤x ≤2，x ∈Z ， 所以x ＝－2，－1，0，1，2， 所以A ＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根， 所以M ＝{2，3}．

(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， 所以B ＝{(3，2)}．

(4)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字， 所以N ＝{1，3，5，15}．

列举法表示的集合的种类

(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}．

(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}．

(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N ”可以表示为{0，1，2，3，…}．

[注意] (1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R }都是不确切的．

(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．

用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ； (2)方程x 2

－9＝0的实数根组成的集合B ； (3)小于8的素数组成的集合C ；

(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D . 解：(1)大于1且小于6的整数包括2，3，4，5， 所以A ＝{2，3，4，5}．

(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3，3， 所以B ＝{－3，3}．

(3)小于8的素数有2，3，5，7， 所以C ＝{2，3，5，7}． (4)由⎩⎪⎨

⎪

⎧y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，解得⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝1，y ＝4，

所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点为(1，4)，所以D ＝{(1，4)}．