向量与线性方程组解的结构

线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 , LLLLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm .
向量的线性运算见书
− 例 已知 α= [3,4,−1, 2] β = [− 2,3, 2,2] −
计算： 2 + 3 α β 解： 2 + 3 = 2 3,4, 1, 2 ： α β − −
= [6,8,−2,−4] + [− 6,9,−6,6] = [0,17,−8,2]
[
] + 3[− 2,3,−2,2]
(因为
1 0 0 2 B = [ A, b] = [α 1 , α 2 , α 3 , b] = 0 1 0 − 3 0 0 1 0
即r ( A) = r ( B ).)
定义２ 设有两个向量组 定义２
A : α 1 ,α 2 ,L,α m及B : β 1 , β 2 ,L, β s . 线性表示， 若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则
的个数。 的个数。
推论： 推论： 对 m 维向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α m，它线性相关的
充要条件是： 充要条件是：
A=0
例１ n 维向量组
e1 = (1,0,L,0) , e2 = (0,1,L,0) ,L，en = (0,0,L,1)
T T
T
称为n 称为 维单位坐标向量组 , 讨论其线性相关性 .
线性相关性的概念 定义３ 定义３ 给定向量组 A : α 1 , α 2 , L , α m , 如果存在不
全为零的数 k1 , k 2 , L , k m 使 k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0 是线性相关的，否则称它线性无关． 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意: 注意 1. 若 α 1 ,α 2 ,L ,α n 线性无关 , 则只有当
r12 ( −1 ) 1
0 2 0 2 2 r13 ( −1 ) 0 5 5
~
5 1 0 2 r23 ( − ) 2 0 2 2 ， 0 0 0 ~
线性相关； 可见r (α 1 ,α 2 ,α 3 ) = 2，故向量组 α 1 ,α 2 ,α 3线性相关； r (α 1 ,α 2 ) = 2, 故向量组 α 1 ,α 2线性无关 .
给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,L,α m 和向量 b, 如果存在 L 一组数 λ1，λ 2， , λ m，使
b = λ1α1 + λ2α2 + Lλmαm
则向量b是向量组 A的线性组合，这时称 向量 b 能 的线性组合， 线性表示． 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1α 1 + x 2α 2 + L + x mα m = b 有解， 有解. 也就是方程组 Ax = b 有解， 其中， 其中， A = [α 1 , α 2 , Lα n ].
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 量对应成比例， 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线； 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面 .
α L 向量组 α 1， 2， ，α m到底线性相关还是无关 ， 也即齐次线性方程组 x1 x 2 Ax = [α 1 , α 2 , L,α m ] M x m
a1 a2 a= M a n
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 所组成的集合叫做向量组． 例如
矩阵 A =
aj a1 a2 an a11 a12 L a1 j L a1n a 21 a 22 L a 2 j L a 2 n A= M M M M M M a a m 2 L a mj L a mn m1
λ 1 = L = λ n = 0时 , 才有 λ 1α 1 + λ 2α 2 + L + λ nα n = 0 成立 .
2. 对于任一向量组 , 不是线 性无关就是 线性相关 .
3.向量组只包含一个向量α 时, 若α = 0 则说 α 线性相关, 若α ≠ 0, 则说 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
解 分析 对矩阵（ ），施行初等行变换变 对矩阵（ α 1，α 2，α 3），施行初等行变换变
可同时看出矩阵（ 成行阶梯形矩阵 , 可同时看出矩阵（ α 1，α 2，α 3） 的秩， 及（α 1，α 2）的秩，利用定理 2即可得出结论 .
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1 0 2 (α 1 ,α 2 ,α 3 ) = 1 2 4 1 5 7
b j = k1 jα 1 + k 2 jα 2 + L + k mjα m
k1 j k2 j = α 1 ,α 2 ,L,α m ) （ , M k mj
从而
k11 k 21 （ b1 , b2 ,L, bs ) = α 1 ,α 2 ,L,α m ) （ M k m1
，
向量的运算见书
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 维向量写成一行，称为行向量 行向量， T T T T 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a , b ,α , β 等表示，如：
a T = ( a 1 , a 2 ,L , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 维向量写成一列，称为列向量 列向量， 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a,b,α, β 等表示，如：
γ 1T a11 T γ 2 a 21 M = M T γ a m m1 a12 a 22 M am 2 L a1 s β 1 T T L a 2 s β 2 M M T L a ms β s
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 I = ( e1 , e2 ,L , en )
是 n阶单位矩阵 . 由 E = 1 ≠ 0， 及定理 2 的推论知， 的推论知， n 维单位坐标向量组线性 无关。 无关。
或r(I)=n，得线性无关。 ，得线性无关。
例２ 已知
1 0 2 α 1 = 1 ，α 2 = 2 ，α 3 = 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 α 1，α 2，α 3 及α 1，α 2的线性相关性 .
3 5 3 例3 : 设向量组 α 1 = 2 ,α 2 = 4 ,α 3 = 1 , 0 − 1 t 问t取何值时 ,向量组线性无关 ; t取何值时 , 向量组线性相关 .
= x1α 1 + x2α 2 + L + xmα m = 0
有无非零解的问题， 有无非零解的问题，故 而由上章关于齐次线性 方 程组的定理， 程组的定理，即有
线性相关性的判定
定理 2 向量组 α 1 ,α 2 ,L,α m 线性相关的充要条件
是矩阵 A = [α 1 ,α 2 ,L,α m ]的秩 r ( A) < m .其中 m 是向量
m 个n维列向量所组成的向量 组α 1 ,α 2 ,L,α m , 构成一个 m × n矩阵
A = (α1 ,α2 ,L,αm )
m 个n维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,L β m ,
T T T
构成一个 m × n矩阵
β1T T β2 B= M T β m
α x +α x
1 1 2
2
+ L +
α x
n
n
=
b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 一一对应
定义１ 定义１ 给定向量组 A : α ,α ,L ,α ，对于任何一 1 2 m
向量 L 组实数 k1，k 2， , k m， k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m k L 称为向量组的一个 线性组合， 1，k 2， , k m 称为这 个线性组合的系数 .
b11 b12 L b1n b21 b22 L b2 n （ c1 , c2 , L , cn ) = α 1 ,α 2 ,L ,α s ) （ M M M b bs 2 L bsn s1
同时， 同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
•向量 •线性方程组解的结构
n
即
维向量的概念
定义 由
n
个有次序的数 a1 , a2 ,L , an
构成的有序数组称为一个 n 维向量 简记为 α 向量， 向量
α= [a1 , a 2 , L, a n ] ．其中 a1 , a2 ,L , an
称为向量的分量， 也可以写成一列
n 称为向量的维数．
b1 b β = 2 M bn
向量组 a1, a2 ,L, an 称为矩阵 A的列向量组 .
( a ij )
有 n 个 m 维列向量
m ×n
类似地 , 矩阵A = (aij )
m ×n
又有m 个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 M M A= ai1 ai 2 M M a m1 a m 2
k12 k 22 M km 2
L k1 s L k2 s M L k ms
矩阵K m × s = ( k ij )称为这一线性表示的系 数矩阵 .
因此，有结论： 因此，有结论：
结论1 结论 ：
若C m×n = Am×s Bs×n，则矩阵C的列向量组能由 的列向量组线性表示， 矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数 矩阵： 矩阵：
线性表示 . 若向量组A与向 称 向量组B能由向量组 A 向量组等价． 能相互线性表示， 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
若记A = α 1 ,α 2 ,L,α m )和B = b1 , b2 ,L, bs ).B （ （ 线性表示， 能由 A线性表示，即对每个向 量b j ( j = 1,2,L, s )存 在数k1 j , k 2 j ,L k mj , 使
T 1 T 2
L a1 n L a2n L M L a in L M L a mn
T m
α αT 2
T 1
α α
T i
T m
的行向量组． 向量组 α , α , …，α 称为矩阵 的行向量组． ， 称为矩阵A的行向量组
反之， 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 成一个矩阵
定理1 定理1 向量b能由向量组 A线性表示的充分必要
L 条件是矩阵 A = (α 1，α 2， ,α m )的秩等于矩阵 B = (α 1，α 2， ,α m , b )的秩 . L
2 1 0 例：向量 b = − 3 即可由向量组 α 1 = 0， 2 = 1， α 0 0 0 0 α 3 = 0 线性表示，且为：b = 2α 1 − 3α 2 + 0α 3 线性表示，且为： 1
设矩阵 A经初等行变换变成 B，则 B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性组合 ，即 B的行向量 组能由 A的行向量组线性表示 . 由初等变换可逆性 可知， 的行向量组线性表示， 可知， A的行向量组能由 B的行向量组线性表示， 于是 A的行向量组与 B的行向量组等价 .
类似， A 类似，若矩阵 经初等列变换变成 B，则A的 B . 列向量组与 的列向量组等价 且等价的俩矩阵的相同 标号的列向量组具有 相同的线性相关性。 相同的线性相关性。