03-2 杆的纵向振动与轴的扭转振动

由此得 频率方程为
D0
C

a
cos

a
L0
D=0 C=1
a 2r 1 a 2r 1 E 固有频率为 r 2 L 2 L
振型函数为
Ur
cos

L0
r 1,2,
r
a x
x Csin
r
a
x Dcos
2r 1 sin x L 2
杆纵向振动的 偏微分方程为
2u u x A x 2 EA x f x, t t x x
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School of Mechanical Engineering, Yanshan University
2u u x A x 2 EA x f x, t t x x
E
ra r 固有频率为 r L L
0 sin L 0 a
体纵向平动

r 1,2,
r 1,2,
C=0 D=1
振型函数为
U r x cos
r x L
(3)一端固定一端自由的杆 边界条件为
U 0 0 dU x 0 dx xL
a AL 1 L M AL / 3
EA / L M AL / 3
k M AL / 3
★上式就是将杆质量的三分之一加到质量 M上所得的单自由度系 统的固有频率计算公式。 ——和瑞利法所得的结果相一致。 ★例如，附加质量M等于杆的质量时，有
0.866 E 1 L
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d F t 2 F t 0 2 dt
2
F t Asin t B cos t
d 2U x 2 U x 0 2 dx a 0 x L
u 2 u a 2 t x 2
2 2
杆纵向自由振动的偏 微分方程可以分解为 两个常微分方程
d F t 2 F t 0 2 dt
2
d 2U x 2 U x 0 2 dx a
0 x L
两个常微分方程的解
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考虑到 u L, t dU L F t F t Asin t B cos t x dx 2u L, t d 2 F t 2 U L U L F t 2 2 t dt dU L 2 MU L 故下端边界条件为 EA dx 由顶端边界条件 U(0)=0
AL M 1 2 1 1 3
=AL/M代入上式，可得
★将第一次的近似 12
AL M AL 1 1 AL 3M M AL 3
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所以基频1为
固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为
பைடு நூலகம்
U 0 U L 0 U x C sin x D cos x a a U 0 0 D0
C sin
将边界条件代 入振型函数 D=0 C=1
U L 0

a
L0
ra r 固有频率为 r L L
AL L L tg 1tg 1 12 M a a
因

2 1
AL
M
=L/a
a E
a AL 1 L M EA LM k M
由此计算得基频
式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度，M为附加质量。
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3.43 E 2 L L
1
2L E
2a
M=0，即一端固定、一端自由的杆

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★与一端固定一端自由的等直杆比较，杆下端的附加质 量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。 ★如果杆的质量相对附加质量很小，AL/M<<1， 1亦 为小值，可近似地取tg11，因此特征方程可以简化为
求如图所示的上端固定、下端有一附
加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和
振型函数。
解：上端固定的边界条件为
u0, t 0 或 U 0 0
下端具有附加质量 M，在振动时产生对杆端的惯性 力。取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上， 下端点的边界条件为
u L, t 2u L, t EA M x t 2
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1 tg 作出 tg 和 1/ 两个图形， 如图所示。两个图形的交 点1和2,…，便是各阶固 有频率。
0.86 1 L L
1a
1 0.86
E
2 3.43
精确解时，系数为 0.86，误差仅为0.7。
因此，只要杆的质量不大于附加质量，由简化公式计算的基频能 够满足工程实际应用的要求。
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例2 求如图所示的一端固定一端弹性支承的杆作纵向振 动的固有频率和振型函数。
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★在杆上取微段dx。微元受力如图 所示。微元纵向应变为 u u dx u u x dx x ★x截面上的内力为N； x+dx截面上的内力为 ★内力N是x, t的函数
u N x, t A x A x E A x E x
N N dx x
★根据牛顿 运动定律得
2u x A x dx 2 t N N f x, t dx N dx N f x, t dx dx x x
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r
1,2,

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对于上述三种边界条件：两端固定的杆； 两端自由的杆； 一端固定、一端自由的杆。 前三阶振型图为：
实例 例-1
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a E
a为弹性波沿x轴的传播速度。
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类似于弦的横向振动，仍然采用分离变量法求解杆 纵向振动的偏微分方程。设u(x，t)表示为
u x, t U x F t
3.2
杆的纵向振动
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★假设: (1)杆的横截面在振动时始终 保持为平面，并作整体运动； (2)略去杆纵向伸缩引起的横 向变形。 已知: (1)杆的单位体积的质量为 (x)，截面积为A(x)，杆长为 L，弹性模量为E； (2)杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。 坐标：以u(x,t)表示杆x截面在时刻t的位移，即位移是截 面位置x和时间t的二元函数。
1
k M
★这一结果与单自由度系统的结果相同， 说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬 挂的质量小得多时，可以略去杆的质量。
tg 1 1 13 3
★例如，当AL/M=1/10时，误差仅为1.25。
★若进一步取
1 1 3
3 1
AL M
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U x Csin

a
x Dcos

a
x
D0
由下端边界条件 固有频率方程
dU x C cos x D sin x dx a a a a 2 EA cos L M sin L
AL L L
M a tg a
上式为特征方程，即固有频率方程。方程左边为杆的质 量与附加质量的比值。当给定比值后，通过数值法可以 求得各个固有频率r的数值解，也可以用作图求出。
AL L L
tg
M a a 设质量比AL/M=1，=L/a，则特征方程简化为
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r 振型函数为 U r x sin x L
E

r 1,2,
r 1,2,
(2)两端自由
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自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为
dU x dU x 0 dx x 0 dx x L
式中： A, B为待定常 数，由两个初始条件 决定。
式中： C, D为待定常 数，由两个端点的边 界条件决定。
U x C sin

a
x D cos

a
x
边界条件对固有频率、振型的影响 (1)两端固定
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dU x dx
dU x dx
U x C sin x D cos x a a dU x C cos x D sin x a a a a dx
0
x 0
C 0
=0，杆作刚
xL
0 D sin L 0 a a
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U x C sin x D cos x a a dU x C cos x D sin x a a a a dx
★若杆的单位体积质量 (x)== 常 数 ， 截 面 积 A(x)=A= 常数，杆纵向振动 的偏微分方程简化为
2u 2u 1 2 E 2 f x, t t x A
如果f(x,t)=0，则杆纵向自由振动的偏微分方程为
2 2u u 2 a 2 2 t x
解：左端为固定端，边界条件为
u0,t 0 或 U 0 0
右端联结一刚度为 k 的弹簧。弹簧力与杆轴向内力 大小相等，方向相反，即
u x, t dU x EA ku ( L, t ) 或 EA kU ( L) x x L dx x L
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a a a
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EA
固有频率方程变化为

a
cos

a
L M sin
2

a
L
EA 1 tg L M a a
EAL L tg L 2 a M a a
因a2=E/。整理后得