2021届新课改高三数学复习：函数的单调性(教师版)
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时，都有 f(x1)<f(x2)(或都有 f(x1)>f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)． (2)如果函数 y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说 f(x)在这个区间上具有(严格的)单调
性，这个区间叫做 f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为 减区间．
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔ x1－x2 >0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； f（x1）－f（x2）
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔ x1－x2 <0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 三、自主热身、归纳总结
1、函数 y＝x2－5x－6 在区间[2，4]上是( )
f（x1）－f（x2） (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)， x1－x2 >0⇔f(x)在 D 上是增函数； f(x1)－f(x2)
x1－x2 <0⇔f(x)在 D 上是减函数． a
(2)对勾函数 y＝x＋x(a>0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)，减区间为(－ a，0)和(0， a)． (3)在区间 D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数． (4)函数 f(g(x))的单调性与函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
D. y＝－f(x)在 R 上为减函数
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【答案】D. 1
【解析】 如 f(x)＝x3，则 y＝f（x）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在 x＝0 时无意义，A、C 错；y＝|f(x)| 是偶函数，在 R 上无单调性，B 错．故选 D. 4、对数函数 y loga x(a 0 且 a 1) 与二次函数 y (a 1)x2 x 在同一坐标系内的图象不可能是 ( )
D．当 0
a
1 时，若
f
(ax )
在
x [1，1] 上的最大值为
a 8，则
1 3
【答案】 ACD ．
【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△ (6)2 4 3 (1) 48 0 ，
所以函数 f (x) 有两个不同的零点， A 正确；
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因为二次函数 f (x) 图象的对称轴为 x 1 ，且图象开口向上，
所以 f (x) 在 (1, ) 上单调递增， B 不正确；
令 t ax ，则 f (ax ) g(t) 3t2 6t 1 3(t 1)2 4 ．
当
a
1时，
1„ a
t„
a
，故
g (t )
1 [ 在a
(3)函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝f（x）的单调性相反； (4)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且 x1≠x2，则 f（x1）－f（x2）
A．
B．
C．
D．
【答案】 BD ．
【解析】：若 a 1，则对数函数 y loga x 在 (0, ) 上单调递增，二次函数 y (a 1)x2 x 开口向上，对 x 1 0
称轴 2(a 1) ，经过原点，可能为 A ，不可能为 B ． 若 0 a 1 ，则对数函数 y loga x 在 (0, ) 上单调递减，二次函数 y (a 1)x2 x 开口向下，对称轴 x 1 0
2(a 1) ，经过原点，可能为 C ，不可能为 D ． 故选： BD ．
5、已知函数 f (x) 3x2 6x 1 ，则 ( )
A．函数 f (x) 有两个不同的零点
B．函数 f (x) 在 (1, ) 上单调递增
C．当 a 1时，若 f (ax ) 在 x [1，1] 上的最大值为 8，则 a 3
C.3
D．－2
【答案】B
1
11
【解析】 因为 y＝x－1在[2，3]上单调递减，所以 ymin＝3－1＝2.故选 B.
3、设函数 f(x)在 R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )
1 A. y＝f（x）在 R 上为减函数
B. y＝|f(x)|在 R 上为增函数
1 C. y＝－f（x）在 R 上为增函数
A．递减函数
B．递增函数
C．先递减再递增函数
D．先递增再递减函数
【答案】C
5 【解析】作出函数 y＝x2－5x－6 的图象(图略)知开口向上，且对称轴为 x＝2，在[2，4]上先减后增．故选
C.
1
2、函数 y＝x－1在[2，3]上的最小值为( ) 1
A．2 1
B.2 1
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第 8 讲：函数的单调性
1、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的源自文库调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。
2、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数 f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、x2，当 x1<x2
2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数 f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数 图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3. 复合函数的单调性 对于函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果当 x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且 u＝g(x)在区间(a，b)上和 y＝f(u)在 区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数 y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律： 增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 4. 函数单调性的常用结论
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5.常用结论
1．若函数 f(x)，g(x)在区间 I 上具有单调性，则在区间 I 上具有以下性质：
(1)当 f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反； 1
性，这个区间叫做 f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为 减区间．
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔ x1－x2 >0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； f（x1）－f（x2）
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔ x1－x2 <0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 三、自主热身、归纳总结
1、函数 y＝x2－5x－6 在区间[2，4]上是( )
f（x1）－f（x2） (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)， x1－x2 >0⇔f(x)在 D 上是增函数； f(x1)－f(x2)
x1－x2 <0⇔f(x)在 D 上是减函数． a
(2)对勾函数 y＝x＋x(a>0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)，减区间为(－ a，0)和(0， a)． (3)在区间 D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数． (4)函数 f(g(x))的单调性与函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
D. y＝－f(x)在 R 上为减函数
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【答案】D. 1
【解析】 如 f(x)＝x3，则 y＝f（x）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在 x＝0 时无意义，A、C 错；y＝|f(x)| 是偶函数，在 R 上无单调性，B 错．故选 D. 4、对数函数 y loga x(a 0 且 a 1) 与二次函数 y (a 1)x2 x 在同一坐标系内的图象不可能是 ( )
D．当 0
a
1 时，若
f
(ax )
在
x [1，1] 上的最大值为
a 8，则
1 3
【答案】 ACD ．
【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△ (6)2 4 3 (1) 48 0 ，
所以函数 f (x) 有两个不同的零点， A 正确；
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因为二次函数 f (x) 图象的对称轴为 x 1 ，且图象开口向上，
所以 f (x) 在 (1, ) 上单调递增， B 不正确；
令 t ax ，则 f (ax ) g(t) 3t2 6t 1 3(t 1)2 4 ．
当
a
1时，
1„ a
t„
a
，故
g (t )
1 [ 在a
(3)函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝f（x）的单调性相反； (4)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且 x1≠x2，则 f（x1）－f（x2）
A．
B．
C．
D．
【答案】 BD ．
【解析】：若 a 1，则对数函数 y loga x 在 (0, ) 上单调递增，二次函数 y (a 1)x2 x 开口向上，对 x 1 0
称轴 2(a 1) ，经过原点，可能为 A ，不可能为 B ． 若 0 a 1 ，则对数函数 y loga x 在 (0, ) 上单调递减，二次函数 y (a 1)x2 x 开口向下，对称轴 x 1 0
2(a 1) ，经过原点，可能为 C ，不可能为 D ． 故选： BD ．
5、已知函数 f (x) 3x2 6x 1 ，则 ( )
A．函数 f (x) 有两个不同的零点
B．函数 f (x) 在 (1, ) 上单调递增
C．当 a 1时，若 f (ax ) 在 x [1，1] 上的最大值为 8，则 a 3
C.3
D．－2
【答案】B
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【解析】 因为 y＝x－1在[2，3]上单调递减，所以 ymin＝3－1＝2.故选 B.
3、设函数 f(x)在 R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )
1 A. y＝f（x）在 R 上为减函数
B. y＝|f(x)|在 R 上为增函数
1 C. y＝－f（x）在 R 上为增函数
A．递减函数
B．递增函数
C．先递减再递增函数
D．先递增再递减函数
【答案】C
5 【解析】作出函数 y＝x2－5x－6 的图象(图略)知开口向上，且对称轴为 x＝2，在[2，4]上先减后增．故选
C.
1
2、函数 y＝x－1在[2，3]上的最小值为( ) 1
A．2 1
B.2 1
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『汇总归纳·备战高考』
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第 8 讲：函数的单调性
1、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的源自文库调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。
2、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数 f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、x2，当 x1<x2
2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数 f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数 图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3. 复合函数的单调性 对于函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果当 x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且 u＝g(x)在区间(a，b)上和 y＝f(u)在 区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数 y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律： 增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 4. 函数单调性的常用结论
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5.常用结论
1．若函数 f(x)，g(x)在区间 I 上具有单调性，则在区间 I 上具有以下性质：
(1)当 f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反； 1