有限元方法3-平面问题

K14 K 24 K 34 K 44 K 54 K 64
K15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 65
ij
K16 1 K 26 2 K 36 3 K 46 4 K 56 5 K 66 6
现代设计方法 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义： 将 F e 写成分块矩阵

写成普通方程
δi Fi Kii Kij Kim F K K K δj j ji jj jm F K δ m m mi K mj K mm
现代设计方法 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
T • 1）单元刚度矩阵是对称阵，(只要证明 K ( K ) e e
)
• 2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素 kii 表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。 • 3）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚阵 时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态， 但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能 得到唯一位移解 e ( K e )1 F ，只能得到唯一的节点 力解。 • 4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行 的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的 总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。


e
均展开成(6*1)阶列矩阵，单元
Fxi K ii K ii F K K ii yi ii K ji K ji Fxj Fyj K ji K ji Fxm K mi K mi Fym K mi K mi
现代设计方法
单元刚度矩阵
F
量，且 因此
e
[B] [D][B]tdxdy δ
T
e
由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常
dxdy A
F
e
[B] [D][B]tA δ
T
e
K
有限元分析-单元
e
[B][D][B]tA
T
几何矩阵 弹性矩阵 板厚 截面积
δ j Kimi δ m Fi Kii δ i Kij δ i δ j δ m Fj Kji Kjj Kjm δ j K mm δ m Fi K mi δ i K mj
该位移函数，将单元内部任一点的位移设 定为坐标的线性函数，该位移模式很简单。 其中 1 ~ 6为广义坐标或待定系数，可据 节点i、j、m的位移值和坐标值求出。
a1 a 2 0 a3 a y 4 a5 a6
位移函数写成矩阵形式为：
应变与应力之间的关系
平面应力问题：
剪切模量G=E/2(1+u)
平面应变问题：
有限元分析-单元
现代设计方法
弹性方程矩阵形式：
D为弹性矩阵
平面应力问题
平面应变问题
有限元分析-单元
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3）几何方程：应变与位移之间的关系
u,v分布为任一点处沿着x,y方向位移；正应变和 剪应变方程为：
有限元分析-单元
现代设计方法
3-1 弹性力学的基本方程
1）平衡方程 2）弹性方程 3）几何方程 4）虚功方程
有限元分析-单元
现代设计方法
1）平衡方程：载荷与应力之间的关系
体积力：重力，电磁场力 表面力：集中载荷，分布力/力偶，张力
体积力、应力平衡方程 有限元分析-单元
表面力、应力平衡方程
现代设计方法
2）弹性方程——胡克定律
有限元分析-单元
现代设计方法
3-7 整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性(续）
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
一般的，一个节点的相关 结点不会超过九个，如果网格 中有200个节点，则一行中非 零子块的个数与该行的子块总 数相比不大于9/200，即在5% 以下，如果网格的节点个数越 多，则刚度矩阵的稀疏性就越 突出。 利用矩阵[K]的稀疏性， 可设法只存贮非零元素，从而 可大量地节省存贮容量。
有限元分析-单元
有限元分析-单元
K ij Kij K jj K jj K mj K mj
K ij Kij K jj K jj K mj K mj
K im Kim K jm K jm K mm K mm
K im Kim K jm K jm K mm K mm
ui v i uj vj um vm
V
则
F
e
K δ
e
e
e
建立了单元的节点力与节点位移之间的关系， K 称为单元刚度矩阵。它 是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的 节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置 无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。
有限元分析-单元
有限元分析-单元
现代设计方法
单元刚度矩阵示例
例题：求下图所示单元的 刚度矩阵，设 0 y
j(0,a) a
3、求刚度矩阵 1、求几何矩阵[B]
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 B a 0 1 1 0 1 1
2、求弹性矩阵[D]
由几何方程和弹性方程得： 代入虚功方程有 令
e
σ D B δ
K
e
e
e
K [B]T[D][B]tdxdy
δ F [B]T[D][B]tdxdy
e
6X3, 3X3, 3X6
实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为
[B]T[D][B]dxdydz
现代设计方法
4）虚功方程: 位移、载荷、应变、应力关系
W=U
W表示弹性体内部区域中全部体积力作的虚功 U表示边界上表面力所做的虚功。
t—薄板厚度
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3-2 单元刚度矩阵
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体 来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由 有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单， 因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题的变 形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为 平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在 节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点 上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以 不计处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连 杆支座。

u v
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
有限元分析-单元
现代设计方法
2）形状矩阵N
由三个节点坐标和位移，确定六个待定系数
节点的局部坐标表达式
有限元分析-单元
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3）几何矩阵B
由几何方程
代入位移模式方程
= {u, v}
有限元分析-单元
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4）单元刚度矩阵
有限元分析-单元
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3-5 整体刚度矩阵的形式
n为节点数目
有限元分析-单元
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例4-7
• 单元节点编码 • 单元刚度矩阵 • 总体刚度矩阵
有限元分析-单元
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3-6 整体刚度矩阵的特点
在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在 解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体 刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。 1、对称性。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。 2、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
其中子向量 i 和 Fi 都是二阶向量，子矩阵 体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。
有限元分析-单元

K 是二行二列矩阵。整
K
ij
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整体坐标系下单刚矩阵
变换矩阵
有限元分析-单元
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T中的元素
矩阵变换
有限元分析-单元
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整体坐标系下单元刚度矩阵
有限元分析-单元
现代设计方法
1）三角形单元的位移模式
单元局部坐标系 三结点三角形单元 单元节点局部编 号逆时针1, 2, 3
六个节点位移只能确定六个多项式的系数， 所以平面问题的3节点三角形单元的位移函 数如下， u 1 2 x 3 y
v 4 5 x 6 y
有限元分析-单元
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3-0 弹性力学的平面问题
平面应力问题：等厚度薄板，厚度与长度、宽 度相比小很多；所受的载荷沿着厚度方向均匀 分布，即沿着厚度方向的应力等于0.
平面应变问题：轴类，承受的载荷都在与轴线 垂直的平面内，且沿着轴向均匀分布，因此轴 内任一点沿轴向的应变等于0.
有限元分析-单元
其中 K rs 表示节点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上所需要 施加的节点力的大小。 有限元分析-单元


现代设计方法 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义： e 将节点力列矩阵 F 与节点位移列矩阵 刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵：
现代设计方法
现代设计方法
——有限元方法（3）
华中科技大学 国家CAD支撑软件工程技术研究中心 吴义忠 王书亭
有限元分析-单元
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3.弹性力学平面问题的有限元法
3-0、弹性力学的平面问题 3-1、弹性力学的基本方程 3-2、单元刚度矩阵 3-3、总体刚度矩阵 3-4、平面有限元问题求解 3-5、例题4-7,8
Ü ¢
6
个单元和六个节点。在节 点1、4、6共有四个支杆支 承。结构的载荷已经转移 为结点载荷。 整体分析的四个步骤： 1、建立整体刚度矩阵； 2、增加支承条件； 3、解方程组，求节点位移； 4、根据节点位移求出应力。
a
a
有限元分析-单元
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3-3 整体分析
1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵)
有限元分析-单元
现代设计方法
3-7 整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性(续） 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
节点5只与周围的六个节点 (2、3、4、6、8、9)用三角形 单元相连，它们是5的相关节 点。只有当这七个相关节点产 生位移时，才使该节点产生节 点力，其余节点发生位移时并 不在该节点处引起节点力。因 此，在矩阵[K]中，第5行的非 零子块只有七个(即与相关节 点对应的七个子块)。
上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12个节点力分量。由结 构的节点位移向量求结构的节点力向量时，转换关系为： 分块形式为： F K
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K12 K 22 K 32 K 42 K 52 K 62 K13 K 23 K 33 K 43 K 53 K 63
F 1 K11 F 2 K 21 F 3 K 31 F 4 K 41 F5 K 51 K 61 F 6
平面应力问题
1 0 0 0 1 0 D E 0 0 0.5
K [B]T[D][B]tA
e
m(0,0)
a
x i(a,0)
K
e
0 0 0 1 0 .5 .5 0 Et 0 .5 .5 0 0 0 1 2 0 1 .5 .5 0 0 .5 .5 1
1 0 .5 .5 .5 .5 0 1 1.5 .5 .5 1.5
有限元分析-单元
现代设计方法
3-3 整体分析
单元分析得出单元刚度矩阵，下面将各单元组合成 结构，进行整体分析。 图示结构的网格共有四
1
Py1
a
Ù ¢
2
Py3
3
Px2
a
Px3
Û ¢ Ú ¢
4 5