几何不等式讲解

几何不等式的证明及应用一、1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。

2．证明几何不等式常用方法（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；利用重要的几何不等式及代数不等式当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3．几个著名代数不等式：柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等. 4．几个著名的几何不等式（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD 中，一定有：BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅，等号成立时四边形ABCD 是圆内接四边形.证明1：取点E ，使ACD ABE CAD BAE ∠=∠∠=∠，则ABE ∆∽ACD ∆ ∴CD BE AC AB =，ADAEAC AB = ∴BE AC CD AB ⋅=⋅ （1） 又DAE BAC ∠=∠ ∴ABC ∆∽AED ∆ ∴ADACDE BC = ∴DE AC AD BC ⋅=⋅ ∴BD AC DE BE AC DE AC BE AC AD BC CD AB ⋅≥+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅)(上式等号成立当且仅当E 在对角线BD 上.此时ACD ABD ∠=∠，从而四边形内接于圆.Y XPCBAPF EDC BA证明2：复数法：设A 、B 、C 、D 对应的复数分别是1z 、2z 、3z 、4z 用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=则12341423|()()||()()|AB CD AD BC z z z z z z z z ⋅+⋅=--+--12341423|()()()()|z z z z z z z z ≥--+--2431|()()|z z z z AC BD =---=⋅（2）（嵌入不等式） 设,,,(21),x y z R A B C k k Z π∈++=+∈， 求证：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++等号成立的充要条件是：B z C y x cos cos +=及B z C y sin sin =. 证明：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222---++)cos(2)cos cos (2222C B yz z y x C y B z x +++++-=222)sin sin ()cos cos ()cos cos (2C y B z C y B z x C y B z x -++++-=0)sin sin ()cos cos (22≥-+--=C y B z C y B z x 当且仅当B z C y x cos cos +=且B z C y sin sin =时取等号（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos —Mordell ）不等式：在ABC ∆内部任取点P ，,A d B d ,C d 分别表示由点P 到顶点C B A ,,之间的距离，c b a d d d ,,分别表示由点P 到边AB CA BC ,,的距离， 则)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++证明1：过P 作直线XY 分别交AC AB ,于Y X ,，使ABC AYX ∠=∠ 则AYX ∆∽ABC ∆ ∴BCABXY AY BC AC XY AX ==, 又∵A b c AXYd XY d AY d AX S ⋅≤⋅+⋅=∆212121 ∴b c A d XY AY d XY AX d ⋅+⋅≥即b c A d BCABd BC AC d ⋅+⋅≥同理：a c B d AC AB d AC BC d ⋅+⋅≥a b C d ABACd AB BC d ⋅+⋅≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明2：F A E P ,,,四点共圆 则A d AEF=sin 在EFP ∆中，由余弦定理得)cos(2222C B d d d d EF b c b c +⋅⋅-+=22)sin sin ()cos cos (C d B d C d B d b c b c ++-=2)sin sin (C d B d b c +≥∴C d B d EF b c sin sin +≥ ∴b c A d ACd A B d sin sin sin sin +≥同理a c B d B C d B A d sin sin sin sin +≥a c C d CBd C A d sin sin sin sin +≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明3：设γβα=∠=∠=∠CPA BPC APB ,,则αcos 2222⋅⋅-+=B A B A d d d d ABβcos 2222⋅⋅-+=C B C B d d d d BC γcos 2222⋅⋅-+=A C A C d d d d CA又βsin 2121⋅⋅=⋅C B a d d d BC ∴)cos 1(2)(sin cos 2sin 222ββββ-⋅⋅+-⋅⋅=⋅⋅-+⋅⋅=C B C B C B C B C B C B a d d d d d d d d d d d d d2cos 212sin 22sin )cos 1(2sin 2βββββC B C B C B C B C B d d d d d d d d d d ⋅=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅≤即2cos 21βC B a d d d ⋅≤ 同理2cos 21γA C b d d d ⋅≤2cos 21αB A c d d d ⋅≤ )2cos 2cos 2cos (21αγβB A AC C B c b a d d d d d d d d d ⋅+⋅+⋅≤++)(21C B A d d d ++≤（嵌入不等式） 证明四： 设2,2,2BPC CPA APB αβγ∠=∠=∠=，且αβγπ++=设它们的内角平分线长分别是a b c w w w 、、，且a a b b c c w d w d w d ≥≥≥、、 只要证更强的结论2()A B C a b c d d d w w w ++≥++112()()22B C B C B C a B C d d d d a d d a w ⋅++⋅+-=222(2)B C B C B C B C d d d d a d d ⋅+-+= 又222cos 22B C B Cd d a d d α+-=，即2222cos 2B C B C d d a d d α+-=∴22(1cos 2)cos B C B Ca B C B C B Cd d d d w d d d d d d ααα=+=≤++ 同理b A C w d d β≤，c A B w d d γ=∵αβγπ++=∴由嵌入不等式得2()2()a b c B C A C A B A B C w w w d d d d d d d d d αβγ++≤≤++（4）外森比克不等式：设ABC ∆的边长和面积分别为c b a ,,和S ，则S c b a 34222≥++，当且仅当ABC∆为正三角形时等号成立.证明方法很多，证明略5．费尔马(Fermat )问题：在ABC ∆中，使PC PB PA ++为最小的平面上的P 点称为费尔马点.当︒≥∠120BAC 时，A 点为费尔马点；当ABC ∆中任一内角都小于︒120时，则与三边张角为︒120的P 点为费尔马点. 例1 已知ABC ∆，设I 是它的内心，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交其对边于///,,C B A ，求证：27841///≤⋅⋅⋅⋅<CC BB AA CI BI AI . 证明：令c AB b CA a BC ===,,由角平分线定理，易得c b a b C A c B A IA IA +===///∴cb cb a IA AA +++=/ ∴c b a c b AA IA +++=/易得121<+++<++++=c b a c b c b c b c b ∴)1,21(/∈+++=cb ac b AA IA同理)1,21(/∈+++=c b a c a BB IB )1,21(/∈+++=c b a b a CCIC 则2/////=++CC IC BB IB AA IA 处理（1）令3/2/1/21,21,21t CCIC t BB IB t AA IA +=+=+=，则21),1,21(,,321321=++∈t t t t t t ∴2783)21()21()21()21)(21)(21(3321321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤+++t t t t t t ∴41)(21)(4181)21)(21)(21(321133221321321>+++++++=+++t t t t t t t t t t t t t t t ∴27841///≤⋅⋅⋅⋅<CC BB AA CI BI AI 处理（2）令z CCIC y BB IB x AA IA ===///,,，则2=++z y x ，且1,,(,1)2x y z ∈ ∴278)3(3=++≤z y x xyz 21113139(2)(2)()[()]22222416xyz x x z z z z z z z =-->--=-=--+ 又112z <<（2139[()]2416z --+在区间端点取到最小值）∴221391391[()][(1)]241624164xyz z >--+>--+= 处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换令m k c k n b n m a +=+=+=,,)(22)(22)(22///k n m kn m k n m k n m k n m k n m CCBB AA CI BI AI ++++⋅++++⋅++++=⋅⋅⋅⋅ 41)(8))(()()(333>+++++++++++++=k n m mnk k n m nk mk mn k n m k n m说明：证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）)0,,(,,,>+=+=+=z y x x z c z y b y x a ，反之，若三个正数c b a ,,可以表示为上述形式，则c b a ,,一定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用z y x ,,表示，有关三角形的一些几何不等式都可以化为关于z y x ,,的代数不等式例2 设P 是ABC ∆内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与PABC QRS S S ∆∆≤41.（QRS ∆是塞瓦三角形）（分析：利用补集思想）证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43证明1：令γβα===RACRQC BQ SB AS ,,，则由塞瓦定理1=αβγ 则)1)(1(++=⋅⋅=∆∆γααAC AB AR AS S S ABC ASR 同理)1)(1(++=⋅⋅=∆∆αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ 、)1)(1(++=⋅⋅=∆∆βγγAB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43即43)1)(1()1)(1()1)(1(≥++++++++βγγαββγαα 只要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ只要证0)]()111[(6≤+++++-γβαγβα显然6)()111(≥+++++γβαγβα当12αβγ===时取等号，此时P 是ABC ∆的重心 证明2：设z S y S x S PAB PBC PAC ===∆∆∆,,则z x QB QC y z RC RA x y SA SB ===,,、))((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR++=⋅⋅=∆∆同理))((x z x y yzAB BC BS BQ S S ABCBSQ ++=⋅⋅=∆∆、))((z y z x xyAB BC CR CQ S S ABCCQR ++=⋅⋅=∆∆只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43即43))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz 通分整理3()()()()()()4xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++ 即22223()()()()()()4x y z y z x z x y x y y z z x +++++≥+++364xyz ≥⋅= 只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(222≥+++++事实上)()()(222y x z z y x z x y +++++ )()(222222zx yz xy x z z y y x +++++=xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ∆的重心 证明3：令,,AS BQ CR AB BC CA αβγ===，且)1,0(,,∈γβα则1,1,1BS CQ ARAB BC CAαβγ=-=-=- 由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---=整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=-B)1(γα-=⋅⋅=∆∆AC AB ARAS S S ABC ASR 、同理)1(αβ-=⋅⋅=∆∆AB BC BS BQ S S ABC BSQ 、)1(βγ-=⋅⋅=∆∆ABBC CR CQ S S ABC CQR 只要证43)1()1()1(≥-+-+-βγαβγα 事实上(1)(1)(1)()12αγβαγβαβγαββγγααβγ-+-+-=++-++=-))1(2)1(2)1(2(411)1)(1)(1(21γγββααγβααβγ-⋅-⋅-⋅-=----=43411=-≥当且仅当21===γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ∆的重心 例3 已知ABC ∆的面积为S ，三边分别为c b a ,,，求证：2)3(43c b a S ++≤，且当c b a ==时等号成立. 证明1：由海伦公式，设)(21c b a p ++=223)3(4393)3())()((c b a p p p c p b p a p p S ++==⋅≤---=当且仅当c p b p a p -=-=-即c b a ==时取等号 证明2： 欲证2)3(43c b a S ++≤只要证S c b a 312)(2≥++ ∵)(3222)(2222ca bc ab ca bc ab c b a c b a ++≥+++++=++故只要证S ca bc ab 34≥++由柯西不等式2)sin sin sin ()sin sin )(sin (B ca A bc C ab C B A ca bc ab ++≥++++S S 18)23(2==∴CB A Sca bc ab sin sin sin 18++≥++又233sin sin sin ≤++C B A ∴S SC B A S ca bc ab 3423318sin sin sin 18=≥++≥++ 从而结论得证，当且仅当c b a ==时，取等号 例4 在ABC ∆中，求证：392cot 2cot 2cot333≥++CB A 证明1：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,,则3333333333)()()(2cot 2cot 2cot rz y x r z r y r x C B A ++=++=++ 又)())()((z y x xyz c p b p a p p S ++=---=、r z y x r c b a S )()(21++=++=/B //B /∴r z y x z y x xyz )()(++=++ ∴zy x xyzr ++=33333332cot 2cot 2cot r z y x C B A ++=++xyz z y x z y x r xyz ++++=≥)(3333933363=⋅⋅≥xyzxyz xyz 证明2：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,,则3333333333)()()(2cot 2cot 2cot rz y x r z r y r x C B A ++=++=++ 由幂平均不等式333333z y x z y x ++≤++得3333)(91z y x z y x ++≥++ （1） 由例3得22)(93)3(43z y x c b a S ++=++≤∴)(93z y x z y x S ++≤++，即)(93z y x r ++≤ ∴r z y x 33≥++代入（1）即可得到结论.例5 设ABC ∆是锐角三角形，外接圆圆心为O ，半径为R ，AO 交BOC 所在的圆于另一点/A ，BO 交COA 所在的圆于另一点/B ，CO 交AOB 所在的圆于另一点/C ，证明：3///8R OC OB OA ≥⋅⋅，并指出在什么情况下等号成立？ 证明1：作过BOC 的圆直径OD 则︒=∠=∠90/DCO O DAABCAOC BAC DOC ∠=∠∠=∠2,ABC ACB AOC DOC OD A ∠-∠=∠-∠-︒=∠180/在COD Rt ∆中，BACOCDOC OC OD cos cos ==在OD A Rt /∆中)cos(cos //ABC ACB OD DOA OD O A ∠-∠⋅=⋅=OCBACABC ACB ⋅∠-∠=cos )cos(即RBACABC ACB OA cos )cos(/∠-∠=记为R A B C OA cos )cos(/-=同理R B C A OB cos )cos(/-=、R C B A OC cos )cos(/-=只要证8cos )cos(cos )cos(cos )cos(≥-⋅-⋅-BA C A CBC B A∵BA BA B A B A B A B A B A B A C B A cot cot 1cot cot 1sin sin cos cos sin sin cos cos )cos()cos(cos )cos(⋅-⋅+=+-+=+--=-令A C z C B y B A x cot cot ,cot cot ,cot cot ⋅=⋅=⋅=A C CB B A z y x cot cot cot cot cot cot ⋅+⋅+⋅=++CB C B A cot cot )cot (cot cot ⋅++⋅=C B C B C B cot cot )cot (cot )cot(⋅++⋅+-=1cot cot )cot (cot cot cot 1cot cot =⋅++⋅+-⋅-=C B C B CB C BB ///B /而对于ABC ∆是锐角三角形，0,,>z y x ∴zy x z y x z y x z y x x x C B A +++≥++++=-+=-))((2)()(11cos )cos( 同理z x y z y x A C B +++≥-))((2cos )cos(、yx y z z x A C B +++≥-))((2cos )cos(显然成立 证明2：如图，设BC AO ,交于D ，AC BO ,交于E ，AB CO ,交于F ， 由C O B A ,,,/四点共圆，得CBO BCO O BA ∠=∠=∠/∴BOD ∆∽BO A /∆∴OD BO BO O A =/ ∴OD R O A 2/= 从而OE R O B 2/=，OF R O C 2/= 处理方式（1）∴OF OCOE OB OD OA OF OE OD R RO C O B O A ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅33/// 令321,,S S S S S S COABOC AOB ===∆∆∆3///R O C O B O A ⋅⋅8132321231≥+⋅+⋅+=S S S S S S S S S 处理方式（2）令z OF OCy OE OB x OD OA ===,,则111,,111OBC OAC OBA ABC ABC ABCS S S OD OE OF AD S x BE S y CF S z ∆∆∆∆∆∆======+++ ∴1111111=+++++z y x （利用面积关系）（再去分母，整理得2xyz x y z =+++） ∴2323+≥+++=xyz z y x xyz令m xyz =3，则0233≥--m m ，即2(1)(2)0m m +-≥∴02≥-m ，即8≥xyz证明3： 由C O B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(///B AC A R BC O A +=⋅∴R BC B A C A O A ///+= 易知21∠=∠∴BCCA B A BD B A CD C A ////+==而BD A /∆∽COD ∆∴OD AO OD R OD OC BD B A ===/ ∴R ODAO O A =/R OE BO O B =/，R OFCOO C =/令321,,S S S S S S COABOC AOB ===∆∆∆∴OF OC OE OB OD OA RO C O B O A ⋅⋅=⋅⋅3///8132321231≥+⋅+⋅+=S S S S S S S S S 证明4： 由C O B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(///B AC A R BC O A +=⋅ ∴R BCBA C A O A ///+=设γβα=∠=∠=∠BOC AOB AOC ,, 在BC A /∆中，由正弦定理，得CBA BCBC A C A CB A B A /////sin sin sin ==又γαβsin sin ,sin sin sin ,sin sin sin /////=====C BA OC A BC A OB A CB A∴R R BC B A C A O A ⋅+=+=γβαsin sin sin ///同理R O B ⋅+=αγβsin sin sin /、R O C ⋅+=βγαsin sin sin / 以下略PMCBA AOMNB CDABCOA 1B 1C 1例6 如图所示，设1C ，2C 是同心圆，2C 的半径是1C 半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于圆1C ，将14A A 延长交圆2C 于1B ，将21A A 延长交圆2C 于2B ，将32A A 延长交圆2C 于3B ，43A A 延长交圆2C 于4B ，试证明：四边形4321B B B B 的周长大于等于四边形4321A A A A 的 周长的2倍，并请确定等号成立的条件.证明：设公共圆圆心为O ，连结211,,OB OB OA在四边形211B B OA 中，运用推广的托勒密定理112211211B A OB B B OA B A OB ⋅+⋅≤⋅ ∴11212122B A R B B R B A R ⋅+⋅≤⋅∴11212122B A B B B A +≤∴11222121222B A B A A A B B -+≥ 同理22333232222B A B A A A B B -+≥、33444343222B A B A A A B B -+≥、44111414222B A B A A A B B -+≥∴结论得证，当且仅当211,,,B B A O 四点共圆，∴21211241B OA B OB B OB A OA ∠=∠=∠=∠， ∴1OA 是214A A A ∠的角平分线， ∴O 到214A A A ∠的两边的距离相等 ∴1214A A A A =同理四边形4321A A A A 的各边相等，进而四边形4321A A A A 是正方形时，等号成立. 1. 如图，在ABC ∆中，,AB AC AM >为中线，P 为AMC ∆内一点，证明：PB PC > 证明：在AMC ∆与AMB ∆中，有两组对边对应相等，且AB AC >， 所以AMB AMC ∠>∠，于是90AMC ∠<︒，过P 作PH BC ⊥于H ，则垂足H 必在MC 的内部或延长线上，从而BH CH >， 因此PB PC >（斜线长与射影长的关系）2. 如图，20MON ∠=︒，A 为OM 上一点，3OA =B 是ON 上一点，D 为ON 上一点， 83OD =C 为AM 上任意一点，则12AB BC CD ++≥分析：以OM 为对称轴，作D 点关于OM 的对称点/D ，以ON 为对称轴，作A 点关于ON 的对称点/A ，连结/OA 、/OD ，则//60A OD ∠=︒，连结/BA 、/CD 、//A D ，则有//AB BC CD BA BC CD ++=++ 因为//3,83OA OD ==/A 、/D 为定点，而连结/A 、/D 以线段最短，∴///2/2//()()2cos6012AB BC CD A D OA OD OA OD ++≥=+-⋅⋅︒=．说明：本题把“折线化直”，然后利用两点间线段距离最短来证明，这种“化直法”在解决几何不等式问题中是常用的．3.设BC 是ABC ∆的最长边，在此三角形内部任意选一点O ，OA 、OB 、OC 分别交对边于1A 、1B 、1C ， 证明：（1）111OA OB OC BC ++<；（2）111111max{,,}OA OB OC AA BB CC ++≤分析：我们先证明一个简单但非常有用的引理：T SC 1B 1A 1OCBAX Y设点M 是PQR ∆的边QR 上的一点，则max{,}PM PQ PR <．事实上，过P 作PH QR ⊥，则利用斜线长和射影长的关系很容易说明便知引理成立．（1）过O 分别作//,//OX AB OY AC ，分别交BC 于X 、Y 点，再过X 、Y 分别作11//,//XS CC YT BB 分别交AB 、AC 于S 、T ，如图易知，OXY ∆∽ABC ∆，故XY 是OXY ∆的最大边， 由引理知，1max{,}OA OX OY XY <≤； 又因为BXS ∆∽1BCC ∆，YCT ∆∽1BCB ∆，所以1BX XS OC >=（1max{,}CC CA BC BC <=），1CY YT OB >= 所以111BC XY BX YC OA OB OC =++>++ （2）令z CC OC y AB OB x AA OA ===111111,,，那么1=++=++∆∆∆∆∆∆ABCOAB ABC OCA ABC OBC S S S S S S z y x ． 所以111111OA OB OC xAA yBB zCC ++=++111111()max{,,}max{,,}x y z AA BB CC AA BB CC ≤++= 说明：其实，由（2）和引理知（1）成立，所以我们也可以先证明（2），然后推得（1）．4. 设凸四边形ABCD 的面积为1，证：在它的边上（包括顶点）或内部可以找出四个点，使得以其中任意三个点为顶点的三角形的面积均不小于41析：如果ABCD 是平行四边形，那么41====∆∆∆∆ABD ADC BCD ABC S S S S ， 因此A B C D 、、、即为所求的点；如果ABCD 不是平行四边形，不妨设AD 与BC 不平行，且DAB CBA π∠+∠<，AD 与BC 交于E ，D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作//DF AB ，交BC 于F ，分两种情况讨论：（1）DF 不超过AB 的一半，此时可在边AD ，BC 上分别取P ，Q ，使得PQ 与AB 平行，PQ 等于AB 的一半，则有111444APQ BPQ ABE ABCD S S S S ∆∆∆∆==>=,、11122222ABQ ABP APQ BPQ ABE ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆====>= 即A B P Q 、、、即为所求的四个点.（2）若DF 大于AB 的一半，则在线段DC 与FC 上分别取P ，Q ，同样使//PQ AB ，且12PQ AB =，延长AP 交AE 于/E ，则PQ 是/ABE ∆的中位线再过A 作BC 的平行线l ，它与CD 的延长线的交点为G ，则/AGP PDA PCE S S S ∆∆∆=>,故有//ABCP PDA ABCP ABCD E AB PCE S S S S S S ∆∆∆∆∆=+>+=，于是同样可以证明A B P Q 、、、即为所求的四个点.说明：在遇到比较复杂的情形时，要注意从简单情形起步，合理规划，通过分类讨论，适时化归，使问题得以圆满解决.到ABC ∆三个顶点距离之和为最小的点，通常称为费尔马点.当ABC ∆各角均小于120︒时，与三边的张角均为120︒的点即为费尔马点；当有一个角大于120︒时，这角项点就是费尔马点.下面这个命题是与费尔马问题“反向”的问题.5. 在ABC ∆的内部或边界上找一点P ，使得它到三个顶点距离之和为最大.分析：若点P 在ABC ∆内，作一个以B 、C 为焦点，过P 点的椭圆，设椭圆与AB 、AC 交于1P 、2P 点，连结AP 并延长与12P P 交于/P 点，如图，那么/12max{,}P A P A P A <不妨设/1P A P A <则11111()P A P B P C PA P B P C PA PB PC ++>++=++所以点P 必定在边界上.下证P 只能是ABC ∆的顶点，不妨设点P 在线段BC 的内部，因max{,}PA AB AC <，设PA AB <，那么PA PB PC PA BC AB BC ++=+<+综上所述，所求的点必为ABC ∆的顶点，易知它是最短边所对的顶点. 说明：本题所用的方法是“局部调整”法，这是一种重要的思想方法.6．凸六边形ABCDEF 的每边长至多为1.证明：对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2. 分析：连结AC 、CE 、EA ，在AEC ∆中，不妨设边CE 最大，即,CE AC CE AE ≥≥， 如图，对A 、C 、D 、E 四点用托勒密定理，有AE CD ED AC CE AD ⨯+⨯≤⨯ 所以21111=⨯+⨯≤⋅+⋅≤CEAE CD DE CE AC AD ，从而命题得证. 在证明与面积和周长有关的不等式时，下面的几个结论是很有用的，它们就是著名的等周问题.命题1 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大；命题2 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小；命题3 在给定边长为12,,,n a a a 的所有n 边形中，能够内接于圆的n 边形具有最大的面积命题4 在周长一定的n 边形的集合中，正n 边形的面积最大；命题5 在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小运用等周定理可以解决很多与几何不等式有关的问题，看下面一例：7．曲线L 将正ABC ∆分成两个等积的部分，那么它的长432a l π≥，其中a 是正ABC ∆的边长.分析： 以A 为圆心，R 为半径作圆弧/L 将ABC ∆的面积等分，那么有22432161a R ⋅=π，所以π2274=R ，/L 的周长/412623a l R ππ=⋅=，现在证明/l l ≥. 将ABC ∆连续翻转5次，由曲线L 形成了一条闭曲线，如图所示，由/L 形成了一个圆，而两者所围成的面积相等.根据命题2，知/66l l ≥，即/423al l π≥=.。