几何不等式讲解

几何不等式的证明及应用

一、1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。

2．证明几何不等式常用方法（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；利用重要的几何不等式及代数不等式当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.

（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.

（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3．几个著名代数不等式：柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等. 4．几个著名的几何不等式

（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD 中，一定有：BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅，等号成立时四边形

ABCD 是圆内接四边形.

证明1：取点E ，使ACD ABE CAD BAE ∠=∠∠=∠，则ABE ∆∽ACD ∆ ∴

CD BE AC AB =，AD

AE

AC AB = ∴BE AC CD AB ⋅=⋅ （1） 又DAE BAC ∠=∠ ∴ABC ∆∽AED ∆ ∴

AD

AC

DE BC = ∴DE AC AD BC ⋅=⋅ ∴BD AC DE BE AC DE AC BE AC AD BC CD AB ⋅≥+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅)(

上式等号成立当且仅当E 在对角线BD 上.此时ACD ABD ∠=∠，从而四边形内接于圆.

Y X

P

C

B

A

P

F E

D

C B

A

证明2：复数法：设A 、B 、C 、D 对应的复数分别是1z 、2z 、3z 、4z 用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=

则12341423|()()||()()|AB CD AD BC z z z z z z z z ⋅+⋅=--+--12341423|()()()()|z z z z z z z z ≥--+--

2431|()()|z z z z AC BD =---=⋅

（2）（嵌入不等式） 设,,,(21),x y z R A B C k k Z π∈++=+∈， 求证：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 22

2

2

++≥++

等号成立的充要条件是：B z C y x cos cos +=及B z C y sin sin =. 证明：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 22

2

2

---++

)cos(2)cos cos (2222C B yz z y x C y B z x +++++-=

222)sin sin ()cos cos ()cos cos (2C y B z C y B z x C y B z x -++++-=

0)sin sin ()cos cos (22≥-+--=C y B z C y B z x 当且仅当B z C y x cos cos +=且B z C y sin sin =时取等

号

（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos —Mordell ）不等式：在ABC ∆内部任取点P ，,A d B d ,C d 分别表示由点P 到顶点C B A ,,之间的距离，c b a d d d ,,分别表示由点P 到边AB CA BC ,,的距离， 则)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++

证明1：过P 作直线XY 分别交AC AB ,于Y X ,，使ABC AYX ∠=∠ 则AYX ∆∽ABC ∆ ∴BC

AB

XY AY BC AC XY AX =

=, 又∵A b c AXY

d XY d AY d AX S ⋅≤⋅+⋅=∆2

1

2121 ∴b c A d XY AY d XY AX d ⋅+⋅≥即b c A d BC

AB

d BC AC d ⋅+⋅≥

同理：a c B d AC AB d AC BC d ⋅+⋅≥

a b C d AB

AC

d AB BC d ⋅+⋅≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明2：F A E P ,,,四点共圆 则

A d A

EF

=sin 在EFP ∆中，由余弦定理得)cos(22

2

2

C B d d d d EF b c b c +⋅⋅-+=

22)sin sin ()cos cos (C d B d C d B d b c b c ++-=2)sin sin (C d B d b c +≥

∴C d B d EF b c sin sin +≥ ∴b c A d A

C

d A B d sin sin sin sin +≥