§3 函数的单调性

注意：
函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一 点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变 化．因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括
端点，端点无定义时不包括端点.
1. 如图,已知y=f(x) 的图像(包括端点),根据图像说
出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数
还是减函数.
证明函数 f (x) 3x 2 在R上是增函数.
证明：设 x1 , x 2 是R上的任意两个实数,且
x1 x 2
f ( x1 ) f ( x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
3(x1 x 2 )
x1 x 2
x1 x 2 0
在R上是增函数.
由V V2 得，V2 V 0 1 1
又由于k 0,
于是 P(V1 ) P(V2 ) 0，
即
p(V1 ) p(V2 )
k , V 0, 是减函数。 V
所以函数p
也就是说，当体积V减小时，压力p将增大。
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的
单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必 须先确定函数的定义域. ⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：
§3
函数的单调性
1.了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函
数、单调区间这两个概念的大致意思. 2.理解函数单调性的概念，能用自已的语言表述概 念；并能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间. 3.掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法，
能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性.
引入新课
建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系， 自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的 问题．例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗
f (x1 ) f (x 2 ) 0 f (x1 ) f (x 2 )
f (x) 3x 2
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤：
1.任取x1，x2∈A，且x1<x2；
2.作差f(x1)－f(x2)； 3.变形（通常是因式分解和配方）； 4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调 性）．
y
1 -2 -1
y f (x )
1 2
o
-1
x
[-2,-1],[0,1]上是减函数;[-1,1],[1,2]上是增函数.
（-∞，2） 2.函数y=│x-2│的单调减区间是___________.
（1，+∞） y 3x2 6 x 1的单调增区间是_________. 3.函数
我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强将增大，
1 1 x2 x1 f(x1)- f(x2)= . x1 x2 x1 x2
由于x1,x2 x1<x2
0,
,得x1x2>0,又由
,得x2-x1>0,
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
例2 则:
x
怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？
1．增函数
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对
于任意两数x1 ，x2∈A，当x1<x2 时，都有f(x1)<f(x2)， 那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的，有时也称函 数y=f(x)在区间A上是递增的．
2．减函数
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对
旱工作中必须解决的实际问题.下面我们开始研究函数
在这方面的一个主要性质——函数的单调性．
画出下列函数的图像，观察其变化规律： f(x) = x
1、从左至右图像上升还是下降? 上升 ____
2 、 在 区 间(-∞,+∞) ， 随 着 x 的 增 大 ， f(x) 的 值 随 着 ________ 上 增大 ______ ．
画出下列函数的图像，观察其变化规律：
f(x) = x2
1.在区间______上，f(x)的值随着x的增大而______． 减小 (-∞,0]
2.在区间________上，f(x)的值随着x的增大而_____. 增大 (0,+∞)
如图，你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗？
y
-2 -5 -4 -3 -1 3 2 1 1 -1 -2 2 3 4 5
和减函数.
例1 说出函数 f ( x) 1 的单调区间，并指明在该 x 区间上的单调性.
解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数 f ( x) 1 是减小的. x
1 练习：证明：函数 f (x) 在(0，+∞)上是减函数。 x
证明: 设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
k 4.物理学中的玻意耳定律 p （k为正常数）告诉 v
试用函数的单调性证明之. 证明：根据单调性的定义，设 V1 ,V2 是定义域 上的任意两个实数，且 V1 V2
(0, )
V2 V1 k k p(V1 ) p(V2 ) k V1 V2 V1V2
由V1 , V2 0, 得，V1V2 0
于任意两数x1 ，x2∈A，当x1<x2 时，都有f(x1)>f(x2)，
那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减小的，有时也称函 数y=f(x)在区间A上是递减的．
3.单调区间，单调性，单调函数
如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减小的，那么称 A为单调区间. 如果y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减
小的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.
如果y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的,我 们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.
注意：
1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质； 2.必须是对于区间A内的任意两个自变量x1，x2；当 x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2)，分别是增函数
⑴设
x1 , x 2 是给定区间内的任意两个值，且 x1 x 2 .
f (x1 ) f (x 2 ) 并将此差变形(要注意变形的程度).
⑵作差
⑶判断 f (x1 ) f (x 2 ) 的正负（说理要充分）. ⑷根据 f (x1 ) f (x 2 ) 的符号确定其增减性.
人生最终的价值在于觉醒和思考的能力， 而不只来自百度文库于生存。 ——亚里士多德