数学分析(2)试题及答案

（十六）数学分析2考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 0)(=⎰-aa dx x fC⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D )(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A⎰11dx xB ⎰∞+11dx xC ⎰+∞sin xdx D ⎰-1131dx x 4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛 B∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散C∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散 D ∑∞=1n n a 收敛和∑∞=1n n b 发散，∑∞=1n nn ba 发散6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）A )()('1'x a x an n=∑∞= B a （x ）可导C⎰∑⎰=∞=ban ban dx x a dx x a )()(1 D ∑∞=1)(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续7、下列命题正确的是（ ） A )(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛 B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为 A xe B x sin C )1ln(x + D x cos9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题6分，共30分）1、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf2、计算⎰∞++02221dx xx 3、计算∑∞=11n nx n 的和函数并求∑∞=-1)1(n n n4、设023=+-y xz z ，求)1,1,1(xz ∂∂5、求2220lim y x yx y x +→→三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x xyy x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数2、 讨论∑∞=+-221sin 2)1(n n n n nx的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，),2,1()()(1 ==⎰+n dx x f x f ban n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于03、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求⎰+π2cos 1sin dx xxx 参考答案一、1、B 2、B 3、A 4、c 5、C 6、D 7、D 8、C 9、C 10、C二、1、⎰⎰++=+22222)12()12(21)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰==+912022)(21)12(du u f dx x xf （3分） 2、⎰∞++02221dxx x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞=11n nx n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111，)(x f =)1ln(110x dt tx -=-⎰（2分），令1-=x ，得 4、解：两边对x 求导02232=--x x xz z z z （3分）xz zz x 2322-=（2分）2)1,1,1(=∂∂x z（1分）5、解：x yx yx ≤+≤||0222（5分）0lim 22200=+→→y x y x y x （1分） 由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x y y x f x （2分） ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x x y x f y (4分） 1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆xf x f y x zy y x （6分）2、解：由于x nx n nn n n 221sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分），即1sin 22<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，（3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f xa-≤≤⎰一般来说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!1()()(1∞→--≤-n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）⎰⎰⎰=+++=+aa Ta Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、 y e x z y x 1=∂∂，2y x e y zy x -=∂∂，（7分）则012=-=∂∂+∂∂yx ye y xe y z y x z x y xy x （3分）3、 证明：令t x -=π⎰⎰⎰⎰-=---=πππππππ00)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）8cos 1sin 2cos 1sin 20202ππππ=+=+⎰⎰dx xx dx x x x （3分） （十七）数学分析2考试题二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在 [a,b ] 上可积的充要条件是（ ）A ∀ε>0,∃ σ>0和δ>0使得对任一分法∆，当λ（∆）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间∆x i 长度之和∑∆x i < σB ∀ε>0,σ>0, δ>0使得对某一分法∆，当λ（∆）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间∆x i 长度之和∑∆x i < σC ∀ε>0,∃δ>0使得对任一分法∆，当λ（∆）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间∆x i 长度之和∑∆x i < εD ∀ε>0, σ>0，∃ δ>0使得对任一分法∆，当λ（∆）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间∆x i 长度之和∑∆x i < σ2、函数)(x f 连续，则在[a,b ]上⎰xdt t f dxd 21)(=（ ） A )2(x f B )2(2x f C )(2x f D )()2(2x f x f -4、=⎰-1121dx x （ ）A -2B 2C 0D 发散 4、0lim ≠∞→n n a ，则∑∞=1n na( )A 必收敛B 必发散C 必条件收敛D 敛散性不定 5、若级数∑∞=1n nb是∑∞=1n na更序级数，则（ ）A∑∞=1n na和∑∞=1n nb同敛散 B∑∞=1n nb可以发散到+∞ C 若∑∞=1n na绝对收敛，∑∞=1n nb也收敛 D 若∑∞=1n na条件收敛，∑∞=1n nb也条件收敛6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]一致收敛，且a n (x )可导（n =1,2…），那么( )A f （x ）在[a ，b ]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB f （x ）在[a ，b ]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n nx aC ∑∞=1')(n nx a点点收敛，但不一定一致收敛 D∑∞=1')(n nx a不一定点点收敛7、函数项级数)(1x an n∑∞=在D 上一致收敛的充要条件是（ ）A ∀ε>0,∃ N （ε）>0，使∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nB ∀ε>0, N>0，使∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nC ∃ε>0, ∀ N （ε）>0，使∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nD ∀ε>0,∃ N （ε）>0，使∃m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n 8、∑∞=-1)1(1n nx n 的收敛域为（ ）A (-1,1)B (0,2]C [0,2）D [-1,1）9、重极限存在是累次极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 10、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ） A x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000D xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000三、计算题：（每小题6分，共30分）1、dx x x x ⎰-++11211cos sin2、计算由曲线2,0,1==+=xy y x y 和2e x =围成的面积3、求2x e-的幂级数展开5、 已知),(),,(v u f xy y x f z +=可微，求yx z∂∂∂26、 求yx yx y x f +-=),(在（0，0）的累次极限 三、判断题（每小题10分，共20分）1、 讨论∑∞=3cosln n nπ的敛散性2、 判断∑∞=+121n nnx x 的绝对和条件收敛性 四、证明题（每小题10分，共30分）1、设f (x )是[-a ，a ]上的奇函数，证明0)(=⎰-aadx x f2、证明级数∑∞==04)!4(n n n x y 满足方程y y =)4(3、 证明S 为闭集的充分必要条件是S c是开集。