双曲线的参数方程(教师版)

13. 双曲线的参数方程

主备： 审核：

学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：双曲线参数方程的应用，

学习难点：双曲线参数方程中参数的意义. 学习过程：

一、课前准备：

阅读教材2931P P -的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题：

1. 写出椭圆22

221y x a b +=的参数方程. 答：cos sin x a y b θ

θ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）.

2.将下列参数方程化为普通方程：

（1）1

1x a a

y a a ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩

（a 为参数）； （2

）x y t ⎧⎪=±⎨=⎪⎩t 为参数）.

答：（1）22

4y x -=； （2）2214

x y -=.

二、新课导学： （一）新知：

1.如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b

（0,0a b >>）为半径作两个同心圆1C 、2C . 设A 为圆1C 上的任意一点，作直线OA ，过点

A 作1C 的切线AA '与x 轴交于A '，过圆2C 与x 轴

的交点B 作圆2C 的切线BB '与直线OA 交于点B '，过点A '、B '分别作x 轴、y 轴的垂线A M '、B M '交于点M .设Ox 轴为始边，OA 为终边的角为θ点，点M 的坐标为（,x y ），求点M 的轨迹方

程.

【分析】点M 的横坐标与点A '的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B '的纵坐标相同. 而A '、B '的坐标可以通过引进参数建立联系.

【解析】由已知xOA θ∠=，(,)M x y ，则(,0)A x '，(,)B b y '， 因为(cos , sin )A a a θθ

所以(cos ,sin )OA a a θθ=u u u r ,(cos ,sin )AA x a a θθ'=--u u u r

因为OA AA '⊥u u u r u u u r ，所以0OA AA '⋅=u u u r u u u r

，

即2

2

cos (cos )sin 0a x a a θθθ--=，sec cos a

x a θθ

==， 由三角函数的定义得， tan y

b

θ=

，tan y b θ=，所以点M 的轨迹方程为

sec tan x a y b θθ

=⎧⎨

=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22ππ

θθ≠≠）.化为普通方程是22221x y a b -=. 2. 双曲线22

221x y b a -+=的参数方程为：tan sec x b y a θθ

=⎧⎨=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且

3,2

2

π

π

θθ≠

≠

）. 3.双曲线22

221x y a b -=的参数方程：sec tan x a y b θθ

=⎧⎨=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且

3,2

2

π

π

θθ≠

≠

）中，θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义. 4. 双曲线22

221x y a b

-=上任意点M 的坐标可设为(sec ,tan )a θθ.

（二）典型例题

【例1】求点(0,1)P 到双曲线12

2

=-y x 最小距离. 【解析】设双曲线上的点M 的坐标为(sec ,tan )θθ，则

||PM =

=

=

令

2sin 21cos 2k

θθ

-=+，整理得sin 2cos22k k θθ+=-，

所以

sin(2)θϕ+=

1≤，

解得34k ≥

，所以||PM ≥.

所以点(0,1)P 到双曲线12

2

=-y x 动动手：已知(,)M x y 在双曲线2sec tan x y θ

θ

=⎧⎨

=⎩上，求M 到点(3,0)N -的距离的最小值.

【解析】设M 的坐标为(2sec ,tan )θθ，则

||MN ==

当126sec 255θ=-

=-⨯时，||MN ==.

【例2】已知等轴双曲线222

2x y a -=上任意一点P ，求证:点P 到两渐近线的距离之积为常数.

【证明】

设点sec tan )P θθ，

因为双曲线2

2

2

2x y a -=的渐近线方程为y x =±， 则P 到0x y -=

的距离为1|sec tan |d a θθ=

=-，

P 到0x y +=

的距离为2|sec tan |d a θθ=

=+，

所以12|sec tan ||sec tan |d d a a θθθθ⋅=-⋅+

2

2

2

2

|sec tan |a a θθ=-=. 所以点P 到两渐近线的距离之积为常数.

三、总结提升：

教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为(sec ,tan )P θθ，在使用过程中，要知道恒等式2

2sec tan 1θθ-=.

四、反馈练习：

1. 双曲线()2tan 4sec x y θ

θθ=⎧⎨=⎩

为参数的离心率是 （ C ）

A

B ．2

C

D

2. 方程2222t t

t t

x y --⎧=-⎨=+⎩

（t 为参数）表示的曲线是 （ B ） A . 双曲线 B . 双曲线的上支 C . 双曲线下支

D . 圆

3. 把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 （ D ）

A ．1

21

2x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩

B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ *4. 曲线⎩⎨⎧==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线⎩

⎨⎧==ββ

sec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为1

e 和2e ，则12e e +的最小值为 ( A )

A

． B ．2 C

D

5. 设P 为等轴双曲线12

2

=-y x 上的一点，1F 、2F 为两个焦点，证明

2

21OP P F P F =⋅.

【证明】设(sec ,tan )P θθ

，双曲线两个焦点的坐标是1(F

、2F ，

所以1||F P =

=

|1|θ=+，

2||F P =

=

|1|θ=-，

所以2

22121|1||2sec 1|sec tan F P F P θθθθθ⋅==+⋅-=-=+，

而2

2

2sec

tan OP θθ=+，