阿波罗尼斯圆性质及其应用

阿波罗尼斯圆性质及其应用

背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一

（人教A 版124页B 组第3题）已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为1

2，求点M 的轨迹方程。

（人教A 版144页B 组第2题）已知点M 与两个定点M 1，M 2距离的比是一个正数m,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m ≠1两种情形）。

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆）

定义：一般的平面内到两顶点A ，B 距离之比为常数λ（λ≠1）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆

类型一：求轨迹方程

1.已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为2

1

，求点M 的轨迹方程

2.已知()02>=a a AB ，()0≥=λλMB

MA ，试分析M 点的轨迹

3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形面积等于（）

A．π B. 4π C.8π D.9π

类型二：求三角形面积的最值

4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC =2BC的∆ABC的面积的最大值是

5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，BD=3，则△ABC面积的最大值为

6.在△ABC中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=π

时△ABC面积的最大，m=

3

类型三：定点定值问题

7. 已知圆O：x2+y2=9,点B(-5,0),在直线OB上存在定点A(不同于点B)，满足对于圆O上任意一点P，都有PA

为一常数，试求所有满足条件的点A的坐

PB

标，并求PA

PB

8.（2014湖北文科卷17题）已知圆O：x2+y2=1,点A(-2.0),若定点

B(b,0)(b≠−2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=

λ|MA|，则b = ,λ=

类型四：阿波罗尼斯圆的性质

9. 已知圆C:(x−1)2+(y−1)2=1,定点O(0,0),B(2,0),其中P为圆C上的动点，则√2PO+PB的最小值为

10.已知函数f (α)=2√(cosα+12)2+sin 2α−√cos 2α+(sinα−1

2)2,若集合{α∈R |f (α)>m }≠∅,则实数m 的取值范围为

类型五：阿波罗尼斯圆的应用

阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆+等和线）

11.已知BC =6，AC =2AB ，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x x+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y

2(x+y)AC

⃗⃗⃗⃗⃗ ,设f (x,y )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,若f (x,y )≥f(x 0,y 0)恒成立，则f(x 0,y 0)的最大值为

12.（2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17题）．设点P 是

ABC ∆所在平面内动点，满足CP CA CB λμ=+,3+42λμ=（,R λμ∈），

==PA PB PC ．若3AB =，则ABC ∆的面积最大值是 ．

阿波罗尼斯圆与三角形

13.（2018.5月宁波模拟16题）已知向量a ,b 满足|b |=3，|a |=2|b −a |，若|a +λb |≥3恒成立，则实数λ的取值范围为

14.（2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题）在△ABC 中，∀λ∈R ，|BA

⃗⃗⃗⃗⃗ −λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，求c b +b c 的最大值

15.在ABC ∆中，AD 、BE 分别为中线，若b a 35=，则BE

AD

的取值范围 .

阿波罗尼斯圆与几何体

16.（2014二模（理））在等腰梯形ABCD 中，E 、F 分别为底边CD AB ,的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在平面记为α，α∈P ，设PC PB ，与α所成的角分别为1θ，2θ（1θ，2θ均不为0），21θθ=，则点P 的轨迹为 . A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线

17.在四面体ABCD 中，已知BC AD ⊥，6=AD ，2=BC ，且

2==CD

AC

BD AB ，则BCD A V -的最大值为 .

18.（2018.5月浙江高三五校联考17题）棱长为36的正四面体ABCD 的内切球上有一个动点M ，则MB+1

3MC 的最小值 练习：

1. 已知向量3=，=3≥+恒成立，则实数λ的取值范围为 .

2. （2015湖北理科卷14题）如图，圆C 与x 轴相切与点()0,1T ，与y 轴正半轴交于两点B A ,（B 在A 的上方），2=AB （1）圆C 的标准方程为 . 过点A 任作一条直线与圆1:22=+y x O 相较于N M ,两点，下列三个结论： （2） ①

MB MA NB NA =;②2=-MB MA NA NB ;③22=+MB

MA

NA NB

其中正确结论的序号是 。（写出所有正确结论的序号）

3. BC S '∆为等腰直角三角形， 90='∠CB S ，26='S B ，A 为S B '中点，将BC S '∆沿AC 翻折到SBC ∆位置，且B AC S --为直二面角，P 为空间中一个动点. （1）若SBC P 面∈，且

2=PC

PB

，求PBC ∆面积的最大值； （2）P 在三棱锥ABC S -表面上，E 为BC 中点，M 、N 为线段SE 两个三等分点，H 、G 为空间中的两个动点，2==GN

GM

HN HM ，且334=HG ，求PH PG ⋅的

最小值。

B

A C

N

E

S M