第七章 测地线与测地坐标

取
r1 ⊥ r2 , e1 =
r1 r , e2 = 2 , E G
则
| e1 |=| e2 |= 1, e1 ⊥ e2 .
设
T = cos θ e1 + sin θ e2 du1 du 2 du 1 du 2 dr = = r1 + r2 = E e1 + G e2 ds ds ds ds ds 1 2 du du ⇒ E = cos θ , G = sin θ . ds ds ⇒ n × T = n × (cos θ e1 + sin θ e2 ) = cos θ n × e1 + sin θ n × e2 = cos θ e2 − sin θ e1 .
1 ih g Γi jk = 2 ∂g jh ∂g hk ∂g ij ∂u k + ∂u i - ∂u h
§2.15 曲面的唯一性定理、 曲面的基本方 程、曲面的存在性定理
定理 : 设S 1 ,S 2是定义在同一个参数区域
上的两个正则参数曲面， 若在每一点， 两个曲面有相同的第一和第二基本形式， 则这两个曲面在一个刚体运动下彼此重合。
§2.17
测地曲率
设 c 为 S 上以弧长为参数的一条曲线， 我 们已得到 c 的切向量的曲率向量
dα = kβ = τ + k n n ds i j d 2u k k du du ) rk : τ = ( 2 + Γij ds ds ds
5
为 c 的曲率 kβ 在切平面上的投影向量。 当τ ≡ 0 时，因 r , r 线性无关
ρ
ρ
ρ
例如 球面或球面的一部分。
2 G 2 du1 dθ 2 du + G12 ( G11 )+ E ds ds ds
ei ⋅
e1 ⋅ e2 = 0 de1 de ⋅ e2 + e1 ⋅ 2 = 0 ds ds de de ⇒ e1 ⋅ 2 = −e2 ⋅ 1 ds ds ⇒
= =
1 du1 du 2 dθ ( − E2 )+ . = + G1 ds ds ds 2 EG
= = 1 cos θ sin θ dθ ( − E2 )+ + G1 ds 2 EG E G 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G dθ cos θ + sin θ . − ds 2 G ∂v 2 E ∂v
7
称为 Liouville 公式，只与第一基本形式有关， 故 k 为内蕴几何量，此公式以后很有用。
i j i j
∂u ∂u = g ij k du k du l . l ∂u ∂u
i
j
故 同样地有
g kl = g ij
∂u ∂u . k l ∂u ∂u
i
j
bkl = bij
= g = b
∂u ∂u . k l ∂u ∂u
g 11g 22 − g 12g 12 ,
i
j
= g ij ) det(
= bij ) b11b22 − b12b12 , det( 1,i = k 0,i ≠ k
1 2
dr = ri du i , dn = ni du i , d 2 r = rij du i du j
= E
g 11 , = F g = g 21 ,= G g 22 , 12
= L b11 , = M b = b21 , = N b22 . 12
g ij = ri rj , bij = rij n = −ri nj = −rj ni .
6
故
dT d = (cos θ e1 + sin θ e2 ) ds ds de de dθ dθ = − sin θ e1 + cos θ 1 + cos θ e2 + sin θ 2 ds ds ds ds de de dθ = cos θ 1 + sin θ 2 + ( − sin θ e1 + cos θ e2 ) . ds ds ds
1 2
⇒
i j d 2u k k du du + Γ = 0. ij ds 2 ds ds
这样的曲线 c 称为测地线。 另一方面，显然τ ⊥ n, 而由
kN = τ + k n n ⇒ kN ⋅ T ( = 0) = τ ⋅ T + k n n ⋅ T ( = 0) ⇒ τ ⋅ T = 0.
故 τ // n × T . 设 τ = k n × T , 且 | τ |=| k | . ： 曲线 c 在 p 处的测地曲率， 且由 kN = τ + k n k 可得：
1
I Biblioteka Baidu ds = dr ⋅ dr =
2 2
g ij du idu j ∑ ij
=1
2
:= g ij du idu j
II = −dr ⋅ dn = bij du idu j ∑ bijdu idu j :=
ij =1
在曲面 S 上作参数变换 u i = u i (u ) 得
∂u ∂u I = g kl du k du l = g ij d u d u = g ij k du k l du l ∂u ∂u
3
∂r i = ri ∂u ∂ri k Gij rk + bij n ⇒ j = ∂ u ∂n k j = −bj rk ∂u
k k ∂Gij ∂Gil m k m k k k − + GG − GG = − b b b b Gauss ij ml il mj ij l il j l j ∂u ∂u ∂bil ∂bij m m − + G − G b bmj = 0 Codazzi ij ml il l j ∂u ∂u
(ⅰ)当 K = 0 时， ⇒ ( G ) = 0. 可得 G = ρ 此时，ds 此为平面或者可展曲面。 （ⅱ）当
2
2
ρρ
= ( dρ ) 2 + ρ 2 ( dθ ) 2
K=
1 1 > 0 ( a = const.) ⇒ ( G ) ρρ + 2 G = 0. 2 a a
由此可解得：
G = a sin( ), G = a 2 sin 2 ( ) a a ⇒ ds 2 = ( dρ ) 2 + a 2 sin 2 ( )( dθ ) 2 . a
曲面论基本定理：在单连通参数区域中给出 两组函数 g , Ω 关于 i, j 对称， g 正定且满足 Gauss, Codazzi 方程，则存在曲面 S ，以 g , Ω 为 第一、二基本形式。
ij ij ij ij ij
4
§2．16
Gauss 定理
Gauss绝妙定理： 曲面的Gauss曲率是曲面在保长变换下的 不变量。 定理：空间中的一块曲面是可展曲面的 充分必要条件是它的Gauss曲率等于零。 定理：曲面是可展曲面的充分必要条件是 它能够和一张平面建立保长对应。
当 c 为测地线时，
dT = kN = k n n. ds
例：球面上的所有大圆弧都是测地线。 ：在局部范围内，测地线是连结两点 之间的最短线。
Re mark
§2.19 法坐标系、测地极坐标系、测地坐 标系 直角坐标系 e
i
= ri , e1 ⊥ e2 , v = y i ei , | v |= s.
§2.14 自然标架的运动公式 曲线的自然标架反映了曲线的运动规律 和几何性质，这里要研究曲面的自然标架。 1. Einstein 和式约定 在出现较多的指标和较多的和式之时， 使用所谓的 Einstein 和式约定将会带来许 多方便。这里约定：在指定的指标范围内， 若某个单项式中的两个不同的因子分别具 有相同的上、下指标，则关于该指标的求和 号可以省略不写，而用该单项式代表关于该 指标的和式，该约定的求和方式通常称为上 下指标对等求和。 设曲面片 S : r = r (u, v ) 1 2 = u u = , v u . r (u, v ) = r (u , u ) ， ru = r1 , rv = r2 记
de1 de dθ + sin θ cos θ e2 2 + cos2 θ ds ds ds de de dθ − sin θ cos θ e1 ⋅ 1 − sin 2 θ e1 ⋅ 2 + sin 2 θ ds ds ds de de dθ = cos2 θ e2 ⋅ 1 − sin 2 θ e1 ⋅ 2 + ds ds ds de de dθ = cos2 θ e2 ⋅ 1 + sin 2 θ e2 ⋅ 1 + ds ds ds de dθ d r dθ e2 dr1 dθ = e2 ⋅ 1 + = e2 ⋅ ( 1 ) + = ⋅ + ds ds ds E ds E ds ds e2 1 du k du k dθ ( G1k r1 + G12k r2 ) + ds ds ds E
以 p 为起点，以 v 为初始向量作测地线 c ，在
8
测地线 c 上取一点 M ， 使得 p 到 M 的测地线弧 长为 s 。 （当 | v |= s 很小时，可做到） 这样，我们得到了曲面 S 在点 p 的切平面中 的向量到 S 的一个局部的对应，我们称这个 对应为指数映照，记为 exp :
p
exp p : v → M .
(g ij ) 是正定的，也是可逆的，所以有 = g = g jk d k
ij i
2
(g ij ) ( g ij ) = I
2.自然标架的运动方程
dr = ridu i k r r + cij n = Γ ij ij k j = n D r + Di n i j i
cij = bij Di = 0 D ij = -bjk g ki = -b i j
故
k g = (n × T ) ⋅ dT = (cos θ e2 − sin θ e1 ) ⋅ ds de de dθ [cos θ 1 − sin θ 2 + ( − sin θ e1 + cos θ e2 ) ]. ds ds ds
因e ,
1
e2 单位正交得：
dei = 0. ds
k g = cos2 θ e2 ⋅
我们把 v 的分量 y , y 作为曲面上点 M 的新坐 标，称此坐标系为法坐标系。 此时， E | = G | = 1, F | = 0. 此时， ds = E (dy ) + 2 Fdy dy + G (dy ) .
1 2
y =0
y =0
y =0
1
2
1 2
2
2
2
测地极坐标系 在法坐标系下 ( y , y ) 取
ds 2 = Edu 2 + Gdv 2 .
以 下 利 用 测 地 极 坐 标 系 来 讨 论 Gauss 曲 率 K = const.的曲面。 在测地极坐标系 ( ρ ,θ ) 下， ds = dρ + G ( ρ ,θ )dθ . 故
2 2 2
K =−
1 2 EG
( G ) ρρ G Eθ )θ + ( ρ ) ρ = − . ( EG EG G
g
§2．18 测地线
c 为曲面 S 上的一条曲线，若 k g =0 ，则 c 为
测地线。 此时
i j d 2u k k du du τ = ds 2 + Γij ds ds ri = 0.
r1 , r2
线性无关得：
i j d 2u k k du du + Γ = 0. ij ds 2 ds ds
1 2
1 0<ρ <∞ y = ρ cos θ 2 y = ρ sin θ , 0 < θ < 2π .
我们称 ( ρ ,θ ) 为以 p 为极点， e 为极轴的测地极 坐标系。 此时，
1
ds 2 = E ( dρ ) 2 + 2 Fdρdθ + G ( dθ ) 2
且
E = 1, F = 0, lim G = 0,
ρ →0
lim( G ) ρ = 1,
ρ →0
⇒ ds
2
= ( dρ ) 2 + G ( ρ ,θ )( dθ ) 2
9
测地坐标系 曲面上可选取如下的坐标系， 设 c 为 S 上曲线，并以 v 为参数 c : r (v) ，过 c 的 每点可作出与 c 正交的测地线，令此测地线 的参数为 u ，我们称 (u, v) 为曲面的测地坐标 系，此时有
g g g
n
kN ⋅ kN = (τ + k n n) 2 ⇒ k 2 =| τ |2 + k n = k g + k n .
2 2 2
以下给出计算测地曲率 k ： 因
2 g
τ = k g n × T ⇒ k g = ( n × T ) ⋅τ = ( n × T ) ⋅ (
dT dT . − k n n )( n × T ) ⋅ ds ds