第三章气体分子热运动速率

f vx ,vy ,vz
m e 2
m
vx2
v
2 y
vz2
2kT
2kT
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dvx、dvy、dvz为速度空间的一个体积元
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32
＊速度空间(velocity space)的概念 v 表示分子的速度
以其分量vx、 vy、 vz为轴可构成一直角坐标系，
由此坐标系所确定的空间为速度空间。
2kT
2 emvx2
2kT dvx
e dv mv2y 2kT
y
e dv mvz2 2kT
z
1
e dv mv2y 2kT
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最 可几 速 率（most probable speed）
f (v)
Ov
v
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p
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最可几速率“ v p”的意义是：
对大量分子而言，在相同的速率间隔
中，气体分子的速率在vp附近的分子数
最多。
对单个分子而言，速率在vp附近的几
率最大。
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麦克斯韦速率分布函数
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
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麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
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麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
面积f (v)d v d N N
速率在(v, v 面区d积v间)v内v12 的f (分v)子d数v 占 总NN
表示分布在速率区间 v v内的dv分子数。
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f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(3)n v2 f (v)dv v1
f (v) dN , n N
Ndv
V
n v2 f (v)dv N N N
v1
VN V
表示分布在单位体积内，速率区间 v1 内v2
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2
分布函数和平均值
偶然事件：大量出现不可预测的事件。多次重复 观察同样的事件，可获得该偶然事件的分布，从 而得到其统计规律。
例1：统计某城市中每个商店里职工的分布情况， 可用下列方法。
Ni 表示该城市中有i 个职工的商店数，称分布数。
N Ni 表示该城市中的商店总数
f (v) dN , n N
Ndv
V
nf (v)dv dN
V
表示单位体积内分布在速率区间 v 内v的 dv
分子数。
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f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(2)Nf (v)dv
f (v) dN Ndv
Nf (v)dv dN
(2)平均速率： 气体分子速率的算术平均值。
N
v
vd N
0
vf (v) d v
N
0
v f (vv) Nd dNv f
(v)
48kT
m
2mk8TRT
823 1ke.T60m 2kRvTT2
m
v2
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f (v) 平 均 速 率(average speed)
O
v
第三章 气体分子热运动速率 和能量的统计分布
3.1 气体分子的速率分布律
3.2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律
3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布
3.4 能量按自由度均分定理
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1
3.1 气体分子的速率分布律
统计规律性： 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组
理论与实验符合得很好。
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麦克斯韦速度分布律（Maxwell velocity distribution law）
上面讨论的是气体分子按速率分布的规律，对分子 速度的方向未作任何确定。下面进一步介绍气体分子按 速度分布的规律。
在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度
f (h)dh 1
f(h)dh：高度在h与h+dh之间的概率
我们把 f（h）称为归一化分布函数。 f（h）表征在单位高度内，身高为 h 的人数占总 人数的比率。
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f（h） f(h)为归一化分布函数
分布曲线
o h h+dh
高度在h与h+dh之间的人
数： N 个人的平均身高为
的分子数。
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f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(4)
v2
v1
v2
v1
vf f
(v)dv (v)dv
N2
N1
vdN
N
N N
f (v) dN
N2 v dN
N1
Ndv N
表示速率在区间 (v1，内v2的) 分子的平均速率 。
2021ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3/31
v
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(3)方均根速率（root-mean-square speed）：气体 分子速率平方的平均值的平方根。
v2
N v2dN
0
v2 f ( v )dv 3kT
dN N
0
m
3
f ( v ) Ndv fv2(v)
3mk4T
23mRkT T12.7e3
2 mv 2 kT
出最可几动能是什么？一个分子的平均平动动能是什么？
解：一个分子的平动动能： 1 mv 2 d mvdv
由麦氏分布律：
2
dN f (v)dv 4(
m
3
)2
mv 2
e 2kT
v2
dv
N
2kT
f ()d 42(
m
3
)2
2
e kT
d
2kT m
m
v 2(
1
3
)2
1
2
e kT d
vdv kT
2
e
99 100
2
1 50
1.66%
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例2. 有N个粒子，其速率分布函数为
f (v) dN C Ndv
f (v) 0
(v0 v 0)
(v v0 )
求： （1）速率分布曲线（2）由v 0 求常数C
（3）粒子的平均速率
解（1）速率分布曲线 （ 见下图）
O
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v v p
v2
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v
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同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
T1
T2
f (v ) p3
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
O
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v v v p1 p 2 崎p山3苑工作室
v
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同一温度下不同种气体速率分布比较
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7
因此有 或
dNv f vdv
N
f(v):速率分布函数
f v dN
N dv
物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间的 分子数占总分子数的比率。
N dNv f vdv 1
0N
0
归一化条件(Normalizing condition)
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f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速率
大的分子数越多。
m3
O
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v
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例题1 试计算气体分子热运动速率的大小介于 vpvp/100 和 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数的百 分数。
解: 按题意
v
vp
vp ＝99 100 100
v
p
v
vp
vp 100
这就是理想气体分子按平动动能分布定律。
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最可几动能： 令 df () 0 d
解得
p
1 2
kT
(注意：不是1 2
mv
2 p
1 2
m(
2kT m
)
kT
)
分子的平均平动动能为：
0
f
(
)d
0
2(
1 kT
)
3
2
3 2
e
kT
d
3 kT 2
从理论上 已经得到过：
t
3 2
kT
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15
气体的三种统计速率
(1)最可几速率: 速率分布函数 f (v)中的极大值对应
的分子速率 v p 。
d f (v)
极值条件
0
f
(v)
4
dv
m
2kT
3
2
e
mv2 2kT
v
2
vp
2kT
m
2RT
1.41
RT
温度超高，vp越大；分子的质量越大， vp越小
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dvx dv y dvz
3
4
m
2
emv2
2kT v2dv
2kT
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由麦克斯韦速度分布函数可推出速度的三个分量的
分布函数。将分布函数先后对vy和vz积分，即可求出速 度分量vx在区间vx ~ vx＋d vx内的分子数占总分子数N的 比率：
3
dNvx N
m
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速率分布函数
一定量的气体分子总数为N dNv表示速率分布在某区间 v~v+dv内的分子数， dNv/N表示分布在此区间内的分子数占总分子 数的比率（或百分比）。
dNv/N 是 v 的函数，在不同速率附近取相等的 区间，此比率一般不相等。
当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dNv/N还应与区间大小成正比。
h
dN(h) Nf (h)dh
h
hdN (h)
N
hNf (h)dh
N
hf (h)dh
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推广至任一变量（物理量）x ,由分布函数f(x)求 平均值，有：
x
xdN
N
Nxf (x)dx
N
xf (x)dx
对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分 布函数f（x），因此，写出分布函数f（x）是研 究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。
＊麦克斯韦速度分布律指明了分子代表点在速度
空间体积元d= dvxdvydvz 中的分布情况。
＊可由麦氏速度分布律推出麦氏速率分布律。
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由图（b）可得：d 4v2dv v2 vx2 vy2 vz2
3
dN N
m
2kT
2
e m
v
2 x
v
2 y
v
2 z
2 kT
8
麦克斯韦速率分布律(Maxwell speed distribution law)
（一定条件下，速率分布函数的具体形式）
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 忽略时，分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占 总分子数的比率为
3
dN v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2dv
N
2kT
f (v)
C
0
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v v 0崎山苑工作室
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（2）常数 C 由归一化条件求得
0v0 f (v)dv 1
0v0 Cdv 1
C v0 1
C
1 v0
（3）平均速率：
v
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0
1
v0
vf (v)dv
v02 2
1 2
v0
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0v0
v
1 dv v0
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例3. 由麦氏分布律导出理想气体分子按平动动能的分布律,并找
成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支 配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体 上却存在着确定的规律性。（例：理想气体压强）
人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规 律性称为统计规律性。
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全 是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下， 气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气 体分子速度分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概 念。
fi Ni N ,归一化的分布数,
表示有i名职工的商店的百分数 f i (Ni N ) 1,归一化条件
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3
例: 我们以人的身高为例，来引入分布函数的概念。
设 N 为总人数，dN（h）为身高在 h--h+dh 间 的人数。显然
dN (h) N
令 f（h）=dN（h）/Ndh，则
分量vx在区间vx~vx+dvx，vy 在区间vy~vy+dvy，vz在区间vz~vz+dvz
内的分子数占总分子数的比率为
3
dN vxvyvz N
m 2kT
2
e m vx2
v
2 y
vz2
2kT
dvx
dv y
dv z
麦克斯韦速度分布函数（Maxwell velocity distribution law） 3
vp
vp 100
vp 50
在此利用vp ，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率分
布律改写成如下简单形式：
N＝f (W )W 4 W 2eW 2 W
N
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现在
W v ＝99 vp 100
把这些量值代入，即得
W v＝ 1 v p 50
N＝
N
4
99 100
f (v)
分子数的比例；或分子速率位于
区间(v,内v 的d几v率) 。
O dvv v1 v2
v
速率在 (v1,区v2间) 内的分子数占总分子数的比例；
或分子速率位于 (v1, v区2 )间内的几率。
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f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(1)nf (v)dv
RT
v 2
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f (v)
方均根速率
O
v2
v
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三种速率比较
f (v)
vp v v2
三种速率均与 T , m
成反比，但三者有一个确定 的比例关系;三种速率使用于 不同的场合。讨论速率分布 时用最可几速率；计算分子 运动的平均距离时用平均速 率；计算分子平均平动能时 用方均根速率。