圆锥曲线中的面积问题

圆锥曲线中的面积问题

一、基础知识：

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形

2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化

3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析

4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）

（1）椭圆：设P 为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=V

（2）双曲线：设P 为椭圆()22

221,0x y a b a b

-=>上一点，且12F PF θ∠=，则122cot 2PF F S b θ=⋅V

二、典型例题：

例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的值等于___________

例2：已知点P 是椭圆22

16251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的

左右焦点，直线2PF 的斜率为-，则12PF F △的面积是（ ）

A. B. C. D.

例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，

2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）

A. 2

B. 3

C. 1728

D. 10

例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK △的面积是（ ）

A. 4

B. 33

C. 43

D. 8

例5：以椭圆22

195

x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11211121

PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则12PMF PMF S S -△△等于（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 1-

例6：已知点P 为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且2

12b F F a

=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ）

A.

1222+ B. 231- C. 21+ D. 21-

例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的c a 为2，F 是椭圆E 的右焦

点，直线AF 的斜率为

3

，O 为坐标原点 （1）求E 的方程

（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ V 面积最大时，求l 的方程

例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的c a 为12

，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B

两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为

2

（1）求椭圆C 的方程 （2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF u u u r 与FQ uuu r 共线，MF u u u r 与FN u u u r 共线，且

0PF MF ⋅=u u u r u u u r ，求四边形PMQN 面积的最小值

例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=

（1）求点P 的轨迹方程

（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=u u u r u u u r ，直线OP 与QA 交于点M ，问：

是否存在点P 使得PQA V 和PAM V 的面积满足2PQM PAM S S =V V ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

例10：设抛物线22y x =的焦点为F ，过点()3,0M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于,2C BF =，则BCF V 与ACF V 的面积

之比BCF ACF

S S =V V （ ） A.

45 B. 23 C. 47 D. 12