4.3.2 空间两点间的距离公式

P(x,y,z)
在 xoy 平面上，有 OB x2 y2 .
O A
y B(x,y,0)
在RtOBP中，根据勾股定理
x
OP OB 2 BP 2 , BP z , 所以 OP x2 y2 z2 .
这说明，在空间直角坐标系中，空间中任意一点 P(x, y, z)
与原点的距离 OP x2 y2 z2 .
1.思考：类比平面两点间的距离公式的推导，在空间直 角坐标系中，点P（x1，y1，z1）和点Q（x2，y2，z2）的 距离，怎么求？
（1）先看简单的情形
空间中任意一点的坐标P(x, y, z)
到原点之间的距离公式会是怎样呢？
如图所示，设点P在 xoy 平面上的
z
射影是B.则点B的坐标是 (x, y, 0).
不要害怕批评。当你提出新的观念， 就要准备接受人批评。
答案：(0, 0, 3)
1、已知两点M（1 -1,0,2），M（2 0,3,-1）， 此两点间的距离为（ Ａ） A. 19 Ｂ. 11 C.19 D.11
２、在ＲtΔＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０° , 三点坐标为Ａ（２，１,１），Ｂ（１,１,２） Ｃ（x,0,1),则x = __２__
1、会画空间直角坐标系； 2、已知点写出其空间直角坐标； 3、空间直角坐标系中距离公式.
如图，设 P1(x1, y1, z1) P2 (x2 , y2 , z2 )
是空间中任意两点，且
P1(x1, y1, z1) P2 (x2 , y2 , z2 )
在xoy平面上的射影分别 为M,N,那么M,N的坐标为
x
M (x1, y1, 0) N (x2 , y2 , 0)
z
O
M1 N1
P2 P1
来自百度文库
O
M1 N1
P2 P1
M M2 H N2 y N
x
根据勾股定理
P1P2 P1H 2 HP2 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 因此，空间中任意两点 P1(x1, y1, z1) P2(x2, y2, z2) 之间的距离 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
探究：
如果 OP 是定长r,那么 x2 y2 z2 r2 表示什么图形？
z 在空间中，到定点的距离
等于定长的点的轨迹 以原点为球心， 半径长为 r 的球面．
P
O y
x
（2）如果是空间中任意一点 P1(x1, y1, z1) 到点 P2 (x2, y2, z2 ) 之间的距离公式会是怎样呢？
M M2 H N2 y N
在xoy平面上, MN (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
过点 P1 作 P2 N 的垂线，垂足为H,
z
则 MP1 z1 , NP2 z2 , 所以 HP2 z2 z1 .
在RtP1HP2中，
P1H MN (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 ,
原结论成立.
练习： 1.求下列两点的距离
(1) A(2,3,5), B(3,1, 4) (2) A(6, 0,1), B(3,5, 7)
答案： (1). 6
(2). 70
例2. 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解: M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
的点．
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有 MA 2 MB 2
即 (0 4)2 (0 1)2 (z 7)2 (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2 解之得 z 14
9 所以所求点的坐标是 (0,0, 4).
9
练习：在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1， -3,1）的距离相等.
4.3.2 空间两点间的距离公式
(1)掌握空间两点间的距离公式, (2)会应用距离公式解决有关问题. (3)通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步意 识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基 本思想方法
D'
C'
A' D
A
B' C
B
建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量出一 块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测 量。如果有三块砖，你如何测量AC′的长度，两块呢？