人教版高中数学,一元二次不等式及其解法(一)

人教版高中数学同步练习

§3.2 一元二次不等式及其解法(一) 课时目标

1．会解简单的一元二次不等式．

2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．

1．一元一次不等式

一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．

(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬

⎫x |x >b a ； (2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x

一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：

(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：

判别式 Δ＝b 2－4ac

Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx

＋c

(a >0)的图象 一元二次方程ax 2＋

bx ＋c

＝0(a >0)的根

ax 2＋bx ＋c >0

(a >0)的解集

(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠－b 2a } R ax 2＋bx ＋c <0

(a >0)的解集

{x |x 1

1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )

A.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－23≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≥12

D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≤－32 答案 B

解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，

∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，

∴x ≥12或x ≤－23

. 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )

A ．{x |x <－1或x >2}

B ．{x |x ≤－1或x ≥2}

C ．{x |－1

D ．{x |－1≤x ≤2}

答案 D

解析 由题意知，－b a ＝1，c a

＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，

又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.

3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )

A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)

B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)

C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)

D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)

答案 B

解析 ∵⎩

⎪⎨⎪⎧ x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2. 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为

( )

A ．(0,2)

B ．(－2,1)

C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

D ．(－1,2)

答案 B

解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，

∴x 2＋x －2<0.∴－2

5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－2,2)

B ．(－2,2]

C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)

D ．(－∞，2)

答案 B

解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，

∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.

当m ＝2时，4>0，x ∈R ；

当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，

解得－2

综上所述，－2

6．设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)

C ．(－1,1)∪(3，＋∞)

D ．(－∞，－3)∪(1,3)

答案 A

解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，

当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；

当x <0时，x ＋6>3，解得－3

所以f (x )>f (1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．

二、填空题

7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表：

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________．

答案 {x |x <－2或x >3}

8．不等式－1

答案 {x |－3≤x <－2或0

解析 ∵⎩

⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0， ∴－3≤x <－2或0

9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4

解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2.

10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．

答案 {x |x <1－52或x >1＋52

} 解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34

>0， ∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为

解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知，

x 1＝1－52，x 2＝1＋52

. ∴x 2－x －1>0的解集是

⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. 三、解答题

11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．

解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13

，2， ∴⎩

⎨⎧

－13＋2＝－b a －13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . 所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为

⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭

⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.

又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，

所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－120.

解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为