零输入响应和零状态响应

X
各种系统响应定义
第 3
页
自由响也应称：固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于齐次解。
强迫响形应式：取决于外加激励。对应于特解。
暂态响应： 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间t 增加，它将消失。
稳态响应： 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。
d2 dt 2
(Cte-t
)
3
d dt
(Cte -t
)
2(Cte -t
)
e -t
特解 yp (t) t et
零状态响应： yzs (t) C1et C2e2t t et
由起始状态导出初始条件
y(0 ) 0 y '(0 ) 0
y(0 ) 0 y '(0 ) 0
y(0 ) C1 y '(0 ) C1
零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。
零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。
X
二．起始状态与激励源的等效转换
第 4
页
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。
系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系 统状态值决定的初始值求出待定系数。
系统方程：
n
k
0
ak
d k yzi (t) dt k
0
起始条件：d
k
yzi (0 ) dt k
ck , k
0,1,2,
,n
n
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形式： yzi (t) Ciei t i 1
由起始条件求待定系数。
X
三.求解
C2 0 2C2
1
0
CC12
1 1
所以：
yzs (t) et e2t t et
X
三.求解
第 12
页
求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。
(t)
h(t)
线性时不变系统
e(t)
r(t)
h(t)
系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即
r(t) e(t) h(t)
齐次解
X
第 14
页
两种分解方式的区别：
1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
c c 与 i
xi 不相同
c i 由初始状态和激励共同确定
c xi 由初始状态确定
2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
t 时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指 t
§2.4 零输入响应和零状态响应
•系统响应的划分 •起始状态与激励源的等效转换 •系统响应的求解 •对系统线性的进一步认识
系统响应划分
第 2
页
自由响应＋强迫响应
(Natural+forced)
暂态响应+稳态响应
(Transient+Steady-state)
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
X
第
系统全响应
13 页
n
r(t ) cieit rp (t ) i 1
自由响应 强迫响应
n
n
c eit xi
c eit fi
rp (t )
i 1
i 1
rzi (t)零输入响应 rzs (t)零状态响应
式中
n
n
n
cieit
c eit xi
c eit fi
i 1
i 1
i 1
自由响应 零输入响应 零状态响应的
电容的等效电路
电感的等效电路
外加激励源
系统的完全响应
可以看作
起始状态等效激励源
共同作用的结果
系统的完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 ( 线 性 系 统 具 有 叠 加 性)
X
电容器的等效电路
第 5
页
iC (t) C
vC (t)
vC (0 ) 0, t 0
电路等效为起始状态为零的电容与电压源 vC (0 )ut 的
X
四.对系统线性的进一步认识
第 16
页
例 3：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 时，其全响
应为
；当激励为
时，其全响应为
。求：
(1)初始条件不变，当激励为
时的全响应 ， 为大于零的实常数。
(2)初始条件增大 1 倍，当激励为
时的全响应 。
解： 设零输入响应为 rzi (t ) ，零状态响应为 rzs (t ) ，则r1有(t) 2e3t sin(2t)
C1
2C2
2
得零输入响应为
yzi (t ) 4et 3e2t , t 0
X
三.求解
第 9
页
零状态响应
系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由
状态值 vC (0 ) iL (0 ) 为零决定的初始值求出待定系数。
系统方程：
n
k
0
ak
d k yzs(t) dt k
m
bk
k 0
串联
iC (t) C
vC(0 )
vC (t)
等效电路中的
电容器的起始
状态为零
X
电感的等效电路
第 6
页
iL(t) L
vL(t)
iL(0 ) 0，t 0
故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 iL(0 )u(t) 的并联。
vL(t)
i L (t )
L
iL (0 )
X
三.求解
第 7
页
零输入响应
etu(t),
y(0 )
1,
y '(0 )
2
解：特征方程
2 3 2 0
特征根 齐次通解
1 1, 2 2
yh (t ) C1et C2e2t
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
yp (t) C t et
X
三.求解
第 11
页
代入原微分方程得 求得 C 1
时，响应不为零的那部分响应分量。
X
四.对系统线性的进一步认识
第 15
页
由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于 各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起 始状态呈线性。
第 8
页
例1： 求系统的零输入响应
d2 dt 2
y(t) 3 d dt
y(t) 2 y(t)
0,
y(0 )
1,
y '(0 )
2
解：特征方程
2 3 2 0
特征根
1 1, 2 2
零输入响应 yzi (t) C1et C2e2t
由起始条件
y(0 ) C1 C2 1
y
'(0 )
d k x(t) dt k
起始条件：d
k
yzx (0 ) dt k
0, k
0,1,2,
,n
n
解的形式：齐次解+特解 y(t) Ciei t y p (t) i 1
由初始条件求待定系数。
X
三.求解
第 10
页
例2： 求系统的零状态响应
d2 dt 2
y(t) 3 d dt
y(t) 2 y(t)