法向量法求二面角

1 SB (0, 1, ) 2
1 SC (1, 1, ) 2
显然平面SBA的一个法向量为
n1 (1， 0，， 0)
设平面SCD的一个法向量为
S
z 1
1 SA , 2
B 1 y
n2 ( x，y，z)，
x
D
A
则 n2 平面SCD
图5
C
1 AD . 2
xz 0 n2 SD 0 取z 2, 则n2 (2, 1, 2) 2 x 2 y z 0 n2 SC 0
一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设
n1 , n2 分别为平面α,β的法向量， 二面角 l 大小为 , 向量 n , n 的夹角为
，则有 （图1）或 （图2）
n2
α
1
2

n1
，
n1
α θ l β
θ
l β
n2 图2 图1 基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的 夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．
直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,
记作
n ⊥α,
这时向量 n 叫做平面α的法向量.
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），
无数条。
如图,设 a =( x1,y1,z1)、b =(x2,y2,z2)是平面α内的两 个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定 理知,若 n a 且 n b 则 n . 换句话说,若
解：延长BA，CD 交于E，则面SCD∩面SBA=SE.
EA AB 1, ED CD
易求得
CD
AD 1 AD / / BC 且 BC 2
5 2
SA 平面ABCD SA EA, SA DA
S F 1 1 B DA 平面SBA A E D 1 过A作AF⊥SE于F，连结DF 1 C AD . 图 5 则DF ⊥SE. 2
n a 0 且 n b 0 则 n .
n a
b
可按如下步骤求出平面的法向量的坐标. 第一步(设):设出平面法向量的坐标为
n =(x,y,z).
第二步(列):根据 n a 0 且 n b 0 x1 x y1 y z1 z 0 可列出方程组 x2 x y2 y z2 z 0 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特
又
DA AB
1 SA , 2
∠DFA即为侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角.
在RT△SAE中，
AF SA EA SE 1 1 SA EA 5 2 5 5 SA2 EA2 2
2
在RT△AFD中，
1 1 3 5 DF DA AF 4 5 10
求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。 z B 图5 y
S
x
D
A
C
解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，
则
1 SA (0, 0, ), 2
1 1 SD ( , 0, ), 2 2
1 1 S 0,0, , A 0,0,0 , B 0,1,0 , C 1,1,0 , D ,0,0 , 2 2
则
1 2 2 cos n1 , n2 | n1 | | n2 | 1 3 3
n1 n2
根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的 二面角的大小的大小为
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2 arccos 3
评析：因为所求的二面角的交线在图中较难 作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向
量法在这里就体现出它特有的优势
n2 (a1 , a1 ,2a1 )
则 n2 (1,1, 2),
． n1 n2
令a1=1，
6 cos n1 , n2 6 n1 n2 1 6
1

二面角的平面角为锐角
6 arccos 6
∴二面角A—A1D—Q的大小为
例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD 中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD， 1 1 SA , AB=BC=1， AD . 2 2
由此得
设平面的法向量为 n
x, y, z
A1
由 n GE, n FE 可得
z
D1 B1 D C C1
1 1 n GE y z 0, 2 2 1 1 n FE x y 0. 2 2
G
A E
B
F
y
x y z y
殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标.
例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中
G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平 面GEF的法向量。
z
D1 A1 G D A E B1 C
C1
B
F
y
x
解： 不妨设正方体的棱长为一个单位长度 以D为原点建立右手空间直角坐标系，如图所示，
1 1 1 则 E 1, 2 , 0 , F 2 ,1, 0 , G 1, 0, 2 1 1 1 1 GE 0, , , FE , , 0 2 2 2 2
z (1,0,0)
A1
D1 B1 D
设面A1DQ的法向量为
C1
n2 (a1 , a2 , a3 ),
2
y
Q
C B
4 2
O（A）
x
则
n2 A1Q 2a1 2a2 2a3 0, n2 QD 2a1 2a2 0,
a 2 a1 , a 3 2a1 ,
一. 利用法向量求二面角的大小的原理:
n2
α θ l

n1
β
，
n1
α θ l β
图1
图2
n2
约定，图1中，n1 的方向对平面α而言向内.
n2 的方向对平面α而言向内.
图2
n1 n2
的方向对平面α而言向内. 的方向对平面α而言向外.
二. 如何求平面的一个法向量:
1、定义：如果表示向量
n
的有向线段所在的
令y=1,取平面的一个法向量为
n 1,1,1
注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下，
模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可.
例题4. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，
求此时二面角A—A1D—Q的大小． 解 ： 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0）， D（0，4，0）， AQ (2,2, 2), QD (2,20) 1 面AA1D的法向量 n1
2
1 1 C 2 AD 图 5 DFA arccos 2 3 2 侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小为 arccos
3
AF 2 cos DFA DF 3
S F 1 A E D
1 SA , 2
1 B