第八章 应力状态分析

§8-1 应力状态概述 (Concepts of stress-state) stress平面应力状态分析§8-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state) stress- -图解法 平面应力状态分析§8-3 平面应力状态分析 (Analysis of plane stress-state) stress§8-4 三向应力状态分析 (Analysis of three-dimensional stressthreestressstate)
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
二、应力状态的研究方法 (The method for investigating the state of stress)
1、单元体（Element body） 、单元体（ ） 2、单元体特征 (Element characteristic) 单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布 单元体的尺寸无限小， 任意一对平行平面上的应力相等 3、主单元体(Principal body) 主单元体(Principal 各侧面上切应力均为零的单元体
Mz σx1 = W
T τ1 = W t
T 4F τ2 = + S W 3A t
T τ3 = W t
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
例题3 例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
m n
δ
z
y
p
D
m
l
n
(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为 (1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F 沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
e
σx
τxy
α a
σα τα
f α
n
e dAcosα α cosα a dA
τyx
σy
dAsinα sinα
f
3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane) 任意斜截面上的应力( 设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcosα ,af 的面积为 dAsinα ae的 cosα sinα 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得 方向的平衡方程得
σy τyx τxy σx
x
σy
τyx σx τxy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元 体上有σx ,τxy 和 σ y ,τ yx
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一、斜截面上的应力(Stresses on an oblique section) 斜截面上的应力(Stresses
Mechanics of
Materials
Chapter8 Analysis of Stress and Strength Theories
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
第八章 应力状态分析和强度理论 Chapter8 Analysis of Stress and Strength Theories
y
n
e
τyx σx
f
α
x
e
σx
σx
τxy
α a
σα τα
f α
n
τxy τyx σy
a
2、符号的确定 (Sign convention) (1) 由x轴转到外法线n，逆时针转向时则α为正 轴转到外法线n （2)正应力仍规定拉应力σ为正 2)正应力仍规定拉应力 正应力仍规定 （3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转τ为正 3)切应力对单元体内任一点取矩， 切应力对单元体内任一点取矩
σ2
σ3
σ2
σ1
σ1 σ3 σ2
σ1
σ1
σ1 σ1
σ2
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例题 1
画出如图所示梁S截面的应力状态单元体. 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5 S平面 平面 4 3 l/2 l/2 2 1
F = p⋅
薄壁圆筒的横截面面积
4
A= πD = δ
F p⋅ 4 pD = σ′ = = A πD 4 δ δ
πD
2
n
D
πD2
σ′
p
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(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象 (2)假想用一直径平面将圆筒截分为二 假想用一直径平面将圆筒截分为二，
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
பைடு நூலகம்
5 4 3 2 1
S平面
5 4 3 2 1
τ2 σx1
1
τ3 σx2 τ2
3
σx1
σx2
2
τ3
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请看下面几段动画 1、低碳钢的拉伸 2、铸铁的压缩实验 3、低碳钢和铸铁的扭转实验
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低碳钢拉伸
低碳钢 (low(low- carbon steel) 塑性材料拉伸时为什么会出现45度滑移线 塑性材料拉伸时为什么会出现45度滑移线？ 度滑移线？
3、重要结论（Important conclusions) 重要结论（ (1) 拉中有剪，剪中有拉; 拉中有剪，剪中有拉; (2) 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力; 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力; (3) 同一面上不同点的应力各不相同; 同一面上不同点的应力各不相同; (4) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
τ =0
2
FS
τ =0
4
τ max =
4FS 3A
2
4
3
3
τ max
T = Wt
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
y
y
FS
1 2 z 3 x 4 z 2 4 3
MZ
T
1
z
2
3
x
τ1
σ x1
τ2
τ3
σ x3
M σx3 = z W
σ"
p
直径平面
FN
O
FN
ϕ dϕ
y
D ∑Fy = 0 ∫ pl ⋅ 2 sinϕdϕ = plD 0 pD σ′′ = 2 ′′ l − plD= 0 σδ 2δ
π
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§8-2 平面应力状态分析-解析法 平面应力状态分析(Analysis of plane stress-state) stressy
1、截面法 (Section method) 假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 将单元体截开, eaf 作为研究对象
y n
e
τyx σx τxy
f
e
α
x
σx
σx
τxy
α a
σα τα
f α
n
a
τyx
σy
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例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态 单元体
1 2 z 3 z x y S 4 l
F FS
2 4 3
a
MZ
T
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MZ : FS
z 2 4 3
m
1 2, 4
σ
MZ
m
T
3 1 T
1
应 力
哪一个面上？ 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？ 哪个方向面？ 4、一点的应力状态（state of stresses of a given point) 一点的应力状态（ 过一点不同方向面上应力的情况， 过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应 力状态（state of stresses of a given point)，亦指该点 point)， 力状态（ 的应力全貌. 的应力全貌.
低碳钢和铸铁的扭转
低碳钢 (low(low- carbon steel)
铸铁 (cast(cast-iron)
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开 为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？ 螺旋面断开？
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
(σydAsinα)cosα = 0
化简以上两个平衡方程最后得
cos2 −τxy sin2 σα = α α + 2 2 σx −σy sin2 +τxy cos2 τα = α α 2
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§8-6 广义虎克定律 (Generalized Hook’s law) §8-7 复杂应力状态的变形比能 (Strain(Strain-energy density in general stressstress-state ) §8-8 强度理论 ( Failure criteria) criteria)
σ1 ≥σ2 ≥ σ3
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三、应力状态的分类(The classification of stresses-state) 应力状态的分类(The stresses1、空间应力状态(triaxial stress-state or three-dimensional 空间应力状态(triaxial stressthreestressstress-state ) 三个主应力σ1 、σ2 、σ3 均不等于零 2、平面应力状态(biaxial stress-state or plane stress-state) 平面应力状态(biaxial stressstress三个主应力σ1 、σ2 、σ3 中有两个不等于零 3、单向应力状态(uniaxial stress-state or simple stress-state ) 单向应力状态( stressstress三个主应力 σ1 、σ2 、σ3 中只有一个不等于零
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
§8-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state) stress一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state) stresses问题的提出？ 问题的提出？
σ2 σ1 σ3 σ2
σ3 σ1
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4、主平面(Principal plane) 主平面(Principal 切应力为零的截面 5、主应力(Principal stress) 主应力(Principal 主面上的正应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列, 即
∑Fn = 0
σαdA+(τxydAcosα)sinα − (σxdAcosα)cosα + (τ yxdAsinα)cosα −
(σydAsinα)sinα = 0
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
∑Ft = 0
ταdA−(τxydAcosα)cosα − (σxdAcosα)sinα + (τ yxdAsinα)sinα +
(Analysis of stress-state and strength theories) stress-
铸铁压缩
脆性材料断裂时为什么断口与轴线成45度 脆性材料断裂时为什么断口与轴线成45度？
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