第6章+主应力法及其应用(2)

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§6.3 几种金属流动类型变形力公式的推导
一． 二． 三． 四．
平面应变镦粗型的变形力 平面应变挤压型的变形力 轴对称镦粗型的变形力 轴对称挤压型的变形力
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一、平面应变镦粗型的变形力

例题一 1.滑动摩擦条件下的薄板平锤压缩变形（直角坐标平面应变问 题 ） 高为h，宽为W，长为l 的工件，臵于平锤下压 缩。如果l 比h大得多， 则板坯长度方向几乎没 有延伸，仅在x方向和y 方向有塑性流动，即为 平面应变问题，适用于 直角坐标分析。 矩形工件的平锤压缩
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§6.1 金属塑性成形问题的求解方法
塑性成形力学的基本任务之一就是确定各种成形工序所需 的变形力，这是合理选用加工设备、正确设计模具和制订 工艺规程所不可缺少的。由于塑性成形时变形力是通过工 具表面或毛坯的弹性变形区传递给变形金属的，所以为求 变形力，需要确定变形体与工具的接触表面或变形区分界 面上的应力分布。
§6.2 主应力法基本原理
③ 在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应力 为主应力，即忽略摩擦力对塑性条件的影响，从而使塑 性条件简化。 2 ( x y ) 2 4 xy 4k 2 塑性条件 可简化为
x x
y y
2k 0
或
d x d y
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§6.2 主应力法基本原理
例如，根据连杆模锻 时的金属流动模型， 可将锻件的左、右半 图视为轴对称变形部 分，而中间部分视为 平面变形部分。
连杆模锻时的金属流动平面和流动方向
a) 流动平面 b) 连杆模锻件 c) 流动方向
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§6.2 主应力法基本原理
金属塑性成形原理
第6章 主应力法及其应用
华侨大学 模具技术研究中心 刘华
第6章 主应力法及其应用




§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 响
金属塑性成形问题的求解方法 主应力法的基本原理 几种金属流动类型变形力公式的推导 主应力法在塑性成形中的应用 关于接触表面上的摩擦切应力及其对压应力分布的影
mW ) 4 h
mk xe ye h
p 2 K (1
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一、平面应变镦粗型的变形力
倾 斜 砧 板 间 的 平 面 应 变 镦 粗
收敛式流动 0， 0
爬升式流动 0， 0
散射式流动 0， 0
下滑式流动 0， 0
2 0 ， xe Y 3
，
we K2 y ln( ) K1 wb yK1
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二、平面应变挤压型的变形力
x y 的分布曲线如图所示。
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三、轴对称镦粗型的变形力
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形 力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状态没 有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴）， 即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标无关，仅 与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称镦粗问题。
② 根据金属流动的方向，沿变形体整个（或部分）截面 （一般为纵截面）切取包含接触面在内的基元体，且设 作用于该基元体上的正应力都是均布的主应力。这样， 在研究基元体的力平衡条件时，获得简化的常微分方程 以代替精确的偏微分方程。接触面上的摩擦力可用 Coulomb摩擦条件或常摩擦条件等表示。
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§6.1金属塑性成形问题的求解方法
塑性成形力学的数学解析法只有在某些特殊情况下才能解， 而对一般的空间问题，数学上的精确解极其困难。对大量 实际问题，则是采用一些简化和假设来求解。根据简化方 法的不同，求解方法有下列几种。
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§6.1金属塑性成形问题的求解方法
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§6.1 金属塑性成形问题的求解方法

上限法 从变形体的速度边界条件出发，对塑性变形区取较大的单 元，根据极值原理，求出塑性变形能为极小值时满足变形 连续条件和体积不变条件时的动可容速度场，计算出力能 参数，不考虑塑性变形区的应力状态是否满足平衡方程。
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§6.1 金属塑性成形问题的求解方法

有限元法 将连续体离散为有限个单元的组合体，单元之间用节 点连接，在每个单元内假设近似函数即插值函数来分 片表示系统的求解场函数，插值函数由节点值确定， 单元之间的作用由节点传递，建立物理方程，对全部 单元的组合体进行数值计算，可求出变形体内的应变、 应力等场变量以及力能参数。
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§6.2 主应力法基本原理

由于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表 示的，故此得名“主应力法”。又因这种解法是从切取基元体 或基元板块着手的，故也形象地称为“切块法”（Slab method）。

主应力法的数学演算比较简单，在实际应用中主应力法除 了用于计算变形力以外，还可以用来求解某些变形问题。主应 力法得到的是解析解，从解的数学表达式中，可以看出各有关 参数（如摩擦因数、变形体的几何尺寸等）对求解结果的影响， 因而在金属塑性成形分析中应用非常广泛。但是，这种方法只 能确定接触面上的应力大小和分布，且计算结果的准确性与所 作假设和实际情况的接近程度有关。
已知按绝对值列出的近似屈服方程为
2 y x Y 3
d x d y
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一、平面应变镦粗型的变形力
与上式联立求解，并令
K1 tan tan
2 K2 YK1 (2 t an2 t an2 ) 3
则得
K2 d y dx (hb xK1 )
根据几何关系可写出
h hb (tan tan ) x
倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析
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一、平面应变镦粗型的变形力
将这些关系式代入前式，并略去二阶微量，整理后得
x (tan tan )dx [hb (tan tan )]d x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
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§6.1 金属塑性成形问题的求解方法
塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状态和 应变状态的基本方程。
对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准则中， 共包含六个未知数(σij ) ，属静不定问题。再利用六个应力 应变关系式（本构方程）和三个变形连续性方程，共得十三 个方程，包含十三个未知数（六个应力分量，六个应变或应 变速率分量，一个塑性模量），方程式和未知数相等。
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一、平面应变镦粗型的变形力
①截取如图所示基元板块， ②并对其列力平衡方程为：
③由近似塑性条件（按绝对值） 或
d x 2 0 h 整理后得： dx
x h ( x d x )h 2 dx 0
y x 2K
d x d y
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一、平面应变镦粗型的变形力
又由静力平衡关系可得

y
u
dx y dx tan dx u cos cos y u tan
同理 y l tan


y

u y tan
l
dx
l y tan
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一、平面应变镦粗型的变形力
下面以收敛式流动(图a) 为代表，推导σy和p的计 算公式。 列基元板块的平衡方程 式
倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析
x h ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tandx l tan dx 0
2 2 ( r z ) 2 3 zr T
对于轴对称问题，塑性条件 可简化为 d d 0
r z
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§6.2 主应力法基本原理
简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系 库仑摩擦定律： k f n （滑动摩擦） 常摩擦定律： k k （粘着摩擦） 式中： k —摩擦应力 k——屈服切应力（ k s / 3 ） f ——摩擦系数 n —正应力 ④ 将经过简化的平衡微分方程和塑性条件联立求解，并 利用边界条件确定积分常数，求得接触面上的应力分布， 进而求得变形力。
，
2 得： dx h 将滑动摩擦时的库仑摩擦定律 d y 2m k 代入上式得： mk dx h
dwenku.baidu.com y
2mk 上式积分得： y xC h
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一、平面应变镦粗型的变形力
④在接触边缘处，即
xe W / 2 时， xe 0
，由近似塑性条件
y x 2K
于是
C 2mk W 2K h 2
ye 2K
⑤因此接触面上正应力分布规律
2mk y ( x xe ) ye h
单位面积的平均变形力p为：
m W y 2 K [1 ( x)] h 2
P 1 p F xe

xe
0
y dx
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二、平面应变挤压型的变形力
宽板从平面锥形凹模挤出或锻件充填模腔形成长筋等均属于 这种类型
平面应变挤压型金属流动方向和应力分布图形
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二、平面应变挤压型的变形力

这时金属的流动情况与收敛式流动相似，只是x、y坐标方向 改变而已，只要将相应的符号改变，不必重新推导，即可仿 照前式直接写出 y 的计算式：

主应力法（初等解析法） 从塑性变形体的应力边界条件出发，建立简化的平衡方程 和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力和变形的 力能参数，不考虑变形体内的应变状态。
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§6.1 金属塑性成形问题的求解方法

滑移线法 假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑性变形区内 任一点存在两族正交的滑移线族，结合边界条件可解出滑 移线场和速度场，从而求出塑性变形区内的应力状态和瞬 时流动状态，计算出力能参数。
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K2 y ln(hb xK1 ) C K1
当
x xe
时，
y ， ye 得
he K2 C ln( ) ye K1 hb xK1
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一、平面应变镦粗型的变形力
最后得垂直压应力
he K2 y ln( ) ye K1 hb xK1
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§6.2 主应力法基本原理
主应力法是金属塑性成形中求解变形力的一种近似解法。 它通过对应力状态作一些近似假设，建立以主应力表示的 简化平衡方程和塑性条件，使求解过程大大简化。其基本 要点有：
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§6.2 主应力法基本原理
① 把变形体的应力和应变状态简化成平面问题（平面应 变状态或平面应力状态）或轴对称问题，以便利用比较 简单的塑性条件，即σ1–σ3=βσs 。 对于形状复杂的变形体，可以把它划分为若干形状 简单的变形单元，并近似地认为这些单元的应力应变状 态属于平面问题或轴对称问题。
we K2 x ln( ) xe K1 wb yK1
简化屈服方程为
2 x y Y 3
故得
we K2 2 y ln( ) xe Y K1 wb yK1 3
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二、平面应变挤压型的变形力
y ye
如果 于是
处为自由表面，则
ye
单位变形力
P 1 p F xe

xe
0
1 y dx xe

xe
0
K2 he ) ye dx ln( K1 hb xK1
K2 1 K2 [he (ln he 1) hb (ln hb 1)] ln he ye K1 xe K1