阿波罗尼斯圆及其应用(整理)
阿波罗尼斯圆及其直接应用 (解析版)
1专题一：阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用主干知识：1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点,A B ，设P 点在同一平面上且满足PAPBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（1λ=时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2、阿波罗尼斯圆的方程【定理1】设()()()1,,,0,,0P x y A a B a -．若PAPBλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹方程是2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其轨迹是以221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为221a r λλ=-的圆．例题讲解例1．（2022·河北盐山中学高二期中）已知两定点()2,1A -，()2,1B -，如果动点P满足PA =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.【分析】设(,)P x y ，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P 的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设(,)P x y ，由题设得：2222(2)(1)2[(2)(1)]x y x y ++-=-++，∴22(6)(3)40x y -++=，故P的圆，∴图形的面积等于40π.故答案为：40π例2．（2022四川涪陵月考）若ABC ∆满足条件4, 2 AB AC BC ==，则ABC ∆面积的最大值为__________．【分析】设BC x =，则2AC x =，由余弦定理得出cos B ，根据三角形任意两边之和大于第三边得出x 的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC x =，则2AC x =，由余弦定理可得22216(2)163cos 248x x x B x x+--==⨯⨯由三角形任意两边之和大于第三边得2442x x x x +>⎧⎨+>⎩，解得443x <<，即216169x <<14sin 222ABCS x B ∆∴=⋅⋅⋅===当2809x =时，ABC ∆面积取最大值163故答案为：163答案第2页，共3页例3．在平面直角坐标xOy 中，已知点()()1,0,4,0A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是_______．【分析】根据12PA PB =得出点P 的轨迹方程，又点P 在直线0x y m -+=上，则点P 的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设(,)P x y则PA PB ==因为12PA PB ==，同时平方，化简得224x y +=，故点P 的轨迹为圆心在（0,0），半径2为的圆，又点P 在直线0x y m -+=上，故圆224x y +=与直线0x y m -+=必须有公共点，2≤，解得m -≤例4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB=，即()2223x y-+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+=+=+，所以()22max2116x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+3故选：A.例5．（2022四川·成都外国语学校高二月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB=，则实数m 的取值范围是（）A．22⎣⎦B．542⎡⎢⎣⎦C．2⎛ ⎝⎦D．2⎥⎣⎦【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：22m ≤≤，所以实数m 的取值范围是2⎥⎣⎦，。
阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用
阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用阿波罗尼斯圆是古希腊几何学家阿波罗尼斯在公元前3世纪提出的一种特殊几何曲线。
它被广泛运用于数学和工程领域，具有重要的应用价值。
本文将介绍阿波罗尼斯圆在几何学中的几个重要应用。
一、光学系统的导向元件阿波罗尼斯圆被广泛应用于光学系统中的导向元件设计。
光学系统中的导向元件对光进行控制和调整，使其能够沿特定路径传播或聚焦在特定位置。
阿波罗尼斯圆的特殊形状和性质使得它能够实现精确的光线导向和聚焦。
通过对光线的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将入射光线汇聚到焦点上，实现精确的光束控制。
二、天文学中的椭圆轨道描述天文学中的行星和卫星运动轨道通常被描述为椭圆形状。
阿波罗尼斯圆在这方面发挥了关键作用。
根据开普勒定律，行星和卫星在引力作用下绕着中心天体运动，其轨道呈现出椭圆形状。
阿波罗尼斯圆的研究成果为天文学家提供了理论基础和数学工具，使得他们能够精确地描述和预测行星和卫星的运动轨迹，为天文学研究和空间探索提供了重要参考。
三、声学中的反射和聚焦阿波罗尼斯圆的特殊性质在声学中也有广泛应用。
声学中的反射和聚焦是将声波传播和聚焦在特定区域的重要问题。
阿波罗尼斯圆的形状使得它能够实现声波的精确反射和聚焦。
通过对声波的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将声波聚焦在特定位置，实现声学上的精确控制。
四、水波和震波的传播研究阿波罗尼斯圆不仅在光学和声学中有应用，还在水波和震波的传播研究中发挥重要作用。
水波和震波的传播过程与光波和声波有许多相似之处。
阿波罗尼斯圆的研究成果为水波和震波的传播提供了重要的参考和理论基础，推动了这一领域的发展。
综上所述，阿波罗尼斯圆在光学、天文学、声学和水波、震波传播等领域中都有重要应用。
其特殊形状和性质使得它成为精确控制和调整光、声、波等物理量的有效工具。
随着科学技术的发展和应用需求的增加，阿波罗尼斯圆将继续在多个领域发挥重要作用，为人类认识和探索自然世界提供宝贵的支持。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个具有独特魅力和重要应用价值的概念。
它不仅在理论上丰富了我们对几何图形的理解，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为常数（不为 1）的点的轨迹。
简单来说，如果有两个固定的点 A 和 B，一个动点 P 到 A 和 B 的距离之比始终是一个定值 k（k 不等于 1），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
那么，如何来确定这个圆呢？假设两个定点 A 和 B 的坐标分别为（x1, y1) 和（x2, y2)，距离之比为 k，我们可以通过一系列的代数运算来找到这个圆的方程。
这其中涉及到距离公式以及一些代数变形，虽然过程可能稍显复杂，但最终得出的结果却能清晰地描述这个圆的特征。
阿波罗尼斯圆有着许多有趣的性质。
比如说，圆心一定在线段 AB的中垂线上。
而且，当两个定点之间的距离固定，比值 k 变化时，圆的大小和位置也会相应地改变。
接下来，让我们看看阿波罗尼斯圆在实际中的应用。
在物理学中，它可以用来研究带电粒子在电场中的运动轨迹。
当电场强度的分布满足一定条件时，粒子的运动轨迹可能就会是一个阿波罗尼斯圆。
这为我们分析粒子的运动规律提供了有力的工具。
在工程设计中，阿波罗尼斯圆也能大显身手。
例如在道路规划中，如果要设计一条曲线道路，使得车辆从一个固定点出发，到另一个固定点的行驶时间与距离之比保持恒定，就可以利用阿波罗尼斯圆的原理来进行规划。
在数学竞赛和高考中，阿波罗尼斯圆也常常作为考点出现。
它可能会隐藏在一些看似复杂的几何问题中，需要我们敏锐地发现并运用其相关知识来求解。
例如，给出一些点的位置关系和距离条件，让我们判断某个点是否在特定的阿波罗尼斯圆上，或者求与阿波罗尼斯圆相关的最值问题。
再举一个具体的例子，假设在一个平面直角坐标系中，有两点 A(－3, 0) 和 B(3, 0)，动点 P 满足｜PA| ＝ 2|PB|，我们可以通过计算得出点P 的轨迹方程，进而分析其性质和相关应用。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。
它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名，展现了数学的深邃与美妙。
让我们先来了解一下阿波罗尼斯圆的定义。
给定平面内两个定点A、B，平面内一动点 P 满足 PA ／ PB ＝λ（λ 为非零常数且λ ≠ 1），则点 P 的轨迹是一个圆，这个圆就被称为阿波罗尼斯圆。
为了更直观地理解阿波罗尼斯圆，我们可以通过一个简单的例子来感受。
假设 A、B 两点的坐标分别为（－2, 0) 和（2, 0)，λ ＝ 2。
设点P 的坐标为（x, y)，根据距离公式，PA 的长度为√（x ＋ 2)＾2 ＋ y^2，PB 的长度为√（x 2)＾2 ＋ y^2。
因为 PA ／ PB ＝ 2，所以√（x ＋ 2)＾2 ＋ y^2 ／√（x 2)＾2 ＋ y^2 ＝ 2。
对等式两边进行平方并化简，最终可以得到一个圆的方程。
那么，阿波罗尼斯圆有哪些独特的性质呢？首先，圆心一定在线段AB 的中垂线上。
其次，当λ ＞ 1 时，点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 B 点的一侧为优弧的圆；当 0 ＜λ ＜ 1 时，点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 A 点的一侧为优弧的圆。
接下来，让我们探讨一下阿波罗尼斯圆在实际中的应用。
在物理学中，阿波罗尼斯圆可以用来分析带电粒子在电场中的运动轨迹。
例如，当两个等量同种电荷形成的电场中，一个带电粒子在其中运动，其轨迹可能就符合阿波罗尼斯圆的特征。
在工程设计中，阿波罗尼斯圆也有重要的作用。
比如在建筑设计中，要确定一些特定的支撑点位置，使得结构更加稳定，就可以运用阿波罗尼斯圆的原理来进行计算和规划。
在计算机图形学中，阿波罗尼斯圆可以用于生成特定形状的图形。
通过对阿波罗尼斯圆的参数进行调整，可以创造出丰富多样的视觉效果。
在数学竞赛和考试中，阿波罗尼斯圆也是一个常见的考点。
它常常与三角形、圆的相关知识结合，考察学生对几何图形的理解和运用能力。
(完整版)阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ证 （以1>λ为例）设λ===QBAQ PB AP a AB ,，则 1,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知,1,1222222222-=+=-=⋅=λλλa BC AB AC a BQ PB BC 于是,1,122-=-=λλλa AC aBC .λ=BCAC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外；当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。
性质2.因AQ AP AC ⋅=2，过AC 是圆O 的一条切线。
若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。
性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.122⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλπa 性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。
性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠数学应用1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值),0(>a a 求点P 的轨迹.2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM 2=，试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程.3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.4.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.5.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.6.已知P A ),0,2(-是圆16)4(:22=++y x C 上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得21=PB PA 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由.变式：已知圆16)4(:22=++y x C ，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有?21=PB PA 若存在，求出B A ,坐标；若不存在，说明理由.7.在ABC ∆中，AD AC AB ,2=是A ∠的平分线，且.kAC AD =（1）求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的面积为1，求k 为何值时，BC 最短.。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。
它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名，展现了几何图形与数学原理之间的精妙联系。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义入手。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹。
也就是说，如果有两个定点 A 和 B，点 P 满足｜PA|／｜PB| ＝ k（k 为非 1 的常数），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
为了更直观地感受阿波罗尼斯圆，我们不妨通过一个简单的例子来看看它是如何形成的。
假设定点 A 的坐标为(－1, 0)，定点 B 的坐标为(1, 0)，且比值 k ＝ 2。
我们可以通过距离公式和等式｜PA|／｜PB| ＝2 来列出方程，经过一番计算和化简，就能得到点 P 的轨迹方程，从而描绘出这个阿波罗尼斯圆的图形。
那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？一个常见的应用是在物理学中的带电粒子在电场和磁场中的运动问题。
比如，当带电粒子在特定的电场和磁场中运动时，其轨迹可能会符合阿波罗尼斯圆的特征。
通过对阿波罗尼斯圆性质的深入理解，我们可以更好地分析带电粒子的运动路径、速度变化等关键信息，从而为相关的物理研究和实际应用提供有力的理论支持。
在工程领域，阿波罗尼斯圆也有着不可小觑的作用。
比如在建筑设计中，当需要规划一些具有特定比例关系的布局时，阿波罗尼斯圆的概念可以帮助设计师巧妙地安排空间，实现美观与实用的完美结合。
又比如在道路规划中，为了使车辆行驶更加流畅和安全，有时需要根据不同地点之间的距离比例关系来设计路线，阿波罗尼斯圆的原理就能在其中发挥指导作用。
在数学解题中，阿波罗尼斯圆更是常常成为巧妙解题的关键。
例如，在一些涉及到距离比值的几何问题中，如果能够敏锐地发现其隐藏的阿波罗尼斯圆结构，往往能够化繁为简，迅速找到解题的突破口。
我们来看一个具体的数学问题。
已知三角形 ABC 中，AB ＝ 4，AC ＝ 2，且点 P 满足｜PA| ＝ 2|PB|，求点 P 的轨迹。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯及其应用
一、以教材为背景，引出阿波罗尼斯圆
1、定义：
已知点M与两个定点叫,“2距离的比是一个正数机，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(考虑机=1和〃 2 ≠ 1两种情形).
分析：当初=1时，表示线段2的垂直平分线.
下面我们只考虑机w 1时的情形
2、引例:已知点P(2,0),Q(8,0),点M与点用距离是它与点磔勺距离的(,用《几何画
板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程.
(1)用几何画板进行动画演示
结论1：
(2)回顾求动点轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简
(3)改变些的值进行动画演示.
MQ
结论2：
二、探究新知
1、阿波罗尼斯圆
(1)定义
(2)人物简介
(3)注意事项
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
已知点M与两个定点M∣,M?距离的比是一个正数〃?，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(m≠l).
四、阿波罗尼斯圆的应用
例1(2008江苏卷13)若AB = 2,AC =√2BC,则SMBC最大值是. X
例2、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系Xeyt l ,点A （0,3）,圆球半径为1,圆心C 在直
线 /： y=2x-4±,若圆C 上存在点使得MA=2MO,求圆心C 的横坐标疝勺取值范围.
例3、已知A(-2,0),P 为圆U(x + 4y +
练习:若48 = 2,8。
= 1,8 = 3,用为以瓦）为直径的圆上一点,则怨= MC
五、课堂小结
1、一个概念
2、两种思想：方程思想、转化思想
坐标为
V=16上任意一点,若点B 满足2∣ PAl = IPM ,则
5的
3、三类问题：轨迹、定点、定值。
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用阿波罗尼斯圆（Apollonian circles）是数学中的一个重要概念，广泛应用于天文学领域。
这一概念来源于古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）的研究成果，被称为“三个圆外切于一个圆”的问题，据此得名。
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用包括以下几个方面。
1. 星系形成模型阿波罗尼斯圆可以用来描述星系的形成模型。
天文学家观测到在星系形成的过程中，恒星和星际物质会形成环状结构。
而阿波罗尼斯圆则可以准确地描述这些环状结构的形成和演化。
通过对恒星的轨道和质量分布进行建模，可以利用阿波罗尼斯圆来预测星系的形成和演化历程。
2. 行星轨道模拟阿波罗尼斯圆也可以用来模拟行星的轨道。
行星的运动轨迹可以通过数学建模进行模拟，利用阿波罗尼斯圆的特性，可以更加精确地描述行星在太阳系中的运动轨迹。
这对于天文学家来说是非常重要的，因为行星轨道的研究可以揭示宇宙中的引力规律和行星的形成机制。
3. 空间天体测距阿波罗尼斯圆还可以用于空间天体的测距。
在天文观测中，我们经常需要测量天体之间的距离，比如测量恒星与地球的距离、测量星系与星系之间的距离等。
利用阿波罗尼斯圆的几何性质，可以通过测量天体之间的角度和弧长，来计算它们之间的距离。
这为天文学家提供了一种精确测距的方法。
4. 天体碰撞模拟阿波罗尼斯圆还可以应用于模拟天体碰撞的过程。
天文学家经常关注天体之间的碰撞事件，比如彗星撞击行星、星系之间的相互作用等。
通过对碰撞速度、角动量和质量分布等因素进行建模，可以利用阿波罗尼斯圆来模拟天体碰撞的过程，并对其产生的影响进行预测和分析。
综上所述，阿波罗尼斯圆在天文学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于描述星系的形成和演化，还可以模拟行星轨道、测量天体之间的距离以及模拟天体碰撞等。
随着天文观测和数学建模技术的不断发展，阿波罗尼斯圆的应用将更加深入和广泛，为我们揭示宇宙的奥秘提供更多的线索和解释。
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阿波罗尼斯圆的应用
1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点',A A ，设P 点在同一平面上且满足
,'
λ=PA PA
当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的相关性质
性质1.当1>λ时，点'A 在圆O 内，点A 在圆O 外； 当10<<λ时，点A 在圆O 内，点'A 在圆O 外。
性质2.所作出的阿波罗尼斯圆的半径为|AA'|
1r λλ
=
-
性质3：'
OA r
r OA =
=λ λ越大，圆越小.
例1：已知P 点在边长为2的正方形ABCD 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______ 解析:2
2',1,2,'=∴====
OA r OA OA r r OA λ '2,2'PA PA PA PA
=∴==λ,5'2)'(22=≥+=+B A BP PA BP PA
练习1：已知P 在边长为2的正三角形ABC 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______2
7
练习2：已知点P 在圆4:22=+y x O 上运动，)4,4(),0,4(B A ，
求BP AP 2+的最小值
例2：（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.
练习1：满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.
练习2.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积
的最大值是___________.
例3：已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB=1，AD=CD=2，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成角相等，则点M 的轨迹长度为_________9
4π
练习：在正方体1111D C B A ABCD -中，33=AB ，点E ，F 在线段1DB 上，且,1FB EF DE ==点M 是正方体表面上一个动点，点P,Q 是空间两个动点，若
2|
||
|||||==QF QE PF PE 且4||=PQ ，则MQ MP ⋅的最小值为____________3
8-
练习2：已知△ABC 的面积为1，∠A 的角平分线交对边BC 于D ， AB=2AC ，且AD=kAC ，则当k=________时，边BC 的长度最短.
5
10
2=
k 分析：面积为定值，AB=2AC ，所以A 的轨迹为阿氏圆，设圆交BC 和延长线为D 、E ，易得AD 即为∠A 的角平分线，且当AO 垂直BC 时BC 有最小值，设圆半径为r ，
OC r r OB =
=
=2λ,r r OB OD r
OC r OB =-=∴==,2
,2 r AD r 2,2
5
AC ==
勾股定理得： 510
22
52===
∴r r AC
AD
k 3、已知向量,a b 满足：||3,||2||,b a b a ==-若||3a b λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围是_______.
例4. （2015年高考数学湖北卷）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NB
MB
=； ②2NB MA NA
MB
-=； ③
2NB MA NA
MB
+=号是 .（写出所有正确结论的序号）
解：（1）易知半径2r =
，所以圆的方程为
()(2
2
12
2x y -+=；
（2）易知(
)()
21,21A B ，设(),P x y 为圆C 上任意一点，则
(
)
()
()(
)()(
)()(
)
22
2
2
21422221221
22142
2221221221x y y
y
PA PB
y y x y +-+-----=
===+-++-+-
-，
故
①正确
；
(
))
21212
NB MA
NA MB
-=-
=，
②
正
确；
))
212122NB MA
NA MB
+=+
=
y
x
O
T
C N
A M
B
5、已知点(0,2),(1,1)A B --，P 是圆C:22
2x y +=上的一个动点.求
||
||
PB PA 的最大值. 6、已知向量||6,||||,2,b a a c b a c m ==--=是||()a tb t R +∈的最小值,求m 的最大值.。