阿波罗尼斯圆及其应用(整理)

阿波罗尼斯圆的应用
1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点',A A ，设P 点在同一平面上且满足
,'
λ=PA PA
当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的相关性质
性质1.当1>λ时，点'A 在圆O 内，点A 在圆O 外； 当10<<λ时，点A 在圆O 内，点'A 在圆O 外。

性质2.所作出的阿波罗尼斯圆的半径为|AA'|
1r λλ
=
-
性质3：'
OA r
r OA =
=λ λ越大，圆越小.
例1：已知P 点在边长为2的正方形ABCD 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______ 解析:2
2',1,2,'=∴====
OA r OA OA r r OA λ '2,2'PA PA PA PA
=∴==λ,5'2)'(22=≥+=+B A BP PA BP PA
练习1：已知P 在边长为2的正三角形ABC 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______2
7
练习2：已知点P 在圆4:22=+y x O 上运动，)4,4(),0,4(B A ，
求BP AP 2+的最小值
例2：（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.
练习1：满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.
练习2.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积
的最大值是___________.
例3：已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB=1，AD=CD=2，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成角相等，则点M 的轨迹长度为_________9
4π
练习：在正方体1111D C B A ABCD -中，33=AB ，点E ，F 在线段1DB 上，且,1FB EF DE ==点M 是正方体表面上一个动点，点P,Q 是空间两个动点，若
2|
||
|||||==QF QE PF PE 且4||=PQ ，则MQ MP ⋅的最小值为____________3
8-
练习2：已知△ABC 的面积为1，∠A 的角平分线交对边BC 于D ， AB=2AC ，且AD=kAC ，则当k=________时，边BC 的长度最短.
5
10
2=
k 分析：面积为定值，AB=2AC ，所以A 的轨迹为阿氏圆，设圆交BC 和延长线为D 、E ，易得AD 即为∠A 的角平分线，且当AO 垂直BC 时BC 有最小值，设圆半径为r ，
OC r r OB =
=
=2λ,r r OB OD r
OC r OB =-=∴==,2
,2 r AD r 2,2
5
AC ==
勾股定理得： 510
22
52===
∴r r AC
AD
k 3、已知向量,a b 满足：||3,||2||,b a b a ==-若||3a b λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围是_______.
例4. （2015年高考数学湖北卷）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NB
MB
=； ②2NB MA NA
MB
-=； ③
2NB MA NA
MB
+=号是 .（写出所有正确结论的序号）
解：（1）易知半径2r =
，所以圆的方程为
()(2
2
12
2x y -+=；
（2）易知(
)()
21,21A B ，设(),P x y 为圆C 上任意一点，则
(
)
()
()(
)()(
)()(
)
22
2
2
21422221221
22142
2221221221x y y
y
PA PB
y y x y +-+-----=
===+-++-+-
-，
故
①正确
；
(
))
21212
NB MA
NA MB
-=-
=，
②
正
确；
))
212122NB MA
NA MB
+=+
=
y
x
O
T
C N
A M
B
5、已知点(0,2),(1,1)A B --，P 是圆C:22
2x y +=上的一个动点.求
||
||
PB PA 的最大值. 6、已知向量||6,||||,2,b a a c b a c m ==--=是||()a tb t R +∈的最小值,求m 的最大值.。