眼科病床安排模型

门诊
入院
第一 次手 术
第二 次手 术
出院
图 4.1 眼科病人就医流程图
在本题中，考虑合理的病床安排应该使病人和医院同时尽量满意，故病人等 待服务时间应该尽量小，同时医院病床的利用率较高，因此时间因素是合理的病 床安排最大的影响素。我们通过分析所给表格以及查找相关资料，确定综合评价 体系中的每个指标，进而运用层次分析法确定综合指标中每个指标的权重，并进 行一致性检验，进而建立综合评价模型，对于现有病床安排模型进行评价。
Twa 1 M
T
i 1
M
wi
平均住院时间 Tha
Tha 1 M
wenku.baidu.comT
i 1
M
hi
等待入院病人所排的队的队长 N 即指标为 Twa 、 Tha 、 N 其中，我们根据现有的数据，利用 spss 软件求解出了平均等待时间、平均 住院时间：
平均等待入院时间 Twa
平均住院时间 Tsa 7.0163
2 指标建立 我们假设一段时间 T 内门诊等待入院的病人总数为 N ，在院中的病人总数 是 M ，已入院的病人中病人 i 的门诊时间是 tai ，入院时间是 tbi ，则他的等待入院 时 间 Twi 即 为 Twi tbi tai 。 再 假 设 他 在 时 间 tdi 出 院 ， 则 他 的 住 院 时 间 Thi 是 Thi tdi tbi 。 建立评价指标体系如下： 平均等待入院时间 Twa
3．比较尺度
当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 Cj 对于一个上层因素 O 的影响， Saaty 等人提出 用 1-9 尺度，即 的取值范围是 1，2，…，9 及其互反数 1，1/2，…，1/9．在进行定性的 成对比较时，人们头脑中通常有 5 种明显的等级，用 1-9 尺度可以方便地表示如下
2011 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
0.3549) ；在表中查出 RI=0.58． CR CI / RI 0.04015 / 0.58 0.0692 0.1 ,一致性检
T
验通过，上述 w 可作为权向量． 以原来情况为标准，运用层次分析法确定这三个指标的权重，并进行一致性处理。得到 综合评价指标为： 0.27444 ∗ 0.3707 ∗ 0.3549 ∗
问题一
基本假设
（1）假设门诊后的病人不会因等待而流失； （2） 假设题目中所给出的数据能够真实有效的反应该医院病人行为的统计规律；
符号说明及解释
T
一定的时间 一定时间内前来门诊的病人总数 已入院的病人中病人 i 的挂号时间 已入院的病人中病人 i 的入院时间 已入院的病人中病人 i 的等待入院时间 已入院的病人中病人 i 的手术时间 已入院的病人中病人 i 的等待手术时间 已入院的病人中病人出院时间
平均到达率 平均服务率 工作强度
N ( Lq )
tai tbi Twi tci Tsi tdi

C
Tri
已入院的病人中病人 i 的术后疗养时间
1 问题分析： 首先眼科病人就医的过程中，门诊后需要等待空余的病床，等到空余的病床 并入院后，需要一定的准备时间才开始做手术，手术后经过一段时间的后期疗养 再出院。我们将此过程用流程图直观表示如下。
表中 n=l，2 时 RI=0，是因为 1，2 阶的正互反阵总是一致阵．对于，2≥3 的成对比较阵 A，
将它的一致性指标 CI 与同阶(指 n 相同)的随机一致性指标 RI 之比称为一致性比率 CR，当
时认为 A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。
=3.0803， 归一化的特征向量 w= (0.2744， 0.3707， 对于以上给出的各式， 可以算出：
8.60885
然后调用了排队论的相关知识算出了队长，因为由题中数据可得外伤共有 55 人，在所分析的 60 天中，分配到每天几乎有一个外伤急诊，故而从 79 个床 位中去除一个床位，剩余 78 个。通过心理学调查，诊病问题中仅仅等待时间是 患者们所关心的。一个排队系统的平均等待时间越短，患者对于该排队系统的满 意率就越高。所以我们可以用平均等待时间的倒数来表征病人的满意度 C ，并且 有：
a ij 的事实可知， 比 n 大得越多，A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的
判断误差越大．因而可以用 —n 数值的大小来衡量 A 的不一黎程度．Saaty 将
定义为一致性指标．CI=0 时 A 为一致阵；CI 越大 A 的不一致程度越严重．为了确定 A 的不 一致程度的容许范围，需要找出衡量 A 的一致性指标 CI 的标准．Saaty 又引入所谓随机一 致性指标 RI，即对于固定的 n，随机地构造正互反阵 A，(它的元素 a i j （i<j）从 1～9，l～ 它的 CI 相当大． 1／9 中随机取值)， 然后计算 A 的一致性指标 CI． 由于 A 是非常不一致的， 如此构造相当多的 A ，用它们的 CI 的平均值作为随机一致性指标．Saaty 对于不同的 n， 用 100--500 个样本 A 算出的随机一致性指标 RI 的数值如下*．
目前在层次分析法的应用中，大多数人都用 l-9 尺度，(2)式中的 A 就是这个尺度．关 于不同尺度的讨论也一直存在着．
通过对各影响要素重要性的分析确定成对比较矩阵， 在评价模型中由于总共 有 3 个指标，故可得到一个三阶的成对比较矩阵如下表所示：
平均等待入院时间 Twa 平均等待入院时间 Twa 平均住院时间 Tha 队长 N
1 5/3 1 表1
平均住院时间 Tha
3/5 1 7/5
队长 N
1 5/7 1
三个指标的打分矩阵表
4．一致性检验
成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根又的特征向量作为被比较因 素的权向量，其不一致程度应在容许范围内．前面已经给出 n 阶一致阵的特征根是 n，I 阶 而当 =n 时 A 是一致阵． 根据这个定理和 连续地依赖于 正互反阵 A 的最大特征根 ≥n，
0.27444 ∗ 其中 ， ， ； ， ， 0.3707 ∗ 0.3549 ∗
分别为新方案和原方案的数据。这样原方案的指标为
标准 1。Y 越小，说明病床安排越合理。 问题二：根据实际情况，制定优先病床安排规则。依据每一类病人的规律， 在新的优先规则下， 将 2008-8-30 到 2008-9-11 已经门诊的病人入院情况进行合 理安排。 用问题一中的综合评价指标来评价这一模型， 综合评价指标 Y=0.6925<1, 因此此规则优于 FCFS 规则。 问题三： ，利用 spss 统计出每天出院的人数，通过数据的进一步分析，沿用 问题二的模型，对白内障、白内障双眼、视网膜疾病和青光眼入住时间区间分析 与预测，同时考虑了全局最优的角度的安排，以及病人的类型以及和来门诊的时 间。 问题四：在星期六、星期日不安排手术的情况下，仍然肯定外伤的最高优先 级，调整白内障病人每周固定的手术日，分别设为周一和周三、周二和周四、周 三和周五。 运用问题一中指定的综合评价指标分别对这三种调整方案进行评价比 较，最终选择将白内障手术安排在周二和周四。 问题五： 在前四个问题的数据统计分析的基础上，我们可知各类型的病人 的总病床使用时间，现在按病床使用时间比例分配各类型的病人的病床，来使病 床最优配置。
关键词：综合评价指标
层次分析法
排队论
多服务台排队系统
问题的重述
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象， 它以这样或那样的形式出现在我们 面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等 待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分 四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术， 此类病人的术前准备时间只需 1、 2 天。 做两只眼的病人比做一只眼的要多一些， 大约占到 60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排 手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以 接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一 般不安排在周一、 周三。 由于急症数量较少， 建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分， 在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制， 但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除 外） 不安排在同一天做。 当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS （First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你 们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题， 以提高对医院资源 的有效利用。由附录中给出的病人信息考虑以下问题： （1）分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优 劣。 （2）试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的 第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。 并对你们的模型利用 问题一中的指标体系作出评价。 （3）作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住 院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 （4）若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的 手术时间安排是否应作出相应调整? （5）有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采 取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人 在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
C 1 1 N 1 Twa Twi N i 1
而平均住院时间是影响医院病床平均周转次数 R 的因素，也有重要意义，定义：
R 365 Tha
由于采用 FCFS 规则时，等待队长越来越大，这是本题的关键问题所在，所以是 否采取了合理的病床安排模型的重要检验因素是等待入院病人的队长。 在此我们 运用排队论的相关知识给出了合理的队长表示：
据文献 1 中的 M|M|C 模型有， 平均到达率:λ 平均服务率：Cμ
【 】
工作强度：ρ 1 ! 1 !
1 ! 1 ! 队列长：
， ,
! 1 根据数据可得： λ 8.6885 人/天 ， Cμ 7.0163人/天，C=79 则有, 工作强度：ρ 1.238318 1 队长： 8.1973人
日期： 2011 年
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号） ：
眼科病床的合理安排
M|M|C 模型的应用
摘要
针对不同的问题，本文分别建立了评价模型、优先病床安排模型、排队论模 型，利用了统计方法，计算机模拟方法和各种数学软件来进行计算。 问题一：将公平性指标、病床利用率和病人的满意程度一次量化为：平均入 院等待时间 Ta 、平均住院时间 Tb 和队长 Lq，以这三个指标来评价具体模型，以 原来情况为标准，运用层次分析法确定这三个指标的权重，并进行一致性处理。 得到综合评价指标为：
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 （打印并签名） ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名） ：
2009B 20111605
淮北师范大学 赵广东 吴先琼 吴微 陈昊 8 月 21 日