材料力学第八章组合变形及连接部分的计算

对称弯曲
斜弯曲

Myz Iy
Mz y Iz
t ,max M y max M z max c ,max Wy Wz
D1点： t ,max [ t ] D2点： c,max [ c ]
强度条件：
挠度：
2 y z2
ωz
z I z tan tan y Iy
y z
B
c ,max
FN M y M z FN M y M z [ c ] D A W y Wz A W y Wz
三、截面核心
ey z
F
FN M y z M z y A Iy Iz
iy
iz
z
Iy A
Iz A
ez
y
Fez z Fe y y A Iy Iz
例8.4
• 最大吊重P=8kN的起重机，AB杆 为工字钢，材料为A3钢， []=100MPa，选择工字钢型号。
设计原则
按弯曲正应力强度条件选择工字钢型号 再按拉压与弯曲组合变形校核强度，必要时选择
大一号或大二号的工字钢
必要时还应校核腹板与翼缘连接处的切应力强度
对于切应力较大的情况，原则上应选择腹板厚度
2、双向偏心拉伸（压缩） 1.外力分析 z F e z F
y
2.内力分析
ez
y
D A
M z Fe y M y Fez y
E y, z
FN F
M y Fez
M z Fe y
C
FN M y M z A A W y Wz FN M y z M z y FN M y M z 3.应力计算 B A Iy Iz A W y Wz 4.强度条件 FN M y M z FN M y M z t ,max [ t ] C A W W y z A W W
2 M max T 2
r3
W

2
r4
M
2 max
ωy
ω
对圆形、正方形截面
I y Iz

一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑,可以简化为简支 梁,如图示.图中l＝4m。大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力 ［σ］＝160MPa。起吊的重物重量F＝80kN，且作用在梁的中点， 作用线与y轴之间的夹角α＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
W

⑥建立强度条件

M max W
T Wp

1 2 2 ( ) 2 3 2 2 0
(2)按第四强度理论
r4
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2


3
§ 8–1
概 述
一、组合变形 ：由两种或两种以上基本变形组合的情况。
P M
P
R
y P
z x
P
q
hg
水坝
屋架传来的压力
吊车传来的压力
自重 风 力
组合变形工程实例
（立柱）压弯组合变形
10-1
组合变形工程实例
拉弯组合变形
组合变形工程实例
（轴）弯扭组合变形
工程实例
（轴）拉伸、弯曲、剪切和扭转的组合变形
z
100
P1 Mx
M Z (Nm) M (Nm)
y
y P2y
Mx
P2z x X
x
z
②画内力图 M y ( x) ; M z ( x ) ;
T ( x)
(Nm) My (Nm) Mz
③合成弯矩
2 M ( x) M y ( x)M z2 ( x)
x X
（Nm） M T n (Nm)
Mn
x x
My B1 T
2 2
r4
M W
2 max 2
3
T2 W
2 p

2 M max 0.75T 2
W

轴类弯扭组合的特点
• 圆轴 • 存在两个方向的弯矩My和Mz • 弯矩可矢量合成为合成弯矩M • 通常为塑性材料，故使用第三或第 四强度理论计算强度
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形 第三强度理论：
令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标
F
A
z Fe 0 e y Fe Fe y e z F z e y y 0 y z 0 z 0 y 0 z 0 1 00 1 0 2 2 2 2 A i y i z i zI z A I i z y F M z Fe y F Fez z0 Fe y y0 中性轴是一条不通过截面形心的直线 2 2 0 A iy A i2z A y i z M y Fez E y, z y a z 0 o y 0 D C ey 2 i y B z a y0 0 o z ez
F
1， 首先将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos

L2
L2
Z y
My Wy
Fz F sin
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z y
Wz 70.758cm 3
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表： W y 692.2cm 3
4， 讨论
3， 计算最大正应力并校核强度
材料力学
二、叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下，力 的独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内 力、应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的 叠加。 解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基 本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应 力、应变等；最后进行叠加。
§8–1
两相互垂直平面内的弯曲
⑥建立强度条件

T Wp

M max W
1 2 2 ( ) 2 3 2 2 0
(1)按第三强度理论
r 3 1 3 2 4 2
r3
2 T2 M max 4 2 2 W Wp

2 M max T 2
50 150
425F 103 N.m
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm4
y1
z0
y
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 FN F 50 M 425103 F N.m （3）立柱横截面的最大应力
较大的型号
“M”
“FN”
危险截面：
C截面左侧
Mmax=12kN· m
FN=40kN
W
Mmax
[ ]
=120 FN
cm3
选16号 工字钢
Mmax
校核 |c,max|= |
A
+
W
|=100.5MPa
可以使用。
例题 拉（压）弯组合变形
铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用 拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱 的强度计算许可载荷F。 解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩 A 15000 mm2 350 350 F F z0 75mm F M z1 125mm FN 7 4 I 5 . 31 10 mm y y1 y z0 z1 （2）立柱横截面的内力 50 FN F 150 M F 350 75103
r3
第四强度理论：
1 W
M T [ ]
2 2
r4
1 W
M 0.75T [ ]
2 2
式中W 为抗弯截面系数，M、T 为轴危险面的 弯矩和扭矩
W
d
3
32
W
D
3
32
1
4
圆轴弯扭组合问题的求解步骤： ①外力分析：外力向形心简化并分解。 ②内力分析：画内力图，确定危险面的内力值。 ③应力分析：建立强度条件。
6
C
③
h
2 h I i z2 z A 12 B ② e y h ez 0 1 1 6
§ 8–4
P1
弯曲与扭转
80ºP2 y
x A 150 B 200 C 100 D
z
P1
80ºP2 y
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 Mx A 150 B 200 C Mx B 200 C 100 D y P2y D P2z x z 弯扭组合变形 简化并分解
F2
M y F1 2 L
z
x
F1
M z F2 L
max
Mz W y Wz My
L
L
y
6 F1 2 L 6 F2 L 2 bh bh 2 t ,max 9.979 MPa
c ,max 9.979 MPa
§8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合
一、横向力与轴向力共同作用
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
（4）求许可压力F
FN
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
t . max
Mz 0 FN Iy A
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa F Mz c. max 1 N Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F Hale Waihona Puke Baidu 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
M x
B2 Mz
(N m) M (Nm) M
Mmax M max
x X
④确定危险截面
My B1 T
M x B2 Mz
⑤画危险面应力分布图，找危险点
xB
M
1
B1

B
x
M max W
1
xB
2
T Wp

B1


1 2 2 ( ) 2 3 2 2 0
max

Mz 217.8MPa Wz
0 max 115.6 MPa
88.4％
吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊。
图示矩形截面梁，截面宽度b＝90mm，高度h＝180mm。梁在两 个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂力F2 。若已知F1 ＝800N， F2＝1650N， L ＝1m，试求梁内的最大弯曲正应力并 指出其作用点的位置。
az
中性轴
z0 0 y0 0
i z2 a y yo ey 2 iy a z zo ez
截面核心
y
中性轴
F (e y , e z )
z
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
i z2 ay ey
a z1
az
2 iy
2 4 d d 64 2 iy i z2 2 A d 4 16
ay
e ,e
y z
y
az
中性轴
z
ay
e ,e
y z
y
中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对 两侧.且偏心力作用点离形心越近,中性轴就离形心 越远. 当偏心距为零时,中性轴位于无穷远处. 当偏心力的作用点位于形心附近的一个区域内 时,可使得中性轴不与横截面相交,这时横截面上只 出现压应力.这个区域-----截面的核心
=
+
10-3
c ,max
t ,max
=
F c A
+
,max t,max c
t,max
,max c
Fl W
Fl W
t ,max
Fl F [ t ] W A Fl F [ c ] W A
=
+
c ,max
934 934
128500 N
许可压力为 F 45000 N 45kN
二、偏心拉伸（压缩）
1、单向偏心拉伸（压缩）
e
F
F
M Fe
F
M Fe
FN Fey A IZ
FN
A
z
M Fe
B
y
F F
A
M Fe
e
B
单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力, 而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉 应力,也可能是压应力.
Iy
ez
d ey 8
z
①
ez 0
d
1 O
d 8 d 8
A
y
确定边长为h和b的矩形截面的截面核心.
h a y1 2
A
i z2 ay ey
Iy
④D
b 6 b 6
z
2
①
a z1
az
2 iy
ez
b
3
1
h 6
23 hb 12 b 2 iy bh A 12 y
4h