第七章 平面弯曲杆件

sy
m2
（2）物理条件(虎克定律)
x
sL
y
n1
O1 a1 dx
e1
y
n2
s E y
s E E
y

（3）力学条件
M O dA
y
z
FN s dA 0 A z(中性轴) M y A zs dA 0 x M ys dA M z A s dA E s dA ydA 0
FS F Fl
| FS |max F M max Fl
M
例7-7 图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的
剪力图和弯矩图。
q
A
解： 1、求支反力
B
x
l
FA
FB
由对称性知： ql FA FB 2
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
ql F ( x ) F qx qx S A 2 2 2 M ( x) F x qx qLx qx A 2 2 2
5.工程实例
F1
F2
6. 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平
面力系。 梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上
单跨静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁 (a)悬臂梁 (b)简支梁 (c)外伸梁
二、梁的弯曲内力--剪力与弯矩
一、截面法过程：切取、替代、平衡 F a
例7-9 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶
M，作该梁的剪力图和弯矩图。
A
x
a
C
M B b
解： 1、求支反力
FA M M ； FB l l
FA
l
FB
2、建立剪力方程和弯矩方程
M 0 x a F ( x ) F A S l AC段 : M ( x) F x Mx 0 x a A l
M M
上侧受拉
M M
下侧受拉
例7-5 求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。
F=8kN A 2m FA 1.5m q=12kN/m
1
1 1.5m
2 2 3m 1.5m
B
FB
解： 1、求支反力
M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 F
y
0
3 0 FA 15kN 2 FA FB F q 3 0 FB 29kN
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。
②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁 3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁 变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力 并不作用在纵向对称面内的弯曲。
2、讨论微分关系的几何意义
（1）微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小； 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。 （2）各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
外力情况 q<0(向下) 无荷载段 水平线 斜直线 集中力F作用 处： 集中力偶M作 用处：
剪力图上的特 ↘(向下斜直线) 征 弯矩图上的特 (下凸抛物线) 征 最大弯矩可 剪力为零的截 能的截面位置 面
l/2
F
例 7-11 已 知 16 号 工 字 钢 Wz=141cm3 ， l=1.5m ， a=1m ，
A
a
l
C
B
z
NO.16
解： 1)s C E C 210109 400106 84106 Pa 84MPa
M C FB (l a) 0.25F F 47.4 103 N 47.4kN M C 0.25F 0.25F s C W W 141106 z z 1 2) M max FL 17.8kN m 4 强度满 3 M max 17.8 10 6 足要求 s max 126 10 Pa 126 MPa [ s ] Wz 141106
截面的内力
M2
FS2
FB
三 、梁的剪力图与弯矩图
FS FS ( x) M M ( x) 2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线 方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。
1.剪力、弯矩方程：
例7-6 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
F
A l x B
剪力、弯矩方程： FS ( x ) F M ( x ) Fx
二、平面弯曲梁横截面上的内力： ①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的 剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； FS
wenku.baidu.com剪力为正
FS
FS
剪力为负
FS
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为下侧受拉，反之为上侧受拉。
FS , max ql 2 ql 2 8
FS
ql / 2
M
ql2 / 8
M max
例7-8 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，
作该梁的剪力图和弯矩图。
x
A a C l
F B
解： 1、求支反力
FA Fb Fa ； FB l l
b
FA
Fb / l
FB
2、建立剪力方程和弯矩方程
Fb 0 x a F ( x ) F A S l AC段 : M ( x) F x Fbx 0 x a A l
中性轴：横截面与中性层的交线。
m1 O1
中性层
m2
对称轴
（1）几何条件
dl ydq a1a2 a1a2 dl dq dq y y y dx dx dq a1a2
e O2 2 a2 n2
e1
x
y
o
z
中性轴
a1 n1
y dx
y

O曲率中心
M m1
dq m2 dq a2' a2 n dl 2 O2 M e2
A
y

A
中性轴通过截面形心
M z ysdA
A
E


A
y 2 dA M
1


M EI z
（4）纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)： ①距中性层y处的应力
My s Iz
②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为： M M My1 My2 | s | s L max ，s y max max ( I z / ymax ) Wz Iz Iz
dFS ( x) q ( x) dx
x
q(x)
q(x)
M ( x) dM ( x) M ( x) FS ( x) dx MO 0：
dM ( x) FS ( x) dx
1 q ( x) dx 2 0 2
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
二、梁的切应力和强度
1、矩形截面梁
假设：（1）横截面上各点处的切应力均平行于y轴； （2）距中性轴等远处的切应力大小相等。 将
FS S z* I zb
h bh3 y1 ，dA b d，I 2 12

2 h 2 y 2
第七章 平面弯曲杆件
§7-1 截面的几何性质
§7-2 平面弯曲杆件的内力 §7-3 弯曲应力和强度 §7-4 拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度
§7-2
平面弯曲杆件的内力
一、弯曲的概念和梁的计算简图
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成 为曲线的变形形式。 2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
Wz I z / ymax
—抗弯截面模量。
smin
M
smin
M
（5）横截面上正 应力的画法：
（6）对于横力弯曲的细长梁 (跨度与截面高度比 L/h>5)，上述 公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即 为截面位置的函数。
s
M ( x) y Iz ， 1 M ( x) ( x) EI z
突变，突变值 不变 为F 有尖点 有突变，突变 值为M
剪力突变的截 弯矩突变的某 面 一侧
3、利用微分关系作剪力弯矩图
（1）先利用计算法则计算分段点FS、M值； （2）利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。
例7-10 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS----M图。
3kN
C A
2kN/m
四、弯矩、剪力与荷载集度间的关系
1、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系
（1）假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认 为其上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。
y
A
（2）微分关系推导：
M
dx
F1
B
x
M(x) FS(x)
O
M(x)+dM(x) FS(x)+dFS(x)
dx Fy 0 ：FS ( x) FS ( x) dFS ( x) q( x) dx 0
smax smax
2、梁的弯曲正应力强度条件
s max
M max [s ] Wz
(1)强度校核: 根据强度条 件可进行： (2)截面设计:
s max [s ]
Wz M max [s ]
(3)确定梁的许可荷载:
M max [s ]Wz
[s]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘 C点沿轴向贴一应变片 ，测得C点轴向线应变 c 400106 ,求F并校核梁正应力强度。
6kN m
D
B
1m
FA
4m
1m
FB
解： 1、求支反力 FA 7.2kN
FB 3.8kN
2、判断各段FS、M图形状：
CA和DB段：q=0，FS图为水平线， M图为斜直线。
FS
4.2 (kN)
_
3
+
x=2.1m
E
_
3.8 2.2
AD段：q<0， FS 图为向下斜直线，
M图为下凸抛物线。 3、先确定各分段点的FS 、M
M a x l F ( x ) F S B l CB段 : M ( x) FB l x M l x a x l l
M /l
FS
Mb / l
M
Ma / l
由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯 矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。
A B
x
C
M
FS
F
F M
FB
y
0 : FA FS 0 FS FA
FA
x
C
0 : M FA x 0 M FA x
M
C
FS
F
y
0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M
C
0 : M FB x F l x 0 M FB x F l x FA x
b
O z O
h
代入切应力公式：
12Fs 2 3 bh

h/2
y
6 Fs bd 3 bh
d
max
y y
切应力呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零
在中性轴上最大，其值为：
max
3 Fs 3 2 bh 2
Fs /(bh)
—平均切应力
2、工字形截面梁上的切应力 腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：
FS
Fa / l
M
Fab / l
Fa F ( x ) F a x l B S l CB段 : M ( x) FB l x Fa l x a x l l
由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪 力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突 变方向沿集中力作用的方向。
M
(kN· m)
3
值，用相应形状的线条连接。
1.41 3.8
§7-3 弯曲应力和强度 一、梁的正应力和强度
1、纯弯曲时梁横截面上的正应力
1 c a 2 d b
假设
① ②
1
1 c c M
a
1
2
2
2
d
d b b M M
a
平 截 面 假 设
M
1 1
2 2
单 向 受 力 假 设
中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。
* Fs S z 式中：d为腹板厚度 Izd
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
F=8kN
2、计算1-1
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
M 1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN M 2 FB 1.5 q 1.5 1.5 30kN m 2