2018届高考数学第二轮考点梳理导学案28(64绝对值不等式)

64绝对值不等式

一、学习内容：选修2—2，P109～132；选修4—5，P26～31；

二、课标要求：

1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；

(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.

2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

三、基础知识

1．绝对值三角不等式

定理1.如果a，b是实数，那么|a＋b|≤_______，当且仅当__________时，等号成立．

定理2.如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当__________时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔______________；

②|ax＋b|≥c⇔________________________.

(3)|x－a|＋|x＋b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．四、典型例题分析

1. (2011山东理4)不等式|5||3|10

-++≥的解集为

x x

（A）[-5.7] （B）[-4,6] （C）(,5][7,)

-∞-⋃+∞

-∞-⋃+∞（D）(,4][6,)

【答案】D

【解析】由不等式的几何意义知，式子|3

-x

(x与点（5）

x表示数轴的点)

+

|+

|

|5

的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确

2.（2013江西（理））在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________

【答案】

[]0,4

3．(2011陕西理15)若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 【答案】(,3][3,)-∞-+∞

【解析】：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=所以12a x x ≥++-存在实数解， 有3a ≥3a ≤-或3a ≥

4．（2013湖北（理））

设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=

,23x y z ++=,则

x y z ++=_______.

5.(2011江苏卷21) 解不等式：|21|3x x +-< 解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。

原不等式等价于：4

3213,23x x x x -<-<-∴-<<，解集为4(2,)3

- 6．(2011辽宁理24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；

（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.

解：（I ）3,

2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪

=---=-<<⎨⎪≥⎩

当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ （II ）由（I ）可知，

当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；

当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.

综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为

7. (2011新课标理24)设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式

23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。

分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不

等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值； 解：（Ⅰ）当1=a 时，不等式23)(+≥x x f ，可化为，21≥-x

3,1≥-≤

∴x x ，所以不等式23)(+≥x x f 的解集为{}

3,1≥-≤x x x 或

（Ⅱ）因为0)(≤x f ，所以，03≤+-x a x ，可化为，

⎩⎨

⎧≤+-≤⎩⎨⎧≤+-≥0303x x a a

x x a x a x 或 即⎪⎩⎪

⎨⎧-≤≤⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥24a x a

x a x a x 或

因为，0>a 所以，该不等式的解集是⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

-≤2a x x ，再由题设条件得2,12

=∴-=-a a

点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。

8．（2013新课标1（理））已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.

(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;

(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,1

2

)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.

【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,

设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧

-<⎪⎪

⎪

--≤≤⎨⎪

->⎪⎪⎩

,

其图像如图所示

从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<. (Ⅱ)当x ∈[2a -,12

)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+,

∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43

,

∴a 的取值范围为(-1,4

3

].