收敛数列的性质

§2.2 收敛数列的性质

本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。

教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题

讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。

一、收敛数列的性质

1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。

证明：设b a a a n n n n ==∞

→∞

→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。

2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。 证明：设.l i m a n =∞

→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取

{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤

注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。例如数列{

}n

)1(-有界但不收敛。

当然：无界⇒发散。

3、保序性：若b b a a n n n n ==∞

→∞

→lim .

lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。

证明：取,0)(2

1

>-=

a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21

b a a n +<； （1）

ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(2

1

。 （2）

取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。

1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞

→则b a N n N n <⇒>∀∃,.

2o 、推论2：若0lim <=∞

→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N

3o 、推论3：（不等式定理）。

设}{n a 与}{n b 均收敛，若00,N n N >∀∃有n n b a ≤，则n n n n b a ∞

→∞

→≤lim lim

证明：反证法。 说明：（1）保序性及推论。1、2均为严格不等式，而不等式定理为非严格不等式。 若n n b a <是否有n n n n b a ∞

→∞

→

⎧-n 1与⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n 1.

（2）同理可证相反的不等式。 4、迫敛性（两边夹法则）

设数列}{n a 与}{n b 皆收敛于a ，数列}{n c 满足：

00,N n N N >∀∈∃有.n n n b c a ≤≤则}{n c 收敛，且a c n n =∞

→lim .

证明：{}210,,max N N N N =，εε+<≤≤<-a b c a a n n n

说明：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法。而且也给出了求数列极限的一个方法，特别地：a a n =或b b n =.

例：设0≥n a ),3,2,1( =n ，证明：若a a n n =∞

→lim ，则a a n n =∞

→lim

.

证明：由不等式定理知0≥a 。

若0=a ，则由0li m =∞

→n n a 知N n N >∀∃>∀,,0ε有2

ε

ε

ε<-0n a ，故有0lim =∞

→n n a 。

若0>a ，则有

a

a a a

a a a a a n n n n -≤

+-=

-，于是由a a n n =∞

→lim 知

εεa a a N n N n <-⇒>∀∃>∀,,0，从而有ε<-a a n 。

综合之该例获证。

例：求}{n n 的极限。

解：设)0(1>+==n n n n h h n a ，则2

2

2

)1(2

1)1(n

n n n

n h n n h C h n -=

>+=从而 120-<

2

1(lim =-+

∞→n n ，于是由迫敛性定理有1lim =∞

→n n n

例：证明（1）)10(0lim )3(),1(0lim )2(,02lim

<<=>==∞

→∞→∞→a na a a n

n n n n n n n 证明：（1）提示：1

2)11(202-=≤+=<

n C n n n n n n 。其余请同学们自己证明。 例：证明)0(0!

lim >=∞→a n a n

n 证明：.

.0N k a ∈∃∴> 使k a ≤，于是有 >+>+>

2

11k a k a

故k n >∀有n a n a k a k a a a n a n .11.2.1!0-+=<

)(01

!

1

∞→→<+n n

k a k 二、四则运算法则

若}{n a 与)(n b 分别收敛于b a 、，则)0.0(},{},{≠≠⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧±b b b a b a b a n n n n n n n 也收敛，且 （i ）.)(lim b a b a n n n ±=±∞

→

（ii ）.lim ab b a n n n =∞

→

（iii ）b a

b a n

n n =∞→lim

特别地有：b b ca a c ca c a c a n

n n n n n n n 1

1lim

,lim )(lim ,)(lim ===+=+∞→∞

→∞

→∞

→

证明（i ）.由条件知N N N ∈∃>∀21,.0ε

当1N n >时有 )(I a a n ε<- 当2N n >时有 )(II b b n ε

<-

取},m ax {21N N N =，则当N n >时)()(II I 、

同时成立，从而有 ε2)()(<-+-≤+-+b b a a b a b a n n n n

即（i ）获证

（ii ）)()(b b a b a a ab b a n n n n n -+-=-b b a a a b n n n -+-≤)(

ε)(a M +≤. （当N n >）

（iii ）

)(1

b b a a a b b b b b ab b a b a b a n n n

n n n n n -+-≤-=- ∴≠=∞

→,0lim b b n n 由保号性定理的证明取02

1

>=

b ε.33,N n N N >∀∈∃有b b b n 2

1<

-，b b bn b n +-=∴)(）（III b

b b b n 21

≥--≥

∴取},,m ax {321N N N N =，当N n >时（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）同时成立，于是有

ε)(2

2b a b

b a b a n n +≤-，故（iii ）获证