材料力学第05章(弯曲应力
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第五章 弯曲应力
§5–1 纯弯曲 §5–2 纯弯曲时的正应力 §5–3 横力弯曲时的正应力 §5–4 弯曲切应力 §5–6 提高弯曲强度的措施
§5–1 纯弯曲
内力
弯矩M
正应力
剪力FS
切应力
M
纯弯曲: FS =0 ， M≠0 横力弯曲： FS ≠0， M≠0
FS
aF A
Fa B
FS
F
+
F－
M
F ·a
y 120
M (kNm) 67.5
+
x
解： Mmax67.5kNm
W
z
b
h2 6
1201802 6
6.48105 (mm 3 )
ma
x
Mma Wz
x66.74.58110056
104.2MP
a
[例3] 支座A和B放在什么位置，梁的受力最合理。
180
q=60kN/m
A
B
a
a
3m
z
y 120
解： 考虑两种极限情况 a=0 和 a=1.5m
bh3
h
IZ 12 , ymax 2
bh2 Wz 6
实心圆：
IZ
d 4
, 64
d ymax 2
z
y
d
d 3
Wz 32
z
空心圆：I Z
D4
64
(1 4 )
,
ymax
D 2
y
d
D
Wz
D3
32
(1
4)
d
D
三、梁的正应力强度条件 F
A
B
l
max
h
塑性材料
max
s
n
ma
x
M max
求支座反力,画弯矩图。
F
A C
l/2
l/2
M (kNm) 265 +
B (2)矩形截面梁
m
a
x
Mma WZ
x
M ma bh2
x
16.M52mba3x []
6
x
b3 6Mmax 160.8(mm)
1.52[ ]
h241.2(mm)
z h
b y
z y
(3)工字形截面梁
m
a
x
Mma Wz
x
[
]
Wz
M max
My 0
Mz M
（1）
（2） （3）
z Fx
My x
Mz y
xM
Fx AdA 0
（1）
M y A(dA)z 0
（2）
M z A(dA) y M （3）
由（1）式
Fx
dA
A
A E
y
dA
E
A ydA
E
SZ
0
E
y
由于E 0， 所以必须
SZ
0
所以，z (中性)轴必须通过形心
z Fx
My x
+
x x AB段纯弯曲(Pure Bending):
平面弯曲 F1
F2 纵向对称面
§5–2 纯弯曲时的正应力 一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
m
m
变形几何规律：
a
a
b
b
n
n
1.梁的纯弯曲实验
横向线(mn、mn）变形
M
m
m
M 后仍为直线，但有转动；纵
a
a
向线变为曲线，横向线与纵
b
b
向线变形后仍正交。
xM
z x
y
§5–3 横力弯曲时的正应力 一、横力弯曲时的正应力
F
h
A
B
l
对于横力弯曲，当 l >5 时，按纯弯曲时的公式计算正应 h
力，误差不超过1%。
My
Iz
二、最大正应力：
max
Mymax Iz
记
: WZ
Iz ymax
Wz称为抗弯截面系数
max
M Wz
M σmax
抗弯截面系数： 矩形： z y b
qa2 2
MC
q2l(2l a)
ql2 8
ql2 8
qla 2
∴
ql2 qal qa2 82 2
4a2 4lal2 0
l l 2 l 2 a
舍去负值
2
a1( 21)l 0.207l 2
q=60kN/m
MA MB 11.56(kNm)
A CB
a
a
l=3m
MC 11.56(kNm) 最大弯矩下降了：
67.511.560.82 82%
[ ]
1558.8(cm3 )
查表，选择No.45c工字钢 Wz 1570cm3 (4)比较耗材
A矩 160.8241.2 3.23
A工
12000
工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一。
z
z
h
b y
y
180
[例2] 受均布载荷作用的简支梁如图所示， 试求：梁内的最大正应力；
q=60kN/m
A
B
3m
z
67.5
梁内最大正应力同样下降了82%。
M
11.56(kNm)
+
－
－
1 1.5 6
1 1.5 6
[例4] 铸铁梁，受力如图，铸铁的[t]=20MPa，[c]=60
MPa，试根据危险截面k-k的强度，确定最大载荷P。
F
180
k
z1
10
yc
770 k
C
285 z
解：(1)求形心位置和惯性矩
yc 112.3(mm) Iz 6220104 (mm 4)
n
n
2 . 平 面 假 设 ： 横截面变形后仍为平面。
m
m
a
a
b
b
n
n
设想梁由无数根平行于轴 线的纵向纤维组成，变形 后，上部纤维缩短，下部 纤维伸长。
M
m
m
M 有一层纤维变形后不伸长
a
a
也不缩短。
b
b
n
n
3.两个概念
中性层：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维 称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
q=60kN/m A
M (kNm)
l=3m 67.5
+
q=60kN/m
B
A
B
a
a
l=3m
M
+
－
－
x
q=60kN/m
A
B
l=3m
M
－
q=60kN/m
A
B
a
a
l=3m
M
+
－
－
q=60kN/m
A CB
a
a
l=3m
ql2 qla
M
82
+
－
－
qa2
qa2
2
2
当 MC M A 时，梁受力最合理：
M
A
M
B
10
10
Wz
脆性材料
t m
ax
t
t b
n
c m
ax
c
ຫໍສະໝຸດ Baidu
c b
n
[例1]
图示起重机大梁，Q235钢，[]=170MPa，小车和重物
重量F=265kN，l=4m， 求：1）设计h/b=1.5的矩形截面梁；
2）选择工字钢型号： 3）比较这两种截面梁的耗材。
F A
B
z
z
h
l
b y
y
解：(1)当小车在跨中时梁最危险。
Mz y
z
x
dA
y dA
zy
由（2）式
M y A(dA)z
Eyz
A dA
E
A
yzdA
EI yz
0
（平面弯曲，Iyz=0）
由（3）式
E
y
Mz A(dA) y
Ey2
A dA
E
A
y
2dA
EI
z
M
1 Mz
EI z
（5-1）
EIz 梁的抗弯刚度。
My
Iz
（5-2）
z
x
dA
y dA
y
My
Iz
（5-2）
y
（1）
8
中性层 y
中性轴 z
x
y
（二）物理关系：
假设：纵向纤维无挤压。
当 P时， E
P
E
y
(2)
式中：E和ρ为常数，所以横截面 上正应力与 y 成正比。
x
--曲线
z x
y
（三）静力关系：
横截面上的正应力组成一个 空间平行力系，可以简化后 得到三个内力分量：
Fx 0
Fy 0 Fz 0 Mx 0
中性层
中性轴
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
l
dx
M
m´ d m´
a´
b´
2020/6/11
n´
a
´b´ y
n´
M
( y)d d d
y
§5–1 纯弯曲 §5–2 纯弯曲时的正应力 §5–3 横力弯曲时的正应力 §5–4 弯曲切应力 §5–6 提高弯曲强度的措施
§5–1 纯弯曲
内力
弯矩M
正应力
剪力FS
切应力
M
纯弯曲: FS =0 ， M≠0 横力弯曲： FS ≠0， M≠0
FS
aF A
Fa B
FS
F
+
F－
M
F ·a
y 120
M (kNm) 67.5
+
x
解： Mmax67.5kNm
W
z
b
h2 6
1201802 6
6.48105 (mm 3 )
ma
x
Mma Wz
x66.74.58110056
104.2MP
a
[例3] 支座A和B放在什么位置，梁的受力最合理。
180
q=60kN/m
A
B
a
a
3m
z
y 120
解： 考虑两种极限情况 a=0 和 a=1.5m
bh3
h
IZ 12 , ymax 2
bh2 Wz 6
实心圆：
IZ
d 4
, 64
d ymax 2
z
y
d
d 3
Wz 32
z
空心圆：I Z
D4
64
(1 4 )
,
ymax
D 2
y
d
D
Wz
D3
32
(1
4)
d
D
三、梁的正应力强度条件 F
A
B
l
max
h
塑性材料
max
s
n
ma
x
M max
求支座反力,画弯矩图。
F
A C
l/2
l/2
M (kNm) 265 +
B (2)矩形截面梁
m
a
x
Mma WZ
x
M ma bh2
x
16.M52mba3x []
6
x
b3 6Mmax 160.8(mm)
1.52[ ]
h241.2(mm)
z h
b y
z y
(3)工字形截面梁
m
a
x
Mma Wz
x
[
]
Wz
M max
My 0
Mz M
（1）
（2） （3）
z Fx
My x
Mz y
xM
Fx AdA 0
（1）
M y A(dA)z 0
（2）
M z A(dA) y M （3）
由（1）式
Fx
dA
A
A E
y
dA
E
A ydA
E
SZ
0
E
y
由于E 0， 所以必须
SZ
0
所以，z (中性)轴必须通过形心
z Fx
My x
+
x x AB段纯弯曲(Pure Bending):
平面弯曲 F1
F2 纵向对称面
§5–2 纯弯曲时的正应力 一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
m
m
变形几何规律：
a
a
b
b
n
n
1.梁的纯弯曲实验
横向线(mn、mn）变形
M
m
m
M 后仍为直线，但有转动；纵
a
a
向线变为曲线，横向线与纵
b
b
向线变形后仍正交。
xM
z x
y
§5–3 横力弯曲时的正应力 一、横力弯曲时的正应力
F
h
A
B
l
对于横力弯曲，当 l >5 时，按纯弯曲时的公式计算正应 h
力，误差不超过1%。
My
Iz
二、最大正应力：
max
Mymax Iz
记
: WZ
Iz ymax
Wz称为抗弯截面系数
max
M Wz
M σmax
抗弯截面系数： 矩形： z y b
qa2 2
MC
q2l(2l a)
ql2 8
ql2 8
qla 2
∴
ql2 qal qa2 82 2
4a2 4lal2 0
l l 2 l 2 a
舍去负值
2
a1( 21)l 0.207l 2
q=60kN/m
MA MB 11.56(kNm)
A CB
a
a
l=3m
MC 11.56(kNm) 最大弯矩下降了：
67.511.560.82 82%
[ ]
1558.8(cm3 )
查表，选择No.45c工字钢 Wz 1570cm3 (4)比较耗材
A矩 160.8241.2 3.23
A工
12000
工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一。
z
z
h
b y
y
180
[例2] 受均布载荷作用的简支梁如图所示， 试求：梁内的最大正应力；
q=60kN/m
A
B
3m
z
67.5
梁内最大正应力同样下降了82%。
M
11.56(kNm)
+
－
－
1 1.5 6
1 1.5 6
[例4] 铸铁梁，受力如图，铸铁的[t]=20MPa，[c]=60
MPa，试根据危险截面k-k的强度，确定最大载荷P。
F
180
k
z1
10
yc
770 k
C
285 z
解：(1)求形心位置和惯性矩
yc 112.3(mm) Iz 6220104 (mm 4)
n
n
2 . 平 面 假 设 ： 横截面变形后仍为平面。
m
m
a
a
b
b
n
n
设想梁由无数根平行于轴 线的纵向纤维组成，变形 后，上部纤维缩短，下部 纤维伸长。
M
m
m
M 有一层纤维变形后不伸长
a
a
也不缩短。
b
b
n
n
3.两个概念
中性层：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维 称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
q=60kN/m A
M (kNm)
l=3m 67.5
+
q=60kN/m
B
A
B
a
a
l=3m
M
+
－
－
x
q=60kN/m
A
B
l=3m
M
－
q=60kN/m
A
B
a
a
l=3m
M
+
－
－
q=60kN/m
A CB
a
a
l=3m
ql2 qla
M
82
+
－
－
qa2
qa2
2
2
当 MC M A 时，梁受力最合理：
M
A
M
B
10
10
Wz
脆性材料
t m
ax
t
t b
n
c m
ax
c
ຫໍສະໝຸດ Baidu
c b
n
[例1]
图示起重机大梁，Q235钢，[]=170MPa，小车和重物
重量F=265kN，l=4m， 求：1）设计h/b=1.5的矩形截面梁；
2）选择工字钢型号： 3）比较这两种截面梁的耗材。
F A
B
z
z
h
l
b y
y
解：(1)当小车在跨中时梁最危险。
Mz y
z
x
dA
y dA
zy
由（2）式
M y A(dA)z
Eyz
A dA
E
A
yzdA
EI yz
0
（平面弯曲，Iyz=0）
由（3）式
E
y
Mz A(dA) y
Ey2
A dA
E
A
y
2dA
EI
z
M
1 Mz
EI z
（5-1）
EIz 梁的抗弯刚度。
My
Iz
（5-2）
z
x
dA
y dA
y
My
Iz
（5-2）
y
（1）
8
中性层 y
中性轴 z
x
y
（二）物理关系：
假设：纵向纤维无挤压。
当 P时， E
P
E
y
(2)
式中：E和ρ为常数，所以横截面 上正应力与 y 成正比。
x
--曲线
z x
y
（三）静力关系：
横截面上的正应力组成一个 空间平行力系，可以简化后 得到三个内力分量：
Fx 0
Fy 0 Fz 0 Mx 0
中性层
中性轴
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
l
dx
M
m´ d m´
a´
b´
2020/6/11
n´
a
´b´ y
n´
M
( y)d d d
y