数学建模实用教程-第2章 连续模型

已知某产品日需求量为100件，相应的生产准 备费为5000元，存储费用为每日每件为1元．
试为该工厂安排该产品的生产计划，即多少天 生产一次（生产周期），每次的生产量是多少， 使总费用最小？
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2.1.1 不允许缺货的存储模型
２. 问题的分析与假设
（1）该产品每天的产量记为常数 r ； （2）每次生产准备费用为 c1 , 每天每件产品存储费 用为 c2 ；
c1b2
2( x
)
c2bx
x
c3x ．
问题归结为求需要派出的消防队员的数量 x 使得
C(x) 有最小值．令 dC 0 ， dx
则得到最优的派出消防队员的数量为
x
c1b２ 2c2b
2c3 2
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2.1.2 森林救火模型
4、模型的结果分析与推广
烧毁森林的损失费用通常与火灾烧毁森林的面 积成正比，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭 火的时间有关。
灭火时间取决于消防队员数量，消防队员越多 灭火越快，即时间越短。
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2.1.2 森林救火模型
记失火时刻为 t 0 ，消防队员开始救火时刻为 t t1 ，火灾被熄灭的时刻为 t t2 ．设 t 时刻烧毁森
t1
b
x
．
因此：
B(t2 )
1 2
bt1
b2
2( x
)
根据假设（1）和（4）得，森林烧毁
的 损失 费为 c1B(t2 ) ， 救 火费 用为 c2x(t2 t1) c3x ，
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2.1.2 森林救火模型
据此计算得到救火总费用为
C(x)
1 2 c1bt1
在上式中包含两项，后一项是能够将火灾扑灭的最少要 派出的消防队员人数；
前一项是与相关参数有关的量，它的含义是从最优化的 角度：
当救火队员的灭火速度 和救火费用 c3 增大时，派出的
队员数应该减少；
当火势蔓延速度为 、开始救火时的火势为 b ，以及单
位损失费用 c1 增加时，派出的救火队员人数也应该增加．
c1 T
c2
rT 2
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2.1.1 不允许缺货的存储模型
模型求解：
求T满足
min
C(T )
c1 T
c2
rT 2
用微分法
C(T )
c1 T2
c2
r 2
0
T 2c1 c2r
Q rT 2c1r c2
每天平均最小费用 C 2c1c2r
著名的 经济订货批量公式（EOQ公式）。
这些结果都是与实际情况相符的．
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2.1.2 森林救火模型
在实际中应用这个模型时，c1 ，c2 ，c3 都
应是已知常数， 和 是由森林的类型和消防
队员的素质等因素决定,根据平常积累的数据 和经验确定．
由发现火情到开始救火的时间 t1 ，则要根
据报警和运输情况估计给出．
总费用与变量的关系 总费用=生产准备费+存储费 存储费=存储单价*存储量 存储量=？
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2.1.1 不允许缺货的存储模型
存储量的计算
设 t 时刻的存贮量为 q(t) ，t = 0时生产 Q 件，存贮量
q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T) = 0， 如图。q(t) = Q- r t， Q = r T 。
说明： 通常火势会以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆 形蔓延，蔓延的半径与时间成正比．因为烧毁森林的面积与过 火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比．
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2.1.2 森林救火模型
（3）派出消防队员 x 名，开始救火以后，火势
蔓延速度降为 x ，其中 称为每个队员的平均
(3) 在这里用r 和h 分别表示易拉罐的截面半 径和高度．
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2.1.3易拉罐的优化设计模型
3.模型的建立与求解
模型1：不考虑材料厚度的简化模型
在这里表面积用 S 表示，罐体的容积用 V 表示，则有
S(r, h) 2 rh r2 r2 2 (r2 rh)
（3）T 天生产一次（即为生产周期）, 每次生产 Q 件， 当存储量为零时，立即安排生产 Q 件产品来保证需
求．这里不考虑生产时间，因为生产时间是一个生 产效率问题； （4）为了方便起见，时间和产量都视为连续变量．
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2.1.1 不允许缺货的存储模型 3.模型的建立与求解
时线性增加，在 t1 t t2 时，线性减小，具体绘出
其图形如图所示
记 t t1 时，B '(t) b ．烧毁森
林面积为
B(t2 )
t2 B '(t)dt ．
0
正好是图中三角形的面积。
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2.1.2 森林救火模型
显然有
B(t2 )
1 2
bt2 ，而且 t2
q
Q
r A
t
o
T
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2.1.1 不允许缺货的存储模型
T
QT
一个Baidu Nhomakorabea期内存贮量 q(t)dt
0
2
一个周期内存贮费
c2
T
q(t)dt
0
(A的面积)
一个周期的总费用
C
c1 c2
T 0
q(t)dt
c1
c2
QT 2
c1 c2
rT 2 2
每天平均费用
C(T ) C T
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2.1.2 森林救火模型
模型假设：
（1）损失费与森林烧毁面积 B(t2 ) 成正比，比
例系数为 c1 ，即烧毁单位面积森林的损失费，取决
于森林的疏密程度和珍贵程度．
（2）对于 0 t t1 ，火势蔓延程度 B '(t) 与时
间 t 成正比，比例系数 称为火势蔓延速度．
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2.2.1 舰艇的快速会合模型
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2.1.2 森林救火模型
开始救火后，即 t1 t t2 ，如果消防队员救火 能力充分强，火势会逐渐减小，即 B '(t) 逐渐减小， 且当 t t2 时， B '(t) 0 。
救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消 耗，灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数 及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设 备等的一次性支出，只与队员人数有关。
2.1.3易拉罐的优化设计模型
hV
3
2
V
2
2 3
V
2
2 r
d
即说明当易拉罐的高度是底面直径的α倍时， 易拉罐所用材料的体积为最小．
事实上，通过测量易拉罐的顶盖和底盖的厚 度通常要比侧面的材料厚度多2倍以上，因此， 这个结果是与实际相符的．
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2、解析几何模型
舰艇的快速会合模型 飞越北极的数学模型
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2.2.1 舰艇的快速会合模型
1. 问题的提出
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的 飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它 尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速 与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母 汇合。
第2章 连续模型
微积分模型； 解析几何模型； 微分方程模型。
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1、微积分模型
不允许缺货的存储模型 森林救火模型 易拉罐的优化设计模型
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2.1.1 不允许缺货的存储模型
1. 问题的提出
已知某工厂装配线能够生产若干种不同的产品， 每轮换一次产品，生产线都需要更换一些必要的设 备，为此，要付出一定量的生产准备费用．
r 0,h0
s.t. r 2h V 0．
由约束条件 r2h V 0 ，解得 h V / r2
SV (r) b(2r b) V 2 (r b)2 r2
SV (r) 2 b(r b)(2 V ) 0, r3
r3 V
2
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2020年5月14日 27
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2.1.3易拉罐的优化设计模型
２. 问题的分析与假设
(1）研究易拉罐在内部容积一定的条件下，则 问题为求使表面面积最小的优化问题．在这里， 不考虑所用具体材料，也不考虑易拉罐的制造工 艺影响．
(2）假设易拉罐的形状为严格的几何形状，且 材料厚度远小于它的高度和半径．
派出的消防队员越多，火灾所造成的森林损失就 越小，但是消防队员救火所付出的代价(开支)就会 增加。
需要综合考虑森林损失和消防队员的救火开支之 间的平衡关系，以总费用为最小来确定派出消防队 员的数量。
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2.1.2 森林救火模型
２. 问题的分析与假设
总费用包括两方面：火灾烧毁森林的损失费用， 派出消防队员救火的开支费用。
且由V r2h 得 h V / r2 ．于是，我们
可以建立使表面积最小的数学模型为
min S(r, h) ，
r 0,h0
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2.1.3易拉罐的优化设计模型
h V /r2
S(r) 2 (r2
求其驻点，令
r
V
r
2
)
2
(r
2
V
r
)
．
S
'(r)
2
r2
救火速度．显然 x / ，否则无法灭火．
（4）每个消防队员单位时间的费用为 c2 ，于是 每个队员的救火费用为 c2 (t2 t1) ，每个队员的一次 性开支为 c3
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2.1.2 森林救火模型 3.模型的建立与求解
根据假设（2）和（3），火势蔓延程度在 0 t t1
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2.2.1 舰艇的快速会合模型
２. 问题的分析与假设
（1）假设快艇的最大航速 v0 大于航母编
队的最大航速； （2）设在快艇与航母编队寻求会合的过程
中，航母编队的航速为 v1 ，快艇的航速为 v2 ．根
据题意，要快艇在最短的时间内与航母编队会
合，不妨假设 v2 v1 ；
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2.1.1 不允许缺货的存储模型
在本例中
当 c1 5000 , c2 1, r 100, 得 T 10，C 1000
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2.1.2 森林救火模型
1. 问题的提出
森林失火了！
消防站在接到报警后派出多少消防队员赶去灭火 呢？
个易拉罐所用材料的体积用 SV 表示．
罐体所用材料的总体积为
SV (r, h) b(2r b)h 2 (r b)2b ．
而易拉罐的内部容积为V r2h ，即有 r2h V 0 ．
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2.1.3易拉罐的优化设计模型
于是，可有问题的数学模型为 min SV (r, h)，
当某种产品的产量大于实际的销售量(需求)时， 工厂就将多生产出的产品就地存储起来，为此要付 出存储费用．
如果该工厂的生产能力是比较大的，即实际中对 于所需要的产品数量可在较短的时间内生产出来， 满足市场的需求．
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2.1.1 不允许缺货的存储模型
1. 问题的提出
林的面积为 B(t) ，则造成损失的森林面积为 B(t2 ) ，
即被烧毁的森林面积。
研究 B '(t) 比 B(t) 更直接和方便。
B '(t) 是单位时间烧毁森林的面积，在消防队员
到达之前，即 0 t t1 ，火势越来越大，即 B '(t) 随
着 t 的增加而增加。
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(2r3
V
)
0
，
解得 r0 3
V
2
，于是有
V
h r02
V
3
4 2
V2
3
8V
2
2r0 d0 ．
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2.1.3易拉罐的优化设计模型
模型2：考虑材料厚度的模型
假设易拉罐侧面的材料厚度为 b ，而顶盖和底盖
的材料厚度相同，记为b ， 为一个确定常数．整
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2.1.3易拉罐的优化设计模型
1. 问题的提出
为什么易拉罐都是那个样子？
（1）如果把易拉罐近似看成一个直圆柱体，在要 求易拉罐体内的容积一定时，则问题是能使易拉罐制 作所用的材料最省的圆柱体截面直径和高度的比例如 何？
（2）如果把易拉罐的上面部分看成是一个小正 圆台，下面是一个正圆柱体，则结果又该如何？