第四节 系统信号流图及梅逊公式

例3-24：画出信号流图，并利用梅逊公式求取 它的传递函数C(s) / R(s)。
R(s) +
A1
-
+B
1 C+
D
1
E1
C(s)
_ R1
C1s
_ R2
C2s
信号流图：
1
1
1
1
1
R(s) 1 A R1
C1s C 1 D R2
C2s
1
C(s)
B
E
1
1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信号要用一 个传输为1的支路把C、D的信号分开。
回路有三，分别为： G1H1,G3H2 ,G1G2G3H1H2
有两个不接触回路，所以：
1 La LbLc 1 G1H1 G3H2 G1G2G3H1H2 G1G3H1H2
1 1, 2 1 G1H1
P

1
2 k 1
Pk k

G1G2G3 1 G1H1 G3H 2
前向通路只有一条，即
1 P1 R1R 2C1C2s2
1 1
所以
C(s) G P1Δ1
1
R(s)
Δ R1R 2C1C2s2 R1C1s R1C2s+R 2C2s 1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3-25：
R(s) +
E(s) _
G1(s)
+
_
B(s)
C(s) G2 (s)
+ C(s)
G(s)
4
_
H(s)
R1 ( s )
+ G11( s)
C1(s) +
5
G21(s)
R2 ( s)
G12 ( s) G22 ( s)
+ + C2 (s)
第三章 系统数学模型
信号流程图
R(s)
G(s) C(s)
R(s) 1 E(s)
G(s) C(s)
H (s)
N(s)
1
R(s) 1 E (s) G1(s)

1 Δ
n k 1
Pk Δ k

— 特征式 1 La LbLc Ld LeL f
n
— 前向通路的条数
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Pk
La
LbLc
— 第k条前向通路的总增益 — 所有不同回路的回路增益之和 — 两两互不接触回路的回路增益乘积之和
Ld LeLf — 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和
益为a，则传输也为a。
前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个节点只通
过一次的通路称为前向通路。如：x1→x2→x3→x4 。
x5
x1
a
x2
b
d
e
f
c
x4
x3
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
前向通路总增益：前向通路上各支路增益的乘积
如：x1→x2→x3→x4总增益abc。 回 路：通路的起点就是通路的终点，并且与其它节点相交不
多于一次的闭合通路叫回路。
回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。图中有两 个回
路，一个是x2→x3→x2，其回路增益为be， 另一个 回 是x2→x2，又叫自回路，其增益为d。 不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。图中无。
x5
x1
a
x2
b
d
e
f
c
x4
x3
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
信号流图与结构图的对应关系
x4 x5
L3 a44
互不接触 L25 a23a35a52a44
第三章 系统数学模型
a42
a44
a12 x2
a23
a34
a32 x3
x4 a35
a45 x5
a52
L4 a23a34a45a52
(g) x2
x3
x5 L5 a23a35a52
P
a12a a23 34a45 (1 a44 )a12a23a35
3、混合节点可以通过增加一个增益为1的支路 变成为输出节点,且两节点的变量相同。
信流图运算法则：
机械工程控制基础
(a)
x1 a x2
a
(b)
x1
x2
b
(c) x1 a x2
b x3
x1 a x2
b
x3
(d )
c
x1
a
(e)
x3 c x4
b x2
第三章 系统数学模型
x1 a b x2
x1 ab x2 x1 ab x3
G2(s) C (s)
H (s)
R(s) 1 E(s)
G(s)
H (s)
N(s) 1
1 C(s) C(s)
R1 ( s )
G11(s) C1(s)
G12 ( s ) R2 ( s)
G22 (s)
G21(s) C2 (s)
机械工程控制基础
四、梅逊 (Mason)公式 :
第三章 系统数学模型
G(s)
ab x1 1 bc x3
bc
x1
ac
x4
x2
bc
机械工程控制基础
三、 控制 系统 的信 号流 程图
序号 1
方块图
R(s)
G(s)
C (s)
R(s) +
E(s) G(s)
C(s)
2
_
H(s)
N(s)
R(s) + E(s)
+
+
C(s)
3
_
G1(s)
G2(s)
H(s)
N(s)
R(s) +
E(s)
+
G3G4 G1G3G4 H1 G1G2G3H1H 2 G1G3H1H 2
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
1 (a23a32 a23a34a42 a44 a23a34a52 a23a35a52 ) a23a32a44 a23a35a52a44
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
习题3－17：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 C(s) , E(s) R(s) R(s)
ui ue I1 I
u
I2
uo
上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。为什么？
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
习题3－16： 求如图所示信号流图的总增益 X 5 (s) ?
a42
a44
X1(s)
(a) x1
a12 x2
a23 a32 x3
a34 x4
a35
a45 x5
(b)
x1
a52
解：画出信号流图
R(s) 1
G1(s)
1
1
1
G2 (s)
1 C(s)
1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即 ：
L1 G1(s) L2 G2 (s)
1 (L1 L2 ) 1 G1(s) G2 (s)
1
1
1
1
1
1
R1
1
a C1s 1 b R2
C2s
ui ue
I1
I
u
I2
uo
1
图中，有一个前向通道；
1
P1

1 R1C1 R2C2 s 2
有三个回路；
La

1 R1C1s

1 R2C2 s

1 R2C1s
有两个互不接触回路；
Lb Lc

1 R1C1s

1 R2C2 s

1 R1R2C1C2 s 2
P2
x2
x3
x4
P1 a12a23a34a45 x5
1 1
(c)
x1
x2
x3
x5
PP21 a12a23a35
2 1 a44
机械工程控制基础
(d) x2
x3
L1 a23a32
(e) x2
x4
L2 a23a34a42
(f) x2
互不接触 L12 a23a32a44
(a) x1
②在比较点之后的引出点
只需在比较点后设置一个节 点便可。也即可以与它前面
的比较点共用一个节点。
③在比较点之前的引出点B，需设 置两个节点，分别表示引出点和
比较点，注意图中的 e1 e2
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
习题3－15：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式 计算总传递函数。
x5
fx5 x5
x1 a x 2
b
d
e
f
c
x4
x3
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
一、几个定义
输入节点（或源节点）：只有输出支路的节点,如x1、x5。 输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。 混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点,如：x2、x3。 传 输：两个节点之间的增益叫传输。如：x1→x2之间的增
信号流图
源节点 阱节点 混合节点 支路 支路增益 前向通路 回路 互不接触回路
结构图
输入信号 输出信号 比较点，引出点 环节 环节传递函数
机械工程控制基础
二、信流图的性质及运算法则
第三章 系统数学模型
1、每一个节点表示一个变量，并可以把所有 输入支路信号迭加再传送到每一个输出支 路。
2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数 关系。支路上的箭头方向表示信号的流向。
k
— 第k条前向通路的余子式(把与第k条前向通路接触的回 路去除，剩余回路构成的子特征式
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3-23 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s）
R(s)
+
G1
G2
-
G7
G6
G3
++
G4
-
H1
G5 + + C(s)
H2
解：画出该系统的信号流程图
R(s) G1
G6
G2
G3
R(S) b R1
k
m
d
V1
l
g V3 e
V2
h
C(S)
f
f
m
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
V1 d Ⅴ e
g
h
Ⅳ
C V2 1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
习题3－14： 画出如所示系统方块图的信号流程图。
G2
A2
R
G1
G3
A1
B
G4 H
系统方块图
R1
G2
G1
1
e
e1
-H
G3 e2
G4
C 解：①用小圆圈表示各变 量对应的节点
C(s) 1 R(s) G Δ (p1Δ1 p2Δ2 p3Δ3)

G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4H1)
1 G4H1 G2G7H2 G6G4G5H2 G2G3G4G5H2 G4H1G2G7H2
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
互不征接式触的回路有一个L1 L2。所以，特
Δ=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2
该系统的前向通道有三个：
P1= G1G2G3G4G5 P2= G1G6G4G5 P3= G1G2G7
Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
I (s) C1s
-
1
1 uo (s)
R2 I2 (s) C2s
[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：
1
1
1
1
1
1
R1
1
a C1s 1 b R2
C2s
ui ue I1 I
u
I2
uo
1
1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
G4
R
E
-
G1
G2
+
-
G3
C
+
H1
H2
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
G4
R
E G1 G2
H1
G3 H2
C
H1H2
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
G4
C(s) R
求
：
R(s)
E G1
G2
H1
H1H2
G3 H2
C
前向通道有二，分别为: P1 G1G2G3, P2 G3G4
前向通路只有一条，即
所以
P1 G1(s)G2 (s)
1 1
C(s) G P1Δ1 G1(s)G2 (s)
R(s)
Δ 1 G1(s) G2 (s)
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3－26： 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上 图所示。然后画出信号流图如下图所示。
题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即 ：
L1

1 R 1C1s
L2

1 R 2C2s
L3

1 R 2C1s
L1L 2

1 R 1C1s R 2 C 2 s
1 (L1 L2 L3) L1L2
1 1 1 1
1
R1C1s R2C2s R 2C1s R1C1R 2C2s2
G7
G4
G5
H1
H2
1 C(s)
机械工程控制基础
G

1 Δ
N
Σ
k 1
p
k
Δ
k
R(s) G1
该系统中有四个独立的回路：
L1 = -G4H1 L3 = -G6G4G5H2
L2 = -G2G7H2 L4 = -G2G3G4G5H2
第三章 系统数学模型
G6
G2
G3
G7
G4
G5
H1
H2
1 C(s)
1
1
1
1
1
1
R1
1
C1s a 1 b R2
C2s
ui ue I1 I
u
I2
uo
1
1
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两
点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，
总传输将不一样。
不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
1
1
1
1
1
R1
1
a C1s 1 b R2
C2s

1
1 R1C1s

1 R2C2 s

1 R2C1s

1 R1R2C1C2 s 2
i 1 （因为三个回路都与前向通道接触。）
总传输为：P

1
1 k 1
Pk k

R1 R2C1C2 s 2
1 (R1C1
R2C2
R1C2 )s 1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
第四节 系统信号流图及梅逊公式
主讲人 ：王 辉
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
信号流图是线性代数方程组结构的一种图形表达。
设一组线性方程式如下：
x1 x1

x2 x3

ax1

dx2 bx2

ex3

x4

cx3
信号流图的表示形式 x5