偏微分方程课件

2
2a xat
2020/4/20
26
为了得到半无界问题的解，只须限制 x 0
当 x 0, x at 0 时，
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
当 x 0, x at 0 时，
u(x,t) (x at) (at x) 1
xat
()d
a2
2u x 2
0
u
(x),u
(x)
xat 0
xat 0
(0) (0)
u(x,t) F(x at) G(x at)
(x) F(0) G(2x) (x) F(2x) G(0)
G(x) ( x) F(0)
2
F (x) ( x ) G(0)
2
u(x,t) ( x at ) ( x at ) F(0) G(0)
x2 2 2
u t
a
u
u
2u t 2
a2
2u
2
2
2u
2u
2
2020/4/20
2u 0
5
2u 0
利用初值条件确定函数 F，G
u F * ( )
u( ,) F *( )d G()
F ( ) G()
u(x,t) F(x at) G(x at)
u(x,0) (x) F(x) G(x) (x)
0
1 a2
sin
x[1
cosat]
2020/4/20
u(x,t) cosat cosx xt 1 sin x[1 cosat] a2
24
3. 半无界弦的自由振动
2u
t
2
u( x, t )
a2
2u x2 , t
(x),
0, 0 x u (x,t)
(x)
t 0
t
t 0
u(0,t) g(t)
t
0 t
t w (x, t; )d 0 t
u (x,0) 0 t
2u
t 2
( x, t )
w t
( x, t; t )
t 0
2w t 2
( x,
t;
)d
f (x, t) a2
t 0
2w x 2
(
x,
t;
)d
f (x, t) a2
2u x 2
(
x,
t)
2020/4/20
22
定解问题（I）的解
,
(x)
（III）
2u u(tx2 ,
t)
a2
t 0
2u
x 2 0
f
( x, t ),
u
(
x,
t)
(x)
u (x, t) 0
t
t 0
t
t 0
2020/4/20
17
叠加原理
定解问题（I）的解 uI (x, t) 是定解问题（II）的解 uII (x, t) 与定解问题（III）的解uIII (x, t) 之和。
sin
x
u t0 cos x, ut t0 x
由例2，uII (x,t) cos at cos x xt
uIII (x, t)
1
t xa(t )
sin dd
2a 0 xa(t )
1 2a
t
0
c
os
(x
a(t
))
c os (x
a(t
))d
1
a
t
sin x sin a(t )d
2020/4/20
x
x at 依赖 x at
区间
15
定义 区间 [x1, x2 ]
过
x1
作斜率为
1 a
的直线 x x1 at
过
x2
作斜率为 1 的直线 a
x x2 at
则 它们与区间 [x1, x2 ]
t
x x1 at
一起围成的三角形区域
中的任意一点 ( x, t ) 的
依赖区间都落在区间 [x1, x2 ]
x
()d
C
2
2a x0
2a
G(x) 1 (x) 1
x
( )d
C
2
2a x0
2a
达朗贝尔公式
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
2020/4/20
7
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
1 [(x at) (x at)] 1 [(x at) (x at)]
xt
(3 )d
2 xt
2x2 2t2 3xt
当 x 0, x t 0
u(x,t) (x t)2 (t x)2 1
xt
(3 )d
2 tx
7xt
2020/4/20
28
4. 半无界弦的强迫振动
2u
t
2
u( x, t )
a2
2u x 2
0,
f (x,t), u (x,t)
称为解在（x，t）的值的依赖区间。
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
从达朗贝尔公式中可以看出，u(x, t) 仅仅依赖于
[x at, x at] 中的初始条件。
t
( x, t )
它是过（x，t）点，斜率分别为
1 a
的直线与 x 轴所截而得到
的区间（如右图）。
x2 h(x) p(0)
y0
x1
cos y 1 y2 h(1) p( y)
x2
cos
y
1
y2
h(x)
6 p(0)
h(1)
p(
y)
h(x)
p(
y)
6
x2
cos
y
1
y2
1
6
2020/4/20
u(x, y) 1 x3 y2 x2 cos y 1 y2 1
6
6
10
例3：
2u t 2
无界弦的自由振动 无界弦的强迫振动 半无界弦的自由振动 半无界弦的强迫振动
有限弦的振动问题
三维波动方程的定解问题 球面平均法
球对称情形 一般情形
二维波动方程的定解问题
2020/4/20
降维法
3
1. 无界弦的自由振动
特征方程为
2u u(tx2 ,
t)
a2
t 0
2u x 2
,
t
(x)
0,
x
R
偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
行波法
波动方程
波动方程的初值问题（一维）
（I）
2u u(tx2 ,
t)
a2
t 0
2u x 2
f
(x)
( x, t ),
t 0, x R
u
( x, t )
(x)
t
t 0
2020/4/20
2
一维波动方程的定解问题 行波法
2w
t
2
w( x,
a2
t; )
2w x2 ,
t
0, w
0, x R
(x,t; )
f (x, )
t0
t
t0
利用达朗贝尔公式可得
w(x,t; ) 1
xat
f (, )d
于是有
2a xat
u(x,t) 1
t xa(t )
f ( , )dd
2a 0 xa(t )
( x, t )
x a( t)
x1
内，因此该三角区域称为
决定区域。
2020/4/20
x x2 at
x x2
16
2. 无界弦的强迫振动
（I）
2u u(tx2 ,
t)
a2
t 0
2u x 2
f
(x)
( x, t ),
t 0, x R
u (x, t) (x)
t
t 0
2u （II）u(tx2 ,
t)
a2
t 0
2u x 2
uI (x,t) uII (x,t) uIII (x,t)
(x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
1
t xa(t )
f ( , )dd
2a 0 xa(t )
一维非齐次波动方程的 Kirchhoff 公式。
2020/4/20
23
例5：
2u
t
2
a2
2u x2
t 0, 0 x 0
t 0
t
t 0
u(0,t) 0
作奇延拓
U
( x, t )
u(x,t) u(x,t)
(x 0) (x 0)
f (x,t) (x 0) F(x,t) f (x,t) (x 0)
2U Ut( 2x,
t)
a2
t 0
2U
x 2 0,
F (x,t),
U (x, t) 0
2
2a atx
当在 x = 0处有一个自由端，即 ux (0,t) 0
则需要作偶延拓。
2020/4/20
27
例
2u t 2
2u x 2
,
x 0, t 0
u t0
2x2 , ut
t 0
3x
u x0 0
当 x 0, x t 0
u(x,t) (x t)2 (x t)2 1
t
x0 at
x
右传播波
O x0
x
2020/4/20 u~(x, t) G(x at)
左传播波
12
at
u~ F(x)
O x0
u~ F(x at)
x0 at
x
at
u~ G(x at)
u~ G(x)
O x0 at
x0
2020/4/20
x
13
影响区域、依赖区域、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
t
t 0
2020/4/20
29
U (x,t) 1
t xa(t )
F( , )dd
2a 0 xa(t )
考虑 x 0. x a(t ) 0
t x
a
u(x, t) 1
t
t
t
t
的解， 则 u(x, t) w(x, t; )d 正是 0
（III）
2u
t
2
u(x, t)
a2
2u x 2
0,
f (x, t), u (x, t)
t 0, x R 0
t 0
t
t 0
的解。
2020/4/20
19
下面来求出（III）的解的表达式
令 t t , （IV）化为
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [x1, x2 ]
上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
t
x1 at x x2 at
定义：
x x1 at
影响区域
上式所定义的区域称为区间
[x1, x2 ] 的影响区域。
x1
x2
x x2 at
x
2020/4/20
14
定义 区间 [x at, x at]
我们先考虑 g(t) 0 情形，即一端 x = 0 固定的振动。
希望能利用达朗贝尔公式来求解
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
2020/4/20
25
为此，我们要作奇延拓
（有时也作偶延拓）
u(x,t) (x 0) U (x,t) u(x,t) (x 0)
1 f ( , )dd
2020/4/20
2a G
G
20
齐次化原理的证明
需要用到参变量积分的求导
u
(u) a f (x,u)dx
d
du
u
a fu(x,u)dx f (u,u)
2020/4/20
21
t
u(x, t) 0 w(x, t; )d
u(x,0) 0
u (x, t) w(x, t;t) t w (x, t; )d
(x) (x 0) (x) (x) (x 0)
(x) (x 0) (x) (x) (x 0)
2U
t
2
U (x, t)
a2
2U x2 , t (x),
0, U
( x, t )
x
(x)
t 0
t
t 0
U (x,t) (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2
( x at ) ( x at ) (0)
2
2
2020/4/20
11
物理意义 t 0
u~(x,t) F(x at)
t t0
F (x) F (x0 at0 )
u
x0 x at0
uO
u~(x,0) u~(x at0 ,t0 )
u~(x,0) F(x) u~(x,t0 ) F (x at0 )
u (x, t) (x)
t
t 0
( dx )2 a2 0 dt
故作线性变换
x at, x at
特征线为
x at c1 x at c1
2020/4/20
方程改写为
2u 0
4
2u a2 2u 0
t 2
x 2
x at
x at
u u u
x
2u 2u 2 2u 2u
2
2a
把定解问题的解表示为左、右行进波
相叠加的方法称为“行波法”。
2020/4/20
8
例1：
2u
t
2
a2
2u x2
0
u t0 cos x, ut t0 x
解：由达朗贝尔公式
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
cos(x at) cos(x at) 1
xat
d
2
2a xat
cosat cosx xt
2020/4/20
9
例2：
2u
xy
x2 y
u y0 x2 , u x1 cos y
解：2u x2 y xy
u 1 x2 y2 g(x) x 2
u(x, y) 1 x3 y2 h(x) p( y) 6
u x2,u cos y
问题（II）的解可以用达朗贝尔公式来求解。 故只须考虑求解问题（III）的解。
我们利用齐次化原理来求解问题（III）的解。
2020/4/20
ຫໍສະໝຸດ Baidu
18
齐次化原理 （Duhamel原理）
设
w( x, t;
)
2w
是（IV）
t
2
a2
w(x,t; )
2w x 2
,
0,
t ,xR w (x,t; )
f (x, )
ut (x,0) (x) a[F(x) G(x)] (x)
x
a[F(x) G(x)] C ()d x0
此即为原方程的通解。
其中 x0 为任意一点，而
C为积分常数，
2020/4/20
6
F(x) G(x) (x)
F(x) G(x) 1 x ()d C
a x0
a
F(x) 1 (x) 1