用Nyquist判据判断系统稳定性
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一、设计题目
已知一单位负反馈系统的开环传递函数为
G( s) 12 ( s 6)(s 1)
画出其 Nyquist曲线，判断其闭环稳定性，并 用MATLAB其他函数加以检验。在此系统上
增加一个极点 p 4 ，判断系统的稳定性。
二、设计目的
• (1)了解频域分析法判断闭环系统稳定性的方法。 • (2)掌握从开环频率特性判断闭环系统稳定性的方法。 • (3)了解增加开环极点对系统稳定性的影响。
• Nyquist 判据判断的结果是相同的。 • Ⅱ.在以上开环系统的传递函数中增加一个极点 p 4 ,那么 系统的传递函数变为：
G ( s)
•
系统有两个开环右极点。
12 ( s 6)(s 4)(s 1)
• 系统的开环频率特性为：G( j )
• 实部：
12 ( j 6)( j 4)( j 1)
12 ( j 6)( j 1)
Im( )
• 根据实部与虚部的关系式可以画出Nyqusit图，得到 N 1。 • 所以该系统是稳定的。
• • • •
用闭环系统的特征根在s平面的位置验证系统的稳定性： 单位负反馈系统的特征根方程为： 1 G( s) 0 即有：s 2 5s 6 0 特征根为：s1 2 s2 3 由于不存在实部为正的根，因此系统是稳定的。该结果与
12(24 2 ) Re( ) (36 2 )(16 2 )(1 2 )
• 虚部：
12(26 3 ) Im( ) (36 2 )(16 2 )(1 2 )
• 根据实部与虚部的关系式可以画出Nyqusit图，得到 N 0。 • 即有P N ,所以该系统是不稳定的。 • 用劳斯稳定判据验证系统的稳定性： s 3 s 2 26s 36 0 • 单位负反馈系统的特征根方程为： • • • • 1 -26 1 36 -62 36 由于第一列元素符号改变次数为2，说明有两个特征根实 部为正，故系统不稳定。该结果与 Nyquist 判据判断的结果 列劳斯表如下：
四、理论分析及计算
• Ⅰ.系统的开环传递函数为 G(s)
右极点,即 P 1。
12 ( s 6)(s 1)
,系统有一个开环
• 系统的开环频率特性为：G( j )
• 实部：
• 虚部：
12(6 2 ) Biblioteka Baidue( ) (36 2 )(1 2 )
60 (36 2 )(1 2 )
六、仿真结果
• （1）原系统的奈奎斯特图：
从图中可以看出Nyquist曲线绕(-1,j0)逆时针的圈N 1 ,即有 P N 1, 所以系统是稳定的。而用MATLAB系统函数求出的原系统的闭环极点 p1 2 3 ,由于不存在实部为正的根，因此系统是稳定的。 为：
• （2）原开环传递函数增加一个右极点后的奈奎斯特图：
从图中可以看出Nyquist 曲线绕(-1,j0)逆时针的圈N 0 ,即有 P N , 所以系统是不稳定的。而用MATLAB系统函数求出的原系统的闭环极 点为： p 2 6.3179 2.6589 0.7264i 2.6589 0.7264i ,由于系统有两个实部为正 的根，因此系统是不稳定的。
三、设计原理
• • • • • •
Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制出的 幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统的 Nyquist 曲线按逆时针包围临界点 (1, j0 ) 的圈数N， 稳定性： 等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系 统不稳定，闭环正实部特征根个数Z P N。若刚好过临 界点 (1, j0 )，则系统临界稳定。
s3 s2 s s0
相同。
五、Matlab源程序代码
• • • • • • • • • • • • • • • • • • clear all;close all; s1=zpk([],[-6,1],12); %生成连续序列s1 s2=zpk([],[-6,1,4],12); %对s1增加极点生成连续序列s2 figure(1);nyquist(s1); %画s1的Nyquist曲线 title('奈奎斯特曲线图'); xlabel('实部');ylabel('虚部'); axis([-3 1 -1 1]); set(gcf,'Color',[1,1,1]) W1=feedback(s1,1); %形成闭环系统W1 p1=eig(W1) %求W1闭环系统的特征根 figure(2);nyquist(s2); %画s2的Nyquist曲线 title('开环传递函数增加右极点后的奈奎斯特曲线图') xlabel('实部');ylabel('虚部'); axis([-1.1 0.6 -0.4 0.4]); set(gcf,'Color',[1,1,1]) G2=tf(12,[1,1,-26,36]);H2=tf(1); W2=feedback(G2,H2); %形成闭环系统W2 p2=eig(W2) %求W2闭环系统的特征根
七、结果分析
• 通过理论与仿真的结果可以看出，增加系统的开环传 递函数的极点可以使系统的稳定性下降，甚至使稳定的系 统变为不稳定的。以上理论分析结果与仿真结果完全吻合， 所以该设计实现了设计目的，符合设计要求。
八、设计感想
• 通过这次自动控制系统课程的课题设计，我掌握了频 域分析法和时域分析法判断闭环系统稳定性的方法，进一 步了解到matlab在自动控制这门课程中的强大应用，收获 颇多。不但提高了用Matlab解决自动控制理论的能力,也提 高了分析解决一般问题的能力。
已知一单位负反馈系统的开环传递函数为
G( s) 12 ( s 6)(s 1)
画出其 Nyquist曲线，判断其闭环稳定性，并 用MATLAB其他函数加以检验。在此系统上
增加一个极点 p 4 ，判断系统的稳定性。
二、设计目的
• (1)了解频域分析法判断闭环系统稳定性的方法。 • (2)掌握从开环频率特性判断闭环系统稳定性的方法。 • (3)了解增加开环极点对系统稳定性的影响。
• Nyquist 判据判断的结果是相同的。 • Ⅱ.在以上开环系统的传递函数中增加一个极点 p 4 ,那么 系统的传递函数变为：
G ( s)
•
系统有两个开环右极点。
12 ( s 6)(s 4)(s 1)
• 系统的开环频率特性为：G( j )
• 实部：
12 ( j 6)( j 4)( j 1)
12 ( j 6)( j 1)
Im( )
• 根据实部与虚部的关系式可以画出Nyqusit图，得到 N 1。 • 所以该系统是稳定的。
• • • •
用闭环系统的特征根在s平面的位置验证系统的稳定性： 单位负反馈系统的特征根方程为： 1 G( s) 0 即有：s 2 5s 6 0 特征根为：s1 2 s2 3 由于不存在实部为正的根，因此系统是稳定的。该结果与
12(24 2 ) Re( ) (36 2 )(16 2 )(1 2 )
• 虚部：
12(26 3 ) Im( ) (36 2 )(16 2 )(1 2 )
• 根据实部与虚部的关系式可以画出Nyqusit图，得到 N 0。 • 即有P N ,所以该系统是不稳定的。 • 用劳斯稳定判据验证系统的稳定性： s 3 s 2 26s 36 0 • 单位负反馈系统的特征根方程为： • • • • 1 -26 1 36 -62 36 由于第一列元素符号改变次数为2，说明有两个特征根实 部为正，故系统不稳定。该结果与 Nyquist 判据判断的结果 列劳斯表如下：
四、理论分析及计算
• Ⅰ.系统的开环传递函数为 G(s)
右极点,即 P 1。
12 ( s 6)(s 1)
,系统有一个开环
• 系统的开环频率特性为：G( j )
• 实部：
• 虚部：
12(6 2 ) Biblioteka Baidue( ) (36 2 )(1 2 )
60 (36 2 )(1 2 )
六、仿真结果
• （1）原系统的奈奎斯特图：
从图中可以看出Nyquist曲线绕(-1,j0)逆时针的圈N 1 ,即有 P N 1, 所以系统是稳定的。而用MATLAB系统函数求出的原系统的闭环极点 p1 2 3 ,由于不存在实部为正的根，因此系统是稳定的。 为：
• （2）原开环传递函数增加一个右极点后的奈奎斯特图：
从图中可以看出Nyquist 曲线绕(-1,j0)逆时针的圈N 0 ,即有 P N , 所以系统是不稳定的。而用MATLAB系统函数求出的原系统的闭环极 点为： p 2 6.3179 2.6589 0.7264i 2.6589 0.7264i ,由于系统有两个实部为正 的根，因此系统是不稳定的。
三、设计原理
• • • • • •
Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制出的 幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统的 Nyquist 曲线按逆时针包围临界点 (1, j0 ) 的圈数N， 稳定性： 等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系 统不稳定，闭环正实部特征根个数Z P N。若刚好过临 界点 (1, j0 )，则系统临界稳定。
s3 s2 s s0
相同。
五、Matlab源程序代码
• • • • • • • • • • • • • • • • • • clear all;close all; s1=zpk([],[-6,1],12); %生成连续序列s1 s2=zpk([],[-6,1,4],12); %对s1增加极点生成连续序列s2 figure(1);nyquist(s1); %画s1的Nyquist曲线 title('奈奎斯特曲线图'); xlabel('实部');ylabel('虚部'); axis([-3 1 -1 1]); set(gcf,'Color',[1,1,1]) W1=feedback(s1,1); %形成闭环系统W1 p1=eig(W1) %求W1闭环系统的特征根 figure(2);nyquist(s2); %画s2的Nyquist曲线 title('开环传递函数增加右极点后的奈奎斯特曲线图') xlabel('实部');ylabel('虚部'); axis([-1.1 0.6 -0.4 0.4]); set(gcf,'Color',[1,1,1]) G2=tf(12,[1,1,-26,36]);H2=tf(1); W2=feedback(G2,H2); %形成闭环系统W2 p2=eig(W2) %求W2闭环系统的特征根
七、结果分析
• 通过理论与仿真的结果可以看出，增加系统的开环传 递函数的极点可以使系统的稳定性下降，甚至使稳定的系 统变为不稳定的。以上理论分析结果与仿真结果完全吻合， 所以该设计实现了设计目的，符合设计要求。
八、设计感想
• 通过这次自动控制系统课程的课题设计，我掌握了频 域分析法和时域分析法判断闭环系统稳定性的方法，进一 步了解到matlab在自动控制这门课程中的强大应用，收获 颇多。不但提高了用Matlab解决自动控制理论的能力,也提 高了分析解决一般问题的能力。