初中一对一精品辅导讲义：平面向量的基本概念及线性运算

1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量；
教学目标
2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法； 3、平面向量的线性运算。
重点、难点 考点及考试要求
教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法 教学难点：平面向量的线性运算 考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算
教
学
内
容
第一课时 平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理
课前检测
1、下列说法正确的是（ ） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小. 2、下列各量中不是向量的是（ ） A、浮力 B、风速 C、位移 D、密度 3、设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量 AO, BO, OC, OD 是（ A、相等的向量 C、有相同起点的向量 4、判断下列各命题的真假： B、平行的向量 D、模相等的向量 ）
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等； （2）向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量 AB 和向量 CD 是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ ） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 5、若 a 为任一非零向量， b 为模为 1 的向量，下列各式：①| a |＞| b | ②a ∥b

③| a |＞0
④| b |＝±1，其中正确的是（ C、①②③ ）
）
A、①④ B、③ 6、下列命中，正确的是（ A、| a |＝| b |  a ＝ b C、 a ＝ b  a ∥ b
D、②③
B、| a |＞| b |  a ＞ b D、｜ a ｜＝0  a ＝0 ）
7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 D C 8、如图所示，四边形 ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形， （1）找出图中与 AB 共线的向量； （2）找出图中与 AB 相等的向量； （3）找出图中与｜ AB ｜相等的向量； 向量. （4）找出图中与 EC 相等的
E A B
知识梳理
1、向量的物理背景及概念 1）、向量的物理背景： 位移是既有大小，又有方向的量； 力是既有大小，又有方向； 2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量 3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量 2、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母： AB ； ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模，记作| AB |.
A(起点)
a
B （终点）

4.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相 同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有 向线段. 5、零向量、单位向量概念： ①长度为 0 的向量叫零向量，记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 6、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定 0 与任一向量平行. 说明： （1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 7、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明： （1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的 ．．．．．． 起 点无关 . ． ．．． 8、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无 ．．．．．．．．． 关） . ．． 说明： （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （ 2）共线向量可以相 互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 9.实数与向量相乘的意义 ① 10. 实数与向量相乘的运算律
②
③
    11.平面向量定理：如果向量 a 与向量 b 平行，那么存在唯一实数 m，使 b  ma 。
单位向量：长度为 1 的向量，叫单位向量。（设 e 为单位向量，则 | e | 1 ）

※单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同 12.向量的线性运算： 向量加法、 减法、 实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 如
3a  2b ， a  2b 、 3(a  5b) 等，都是向量的线性运算.
向量的线性组合：如果 a, b. 是两个不平行的向量， x 、 y 是实数，则 xa  yb 叫做 a, b. 线性组合. 如 a, b. 两个不平行的向量，向量 OE  3a  2b, ，这时就说 OE 可由 a, b. 的线性组合表示. 13.向量的合成与分解：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分 解，用画图的方法可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量
第二课时 平面向量的基本概念及线性运算典型例题
典型例题
一、对向量概念的理解
例 1、给出下列命题： ①向量 AB 和向量 BA 的长度相等；○ 2 方向不相同的两个向量一定不平行；○ 3 向量就是有 向线段；○ 4 向量 0 =0；○ 5 向量 AB 大于向量 CD 。其中正确的个数是（ （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 B ）
变 1、下列命题：○ 1 向量可以比较大小；○ 2 向量的模可以比较大小；○ 3 若a  b， 则一定有| a |=| b |，且 a 与 b 方向相同；○ 4 对于一个向量，只要不改变它的大小和方向， 是可以任意平行移动的。其中正确的个数是（ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 例 2、判断下列命题是否正确： ⑴若 a // b ，则 a 与 b 的方向相同或相反；(错误) ⑵四边形 ABCD 是平行四边形，则向量 AB = DC ，反之也成立； （正确） ⑶| a |=| b |， a ， b 不一定平行， a // b ，| a |不一定等于| b |； （正确） ⑷共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。 （错误） ）