不等式的解法及不等式的应用

不等式的解法及不等式的应用

一、 不等式的性质及其证明；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法等证明简单的不等式；二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法；不等式的应用。 二、

1、 解含参数的分式不等式和绝对值不等式。

2、 不等式在函数、数列、导数、解析几何、三角函数等的广泛运用。

三、 新典型题分类例析：

热点题型1：绝对值不等式的解法：

例1、设函数112)(--+=x x x f ，求使22)(≥x f 的x 的取值范围。

解：由于x y 2=是增函数，22)(≥x f 等价于2

311≥--+x x ………………..（1） （ⅰ）当211,1=--+≥x x x 时，∴（1）式恒成立。 （ⅱ）当x x x x 21111=--+<<-时，，

（1）式化为14

3,232<≤≥x x 即。 （ⅲ）当2111-=--+-≤x x x 时，，（1）式无解。 综上，x 的取值范围是⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞,43。

变式1：已知实数a 满足不等式31<+a ，解关于x 的不等式：[]0)1()1(>++-x a x 。 热点题型2：含参的分式不等式的解法： 例2、已知函数),()(2

为常数b a b

ax x x f +=，且方程012)(=+-x x f 有两个实根为4,321==x x 。

（1） 求函数)(x f 的解析式；

（2） 设1>k ，解关于x 的不等式：x

k x k x f --+<2)1()(。 解：（1）将4,321==x x 分别代入方程⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-+2184169390122b a b

a b a x b ax x 解得得， 所以)2(2)(2

≠-=x x

x x f 。

（2）不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-x

k x k x x k x k x x 可化为， 即0))(1)(2(>---k x x x 。

（ⅰ）当);,2(,121+∞∈

<< ）（时，解集为k x k （ⅱ）当);,2()2,1(0)1()2(22

+∞∈>--= x x x k 解集为时，不等式为

（ⅲ）当),()2,1(2+∞∈>k x k 时，解集为。 变式2：解关于x 的不等式).(01

2

R m x mx mx ∈>-- 热点题型3：不等式的证明在数列等章节中的运用：

例3、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和,...).2,1(0=>n S n

（1） 求q 的取值范围

（2） 设{}的大小。和试比较项和为的前记n n n n n n n T n b a a b S ,T ,2

312++-= 解：（ⅰ）因为{}n a 是等比数列，0>n S ，可得.0.011≠>=q S a 当,...)2,1(,011,01)1(S 1;0111=>->--=≠>==n q

q q q a q na S q n

n n n －即时，当时， 上式等价于不等式组)2.(,...).....2,1(0

101)1...(,...).....2,1(0101=⎩⎨⎧>->-=⎩⎨⎧<-<-n q q n q q n n 或 解（1）得q ＞1；解（2），由于n 可为奇数，可为偶数，得－1＜q ＜1。

综上，q 的取值范围是),0()0,1(+∞- 。 （ⅱ）由.)2

3(),23(232212n n n n n n n S q q T q q a b a a b -=-=-

=++得 于是),2)(21()123(2-+=--=-q q S q q S S T n n n n 又因为0>n S ，且－1＜q ＜0或q>0,所以，

.,02,2

1;,0T 022

1;,0T 22

11n n n n n n n n n n n n S T S T q q S T S q q S T S q q ==-=-=<<-≠<<>>->-<<即时，或当即时，且当－即时，或当－

变式3：已知数列{}n a 的通项公式n n n n x a x a x a x f a +⋅⋅⋅++=-⨯=221)(,123令，求函

数的大小　与并比较处的导数在点n n f f x x f 1323)1(2),1(1)(2

//-=。

热点题型4：不等式在解析几何中的运用：

例4、某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示。塔高BC ＝80（米），塔所在的山高OB ＝220（米），OA ＝200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为2

1tan =αα，

。试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC ∠最大（不计此人的身高）？ 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A （200，0），B （0，220），C （0，300）， 直线l 的方程为,2

200,tan )200(-=-=x y x y 即α 设点P 的坐标为)200)(2

200,(),,(>-x x x P y x 则，由经过两点的直线的斜率公式。 .26402202200,28003002200x

x x x k x x x x k PB PC -=--=-=--= 由直线PC 到直线PB 的角的公式得

6401602886426402800121601tan 2⨯+-=-⋅-+=+-=x x x x x x x x k k k k BPC PC PB PC

PB ＝

).200(28864016064>-⨯+x x

x 要使BPC tan 达到最大，只需288640160-⨯+

x

x 达到最小，由圴值不等式。 x

x x x 640160,2886401602288640160⨯=-⨯≥-⨯+当且仅当时上式取得等号，故当x ＝320时tanBPC 最大。这时，点P 的纵坐标y 为.602

200320=-=y 由此实际问题知，0＜BPC ∠＜2

π，所以tanBPC 最大时，BPC ∠最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC ∠最大。 变式4：已知椭圆1C 的方程为,1422=+y x 双曲线2C 的方程为.13

22

=-y x 若直线2:+=kx y l 与椭圆1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点为，且l 与2C 的两个交点A 和B 满足6<⋅→

→OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围。