3.2.1复数的加法与减法

3.2.1 复数代数形式的加、 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
知识回顾
解方程ax 问题 解方程 2+bx+c=0(a≠0)
− b ± b 2 − 4ac 2 ，当b − 4ac ≥ 0 2a x= 2 4ac-b −b 2 2a ± 2a i，当b − 4ac<0 b x1 + x 2 = − a 虚根 x1 = x 2 c
x1 x 2 =
a
实系数的一元n 实系数的一元n次方程在复数范围内的虚根共轭成对出现
知识回顾
实 虚 部 部
1.复数有关概念： 1.复数有关概念： 复数有关概念 复数的代数形式: 复数的代数形式: z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R) 实数： = 0( a ∈ R) 实数： b 虚数： ≠ 0( a ∈ R) 虚数： b
z1 A
(3) |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
练习
4.已知复平面内一个平行四边形OABC的三个 4.已知复平面内一个平行四边形OABC的三个 已知复平面内一个平行四边形OABC 顶点O,A,C对应的复数是0, O,A,C对应的复数是 顶点O,A,C对应的复数是 3+2i , -2+4i ，求
uuu r 平面向量 OZ
类比实数的运算法则能否得到 复数的运算法则？ 复数的运算法则？
问题引入
算， 我 们 知 道实 数 有加 、 减 等 运 算 ， 且 有运 算律 ： a + b = b + a ， (a + b ) + c = a + (b + c ) 那么复数应怎样进行 应怎样进行加 减运算呢？ 那么复数应怎样进行加、减运算呢？ 你认为应怎样定义复数的加、 运算呢？ 你认为应怎样定义复数的加、 运Байду номын сангаас呢？运算律仍 减 成立吗？ 成立吗？
1 AO （ ） 表示的复数； （2） 表示的复数； CA （3）B点对应的复数。
− 3− 2i
5− 2i 1+ 6i
归纳总结
一、复数加法与减法运算法则 二、复数加法与减法运算的几何意义
y
Z2 Z1
y
Z
Z2 Z1
0
x
(1)
0
x
(2)
复数的和对应向量的和
复数的差对应向量的差
练习
2 . 已 知 复 数 z 1、 z 2， 且 z 1 = z2 = 2 ,求 z 1 - z 2 的 值 .
z 2， 3， 2 + z 1 = 2 2，
C
z2 z2-z1
z1+z2
3
(1)|z1|= |z2| 菱形 平行四边形OABC OABC是 平行四边形OABC是
B
o
(2)| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是矩形 OABC
D.a+c=0且 D.a+c=0且b+d≠0 √
思考： ),那么 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么z + z = ?
z −z =?
z + z = 2a；z - z = 2bi.
你会证明吗？ 你会证明吗？
z1 + z2 = z1 + z2 , z1 − z2 = z1 − z2
问题探索
复数加法运算的几何意义? 复数加法运算的几何意义? 加法运算的几何意义
两个复数相减就是把实部与实部、 两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相减。 部分别相减。
思考？ 思考？
如何理解复数的减法？ 如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算， 复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di） ） +（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复 （ ） 的复数 叫做复数 减去复 数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di） 的 ） ） 事实上，由复数相等的定义，有： 事实上，由复数相等的定义， c+x=a， d+y=b ， 由此， 由此，得 x=a － c， y=b － d ， 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
复数z 复数 2－z1
向量Z 向量 1Z2
y
符合 Z2(c,d) 向量 减法 Z(c-a,d-b) 的三 角形 法则. 法则
Z1(a,b)
o
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 结论：复数的差Z |z1-z2|表示什么.? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离 表示什么? 表示复平面上两点Z 减数的向量对应. 减数的向量对应
学
以 致
用
练习： 练习： 1.已知 已知Z =c+di， 是纯虚数， 1.已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，则 有 A.a-c=0且 a-c=0且 A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 C.a+c=0且 C.a+c=0且b-d≠0
共轭复数的性质: 共轭复数的性质:
思考？ 思考？
复数是否有减法？ 复数是否有减法？
复数的减法法则： 复数的减法法则： 设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 ， 、 、 、 ∈ 是任 意两个复数，那么它们的差： 意两个复数，那么它们的差：
(a + bi ) - (c + di ) = (a - c) + (b - d )i
a = 0 纯虚数： 纯虚数：b ≠ 0
复数相等 a + bi = c + di 2.复数的几何意义 有序实数对(a,b) 有序实数对(a,b)
一一对应
a = c ⇔ b = d
复数z=a+bi 复数z=a+bi （数）
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
练习
1.设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件 1.设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件 设复数z=x+yi,(x,y∈R), 下求动点Z(x,y)的轨迹. 下求动点Z(x,y)的轨迹. Z(x,y)的轨迹
（1）|z-2|=1 |z（2)|z-i|+|z+i|=4 2)|z(3)|z(3)|z-2|=|z+4| |z
y Z Z x o
2
Z Z
|z- |=r时 复数z 当|z-z1|=r时, 复数z对应的点的轨迹是以 对应的点为圆心,半径为r的圆. Z1对应的点为圆心,半径为r的圆.
y Z
1
Z x
o -1 Z
y
o -4 -1 2
x
x=x=-1 当| z- z1|= | z- z2|时, 复数z对应的点的轨迹是 zz复数z 线段Z 的中垂线. 线段Z1Z2的中垂线.
x
∴ 点C对应的复数是
-1+3i
2. 设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2
.
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i 3+x=5, ∴ ∴ 2-y=-6. y=8 x=2
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
注意到 i 2 = −1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加 复数的加、 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！ 操作整理成法则即可了！
知识新授 知识新授 复数的加法法则： 复数的加法法则： 设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 ， 、 、 、 ∈ 是任 意两个复数， 意两个复数，那么它们的和：
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？ 探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b、结合律，i (a1，a2， ， ， 复数的加法满足交换律、结合律， ， ， 复数的加法满足交换律 2i，Z3=a3+b3 即对任 a3，b1，b2，b3∈R)
， ， 意Z1∈C，Z2∈C，Z3∈C
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评: 点评
1.两个复数相加就是实部与实部， 1.两个复数相加就是实部与实部，虚部与虚部 分别相加. 两个复数相加就是实部与实部 b=0，d=0时与实数加法法则 2. 当b=0，d=0时与实数加法法则 保持一致 . 很明显， 3. 很明显，两个复数的和仍然是一个 复数. 复数相加的情形. 对于复数的加法可以推广到 多个复数相加的情形.
1 . 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B对 应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点C对应的复数. 解:复数-3+2i ,2+i,0对应点A(-3,2),B(2,1), O(0,0),如图.
y
C A B
0
在平行四边形 AOBC中,
OC = OA + OB OC = (−3,2) + (2,1) = (−1,3)
复数z 复数 1+z2
向量OZ 向量 1+ OZ2 向量OZ 向量
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则
y
Z(a+c,b+d) Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
复数的加法可按照向量的加法来进行， 复数的加法可按照向量的加法来进行，这就 是复数加法的几何意义
问题探索
复数减法运算的几何意义? 复数减法运算的几何意义? 减法运算的几何意义
则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i （ ， （
Z1+Z2=Z2+Z1 Z1+Z2=Z2+Z1 显然 (Z1+Z2)+Z+Z )+Z =Z +(Z +Z ) 3=Z1+(Z2+Z3) (Z1 2 同理可得 3 1 2 3
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集 中 点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立。 依然成立。