恒定电场

W/m3 —焦耳定律微分形式
P = ∫ J EdV =UI = I R
V
2
W
—焦耳定律积分形式
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第 二 章
2.2 电源电动势与局外场强
Source EMF and 0ther Field Intensity
恒定电场
2.2.1 电源 (Source) 提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源. 2.2.2 电源电动势 (Source EMF)
2.3.1 基本方程 (Basic Equations) 1. J 的散度
q 电荷守恒原理 ∫ J dS = S t 亦称电流连续性方程
J =
∫ J dS = 0 ρ
S
散度定理
∫ JdV = 0
V
t
恒定电场是一个无源场,电流线是连续的.
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q =0 在恒定电场中 t 故 J = 0
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图2.1.2 电流的计算
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2. 电流线密度 K 面电荷 σ 在曲面上以速度 v 运动形成的电流. 电流线密度 电流
K =σ v
l
Am
I = ∫ (K en ) dl
en 是垂直于 dl,且通过 dl 与曲面相切的单位矢量.
图2.1.3 电流线密度及其通量
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恒定电场
恒定电场知识结构 基本物理量 J, E 欧姆定律 J 的散度 边界条件 一般解法 基本方程 边值问题 电导与接地电阻 E 的旋度 电 位
特殊解(静电比拟)
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2.1
导电媒质中的电流
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恒定电场
Current in Conductive Media 2.1.1 电流 (Current) 三种电流: 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. 定义:单位时间内通过某一横截面的电量.
2 2 2 2
4bxy
j}
在导线中心x轴上,y=0, 在导线中心x轴上,
ρ ρ 2b 1 1 E= i= ( )i 2 πε 0 (x + b )( x b ) 2 πε 0 (x b ) (x + b )
认为电轴位置和几何轴位置重合, 认为电轴位置和几何轴位置重合,b=h; 令:
r1 = (x b ) r2 = (x + b )
表明 3 电场切向分量不为零,导体非等位体,导体 表面非等位面. 若 γ1 →∞ (理想导体),导体内部电场为零,电 流分布在导体表面,导体不损耗能量. 导体周围介质中的电场:
E2 = E2tex + E2ney
图2.3.3 载流导体表面的电场
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两种特殊情况分界面上的电场分布. 例2.3.2 两种特殊情况分界面上的电场分布. 解: a ) 媒质1是良导体, 媒质1是良导体, 媒质2是不良导体, σ 1 = 5 × 10 7 s / m ,媒质2是不良导体, 土壤
J2 n°
α1 = 89°,可知,α2 ≈ 8〃.
良导体表面可近似看作为等位面 σ2 σ1
J1
P
α2
α1
高压输电线电晕现象分析, 例2.3.3 高压输电线电晕现象分析,截面积 电压为100V,导线中通过 为S=150mm2,电压为 = , 的电流I= 的电流 = 300A, 铜的电导率为 σ = 5.8*10,
tanα1 γ 1 = tanα2 γ 2
图2.3.1 电流线的折射
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两种有损电介质分界面上的边界条件 两种有损电介质分界面上的边界条件
恒定电场
J1n = J2n
σ E
=σ E 1 1n 2 2n
D D = ρ 2n 1n
ε E
ε E = ρ s 2 2n 1 1n
J2
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2. E的旋度 所取积分路径不经过电源,则
∫ E dl = 0
l
斯托克斯定理
∫ (× E) dS = 0
S
得 × E = 0 恒定电场是无旋场. 3. 恒定电场(电源外)的基本方程 积分形式 微分形式 构成方程
∫ J dS = 0
S
∫ E dl = 0
l
J = 0
× E = 0
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恒定电场
工程应用 媒质磁化后的表面磁化电流; 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布; 高频时,因集肤效应,电流趋于导体表面分布. 3. 元电流的概念 元电流是元电荷以速度 v 运动形成的电流
νρdV (体电流 ) → JdV 元
νdq
图2.1.4 媒质的磁化电流
νσdS (面电 元) KdS 流 → ντdl (线电 元) Idl 流 →
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2.3.3 边值问题(Boundary Value Problem) ( 由基本方程出发
× E = 0
E =
拉普拉斯方程
γ = 常数
J = 0
得
(γ E) = γ + E γ = γ = 0
2 = 0
分界面衔接条件 由
E1t = E2t
1 2 J1n = J2n γ1 = γ2 n n 思考 恒定电场中是否存在泊松方程?
U γS U = GU 右边 = ∫S γE dS = ∫S γ dS = l l 返 回 上 页 所以 U = R I
S
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2.1.4 焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joule's Law) 导体有电流时,必伴随功率损耗,其功率体密度为
p = J E
4γ1U0 2 = φ π(γ1 + γ 2 )
电场强度
4γ 2U0 E1 = eφ π(γ1 + γ 2 )ρ
电荷面密度
4γ1U0 E2 = eφ π(γ1 + γ 2 )ρ
4ε0U0 σ = D2n D1n = ε0E1 ε0E2 = (γ1 - γ 2 ) π(γ1 + γ 2 )ρ
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ρ
s
=
ε σ ε σ
2 1
1 2 J 2n σ σ 1 2
ρ
σ ,ε
2
P
2
σ ,ε
1
1
J1
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例2.3.1 导体与理想介质分界面上的衔接条件. 解: 在理想介质中 γ 2 = 0, J2 = 0 故 J2n = J1n = 0 表明 1 分界面导体侧的电流一定与导体表面平行.
导体表面是一条电流线. 导体表面是一条电流线.
7S/m,求导线内部和表面的电场强度. 求导线内部和表面的电场强度. 求导线内部和表面的电场强度
解:电源维持导线中恒定的电流, 电源维持导线中恒定的电流,
J = σE
J1n = 0
1,圆导体内部恒定电场 1,J1只有切向分量, ,圆导体内部恒定电场 恒定电场E 只有切向分量 切向分量,
由电场强度边界条件: 由电场强度边界条件: = E = J = I E1 1t
σ
Sσ
E2t = E1t
2,圆导体外部电场 Y ,圆导体外部电场
P(x,y)
a
A E2n
o E2n
B
a
X
0
r
d
( 以 y 轴为电位为参考点 )
2b ( y 2 + b 2 x 2 ) ρ E= { i 2 2 2 2 2 πε 0 [ (x + b ) + y ][ (x b ) + y ] [ (x + b ) + y ][ (x b ) + y ]
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2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 两种场各物理量满足相同的定解问题,则解也相
恒定电场
dq I= dt
A
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2.1.2 电流密度(Current Density) 1. 电流面密度 J 电流密度 电流 体电荷 ρ 以速度 v 作匀速运动形成的电流.
J = ρv
I = ∫ J dS
S
A m2
dI J= n dS
dq I =dt
图2.1.1 电流面密度矢量
1 2
σ 2 = σ = 10 s / m
2
tan α 由折射定理得 tan α
σ = σ
1 2
→ ∞, 则
α
2
≈ 0
它表明, 电流线垂直于良导体表面穿出, 它表明,只要 α1 ≠ π ,电流线垂直于良导体表面穿出,良导体 2 表面近似为等位面. 表面近似为等位面.
α1 ≠ 90 o
α 2 ≈ 0o
∫lE dl
= ∫ (Ec + Ee) dl = ∫ Ec dl + ∫ Ee dl l l l
= 0+e = e
局外场 Ee 是非保守场.
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2.3 基本方程分界面衔接条件 边值问题
恒定电场
Basic Equations Boundary Conditions Boundary Value Problem
J =γ E
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结论: 恒定电场是无源无旋场.
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恒定电场
2.3.2 分界面的衔接条件(Boundary Conditions) 由
∫ E dl = 0
l
∫ J dS = 0
S
得
E1t = E2t
J1n = J2n
说明 分界面上 E 切向分量 连续,J 的法向分量连续. 折射定律
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得
1 = 2
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例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位,电场及 导体分界面上的面电荷分布. 解: 选用圆柱坐标系,边值问题为:
1 21 21 = 2 = 0 ( γ1 区域) ρ φ 2
1 22 22 = 2 = 0 ( γ 2 区域) 2 ρ φ
2
φ =0
圆柱导线间的电场与电 位 : 1 1 τ EP = ( e r1 e r2 ) 2πε 0 r1 r2 r2 τ ln p = 2πε 0 r1
电场E 电场 2n的法向分量 对于A, 两点电位有 两点电位有: 对于 ,B两点电位有:
1 τ 1 E2 n = ( ) 2πε 0 r d r
d a a τ τ A = ln( ) B = ln( ) a d a 2πε 0 2πε 0
空气中
E2n
0 = = ≠0 γ2 0
J2n
导体中 E n = 0 1
图2.3.2 导体与理想介质分界面
E1n =
J1n
σ1
D2n D = ε2E2n= σ 1n
表明 2 导体与理想介质分界面上必有面电荷.
E1t = E2t
E
2t
<< E
2n
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恒定电场
E1t = E2t = J1t / γ1 ≠ 0
图2.2.1 恒定电流的形成
电源电动势是电源本身的特征量,与外电路无关. 局外场强
fe Ee = q
fe -局外力
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恒定电场
总场强
E = Ec + Ee
J = γ (Ec + Ee )
电源电动势
e = ∫ Ee dl
l
图2.2.2 电源电动势与局外场强 2.2.2
因此,对闭合环路积分
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恒定电场
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
序 导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 分界面衔接条件 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
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2.0 序
Introduction
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的,它 与静电场有相似之处. 本章要求: 理解各种电流密度的概念,通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系. 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算.
=0
1
π φ= 2
= U0
图2.3.4 不同媒质弧形导电片
1 2 π φ = 时 ,1 = 2 ,γ1 φ = γ 2 φ 4 返 回
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恒定电场
通解 电位
1 = Aφ + B ,
2 = Cφ + D
4γ 2U0 (γ1 γ 2 )U0 1 = φ+ π(γ1 + γ 2 ) γ1 +γ 2
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恒定电场
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm's Law) 在线性媒质中
J =γ E欧姆定律 微分形式.
U = R 欧姆定律 积分形式. I
J 与 E 共存,且方向一致.
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明: 对 J = γE 两边取面积分 左边 = ∫ J dS = I
τ d a U = A B = ln( ) πε 0 a
U 1 1 E2 n = ( ) d a a d a 2 ln a
E2 n >> E2t
当输电线导体表面的电场强度接近 或超过空气击穿强度30KV/cm时, 或超过空气击穿强度 时 导体表面就会产生电晕放电现象, 导体表面就会产生电晕放电现象, 可听到咝咝声,看到紫色的晕光. 可听到咝咝声,看到紫色的晕光.