复数·复数的减法及其几何意义
复数运算的几何意义(共6张PPT)
o
x
z3
z1,z2,z3,已知|z1|=1,z2=z1z,z3=z2z,其中z=3/2(1+√3i),求四边形
OABC的面积。
C
y
SOABC=SAOB+SBOC =知︱z︱=2,arg(z+2)=π/3求：
(1)求虚数z
(2)在复平面内，把复数z3对应的向量OP绕原点O按顺时
义知 8设(c复os数2zπ1+=isr1in2(cπo)sθ1+ i sinθ1) z2=r2 (cosθ2+ i sinθ2 )
B 解z1(,z12)如,z3图,已，知设|虚z1数|=1z,对z2应=z的1z向,z量3=OzA2z，,其2对中应z=的3/点2(1为+C√3，i)由,求加四法边的形几O何AB意C义的可面得积以。OC，OA为邻边作平行四边OABC，则OB对应的复数为z+2
z +z ，S8(2(O)c∠zoAC3sB=O2C(π-B=1+=+Siπs√Ai/3n3Oi2,)B|3πO1=+)A8S|(B=cO|oBs2CC2π|=+|OisCin|2=π2,) ∴∠AOB=∠OBC=∠BOC=π/3
arg——— =11π/8 a∴rzg=—2(—co—s2—π/3+.isin2π/3)=-1+√3i
复数运算的几何意义
一 复数的加法与减法的几何意义
二
1、加法的几何意义
2、减法的几何意义
三
y
y Z1
Z
Z2 Z2
Z1
o
x
o
x
z1z2≠0时， z1+z2对应的向量是以OZ1、OZ2、为邻边的平行
四边形OZ1ZZ2的对角线OZ
复数运算的常用规律和几何意义
复数运算的常用规律和几何意义复数是由实数和虚数构成的数。
每个复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位，满足i² = -1常用规律：1.实部与虚部的加法和减法：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2.实数与复数的乘法和除法：- (a + bi) * c = ac + bci- (a + bi) / c = (a/c) + (b/c)i （当c ≠ 0）3.复数的共轭：复数 a + bi 的共轭是 a - bi，即将虚数部分取相反数。
4.复数的乘法和除法：- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- (a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c - di)] / (c² + d²) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²) （当c² + d² ≠ 0）几何意义：复数可以用来表示平面上的点。
实部代表点在x轴上的位置，虚部代表点在y轴上的位置。
1.加法和减法：复数的加法和减法可以看作是平面上的点的运算。
例如，(a + bi) + (c + di) 可以看作是将第二个点 (c, d) 平移后放置在第一个点 (a, b) 的位置上。
2.乘法：复数的乘法可以用来进行旋转和缩放。
例如，复数 (a + bi) * (c + di) 可以看作是将向量 (a,b) 绕原点旋转角度 angle，并将长度乘以，c + di。
3.共轭：复数的共轭可以用来表示点关于 x 轴的对称点。
例如，复数 a + bi 的共轭 a - bi 可以看作是将点 (a, b) 关于 x 轴翻转。
复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复数的加减运算及其几何意义zhy
4.（i +i）+ i (1 i )
2
5. 5i (3 4i ) ( 1 3i )
变式1： 设z1 x 2i , z2 3 yi ( x , y R ),
且z1 z2 5 6i , 求z 2 x yi
若f ( z) 2z 3i, 求f ( z1 z2 )
(2)若z C , z 2, 求 z 2 3i 的最大值和最小值 .
(3)若z C, 且 z 2 2i 1, 求 z 3 4i 的最大值 和最小值.
例7, (1)设z C, 且 z 1 z i , 求 z 2 i 的最小值
(2)设z C, 且 z i z i 2, 求 z 1 i 的 最小值
Z2(c,d)
Z1(a,b)ຫໍສະໝຸດ o|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
1.如图的向量OZ对应的复数是 z，试 作出下列运算的结果对 应的向量. (2) z i (3) z (2 i )
y
（ 1 ）z 1
O
x
例 2． 在复平面内, 复数6 5i,3 4i对应的
已知复数z满足z z 2 8i , 求复数z 变式2：
2.复数加法运算的几何意义? OZ1+OZ2 = OZ 表示复数z1+ z2
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
3.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
y
向量Z1Z2
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
复数加减法的几何意义 PPT
1.
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应 向量 OZ
一一对应
2.复数与其相对应的向量的模相等，即： 对应平面向量OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
(5). z 1
点( x, y)到点(0,1)的距离
练习：
1.若复数z满足z 1 z 1 ,求z 1的最小值。
z 1 min 1
2.若z1 1, z2 2,求z1 z2 的最值。
z1 z2 max 3, z1 z2 min 1
y
(x, y)
B
y
2
1
A
(1,0) o (1,0) x
1.复数加、减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
所以
| z | = a2 b2
问题： 复数的模为一实数。则复数的模可以
进行加、减、乘、除四则运算。 那么，复数本身是否也可以进行加、
减、乘、除四则运算呢？
1.复数代数形式的加、减法运算法则，即：
z1+z2=？
z1-z2=？
2.复数代数形式的加、减运算的几何意义；
3.特别的：z1 z2 的几何意义。
复数的加减法及其几何意义
复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。
- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。
- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数加减运算的几何意义
复数加减运算的几何意义“同学们，今天咱们来好好探讨一下复数加减运算的几何意义。
”我站在讲台上对学生们说道。
复数加减运算的几何意义可是非常有趣且重要的。
大家都知道复数可以用平面上的点来表示，对吧？比如一个复数 a+bi，就可以对应平面直角坐标系中的一个点(a,b)。
那复数的加减运算在几何上是怎么体现的呢？我们来看个例子。
比如说有两个复数 z1=3+2i 和 z2=1-i，它们在平面上就分别对应点(3,2)和(1,-1)。
当我们做 z1+z2 的时候，就是把它们对应的点的坐标相加，得到(3+1,2+(-1))，也就是(4,1)，这就是 z1+z2 对应的点。
从几何意义上看，就相当于把 z1 对应的向量平移到 z2 对应的点上，得到的终点就是 z1+z2 对应的点。
再比如，我们来看复数的减法。
有两个复数 z3=5+3i 和 z4=2+i，它们分别对应点(5,3)和(2,1)。
那么 z3-z4 就等于(5-2,3-1)，也就是(3,2)。
从几何上看，这就相当于从 z3 对应的点向 z4 对应的点引一个向量，这个向量的终点坐标就是 z3-z4 对应的点。
给大家讲个实际应用的例子吧。
在通信领域中，信号常常可以用复数来表示。
当我们对这些信号进行处理时，复数的加减运算就有着重要的作用。
比如在信号的传输和接收过程中，需要对不同的信号进行合成或分离，这时候就涉及到复数的加减运算。
通过理解复数加减运算的几何意义，我们可以更好地分析和处理这些信号，以保证通信的质量和准确性。
同学们，复数加减运算的几何意义不仅仅是理论上的知识，它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
大家一定要好好理解和掌握，这样才能在以后的学习和工作中更好地运用它。
大家都听明白了吗？如果还有疑问，随时提出来，我们一起探讨。
复数·复数的减法及其几何意义
复数·复数的减法及其几何意义第一篇：复数·复数的减法及其几何意义复数·复数的减法及其几何意义·教案教学目标1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．教学重点和难点重点：复数减法法则．难点：对复数减法几何意义理解和应用．教学过程设计（一）引入新课师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书）1．复数减法法则（1）规定：复数减法是加法逆运算；（2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）．如何推导这个法则呢？生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（学生口述，教师板书）（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i．师：说一下这样推导的想法和依据是什么？生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则．师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题．生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．（学生口述，教师板书）推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i．师：这样推导每一步都有合理依据．我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？生：仍是复数．师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？生：不会．师：这说明什么？生：两个复数的差是唯一确定的复数．师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．（三）复数减法几何意义师：我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？（板书：2．复数减法几何意义）生：用向量表示两个做减法的复数．（学生口述，教师板书）设z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），对应向量分别师：我们应该如何认识这个方程？（学生困惑，教师引导）师：我们先看方程左式，右式分别表示什么？生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．师：有什么几何意义吗？生：是动点Z与定点（1，1）间的距离．（学生活跃起来，纷纷举手回答）生：方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．（2）|z+i|+|z-i|=4；（学生议论后，举手回答）生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．师：这个动点轨迹是什么曲线呢？（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）生：是椭圆吧．师：似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义．（学生在教师的提示下一起回答）生：在平面内，与两个定点F1，F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆．师：满足这个方程的动点轨迹是不是椭圆呢？生：是．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1），（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（学生议论后，举手回答）生：这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．师：说的再准确些．生：是双曲线右支．师：很好．由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．例4 设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数p=a+bi对应．求（1）复平面内圆的方程；（学生口述，教师板书）解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．师：利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结师：我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．课堂教学设计说明1．复数加法法则是规定的，而复数减法法则需要推导．推导过程要求每一步都要有合理依据，渗透转化思想，培养学生严谨思维品质．复数减法几何意义是教学难点，主要由于学生对复数及其几何表示还不很熟悉，在复数加法几何意义学习基础上，引导学生自己得到复数减法几何意义，有利于学生对复数几何意义以及复数减法几何意义理解． 2．对复数减法几何意义应分三个层次．例1主要训练学生对复数减法几何意义应用，并通过此例题使学生对复数减法几何意义有具体认识，进一步使学生理解向量与向量终点表示复数的区别与联系，并体会两个相等向量表示两个复数差的各自方便之处．例2是对复平面内两点间距离公式的推导，这既是对复数减法几何意义再次应用，同时也为对复数方程的认识打下基础．例3和例4是在例2公式基础上将复数几何意义应用推广到用复数研究解析几何某些曲线、不等式等问题，使学生进一步体会复数减法几何意义的重要性．第二篇：复数·复数的乘法及其几何意义复数·复数的乘法及其几何意义·教案教学目标1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程． 2．掌握复数乘法的几何意义．3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法．4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．教学重点与难点重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算．难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握．教学过程设计师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算．（利用投影仪出示）1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程）学生板演：z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i （r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的．师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和．师：利用这个结论，请同学们计算：这就是复数的三角形式乘法运算公式．三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？（同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转）生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r2倍（r2＞1，应伸长；0＜r2＜1，应缩短；r2=1，模长不变），所得的向量就表示积z1·z2．这是复数乘法的几何意义．师：解此题复数是否一定化成三角形式？生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择．师：说得好，请同学们写一下解题过程．（找一名同学到黑板板演）解：所求的复数就是-1+i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1，辐角的主值是120°．所求的复数是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）师：为什么？生丙：乘数sin30°+icos 30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos 60°＋isin 60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定．同学们开始讨论解决：生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系．师：你分析得正确，如图8－13，建立坐标系．取正方形的边长为单位长1．生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，这样，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么？按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1＋i，2＋i，3＋i．师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影响复数的辐角主值的大小，不过计算要繁一些．同学们继续讨论．生壬：2＋i，3＋i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大．根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么？假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值．师：你分析得很好，请你计算一下：师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义及其推导过程．从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换角度上考虑问题．现在布置作业：第三篇：复数1)单数名词加2)以s、x、sh、ch结尾的名词加3)以辅音字母加y 结尾的名词，变y为i加4)以f或fe结尾的名词，多数变f为v加es: wives, knives.但有些词只加s: roofs, proof s, 5)以o结尾的名词，有些加es: Negroes, heroes, tomatoes, potatoes.其它加s: radio s, zoos，6)不规则名词：foot→feet, goose→geese, tooth→teeth, child→children, man→me n, woman→women, sheep→sheep, deer→dee r, mouse→mice.7)某些外来词变复数：datum→data, medium→media, bacterium→bacteria, curriculum→curricula, criterion→criteria, phenomenon→phenomena.8)复合名词变复数：以不可数名词结尾的复合名词无复数形式，如：以man或woman为前缀的复合名词变复数，前后两个名词都变复数，如：manservant→menservants, 其它复合名词变复数：9)复合形容词做定语时，其中的名词保持单数：book名词复数：）~~英语中名词可分为可数名词和不可数名词。
高二数学复数的加减运算
二.复数的加减法及几何意义
3、共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
Z的共轭复数用Z来表示即Z a bi时, Z a bi
复数的加减运算 及其几何意义
一.回顾复数的几何意义
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（ห้องสมุดไป่ตู้）
一一对应 平面向量 OZ
|z|=|a+bi|
点Z(a,b)到原点的距离
（数）
（形）
一一对应 平面向量 OZ 的模|OZ |.
| z z0 | 复平面上点Z(a,b)到Z0 (a’,b’)的距离
例2:证明:1 | Z || Z |
Z Z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
例3.（1）若Z1 3 i, Z2 4i 1, Z1 Z Z2, 求Z
(2)设f (Z ) Z , Z1 3 4i, Z2 i 2,则求f (Z1 Z2 ).
(3)已知Z C,且2Z 3Z 1 3i,求复数Z.
；宁波象山出海捕鱼 宁波象山出海捕鱼 ；
不影响其存在和意义。 地址是死的，地点是活的。地址仅仅被用以指示与寻找，地点则用来生活和体验。 安东尼·奥罗姆是美国社会学家，他有个重大发现：现代城市太偏爱“空间”却漠视“地点”。在他看来，地点是个正在消失的概念，但它担负着“定义我们生存状态”的使命。 “地点是人类活动最重
第十五课复数的加减运算及其几何意义
(a－c) ＋(b－d) ＝1. ② 由①②得 2ac＋2bd＝1.
2 2
∴|z1＋z2|＝ a＋c ＋b＋d ＝ a ＋c ＋b ＋d ＋2ac＋2bd＝ 3.
2 2 2 2 2 2
小结（略）
一、选择题 1．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝( A．0 B．2i C．6 D．6－2i )
→ ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)， 解： ①AO 则AO 即－3－2i. → ＝ OA → －OC → ，所以 CA → 对应的复数为 (3 ②CA ＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. → ＝OA → ＋ AB → ＝OA → ＋ OC → ，所以OB → 对应 ③ OB 的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对 应的复数为 1＋6i.
二、填空题 3．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________.
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a ＋b ＝9.
2 2
又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数，
a＝0， ∴ b＋3≠0 a＝0， ，即 b≠－3，
又 a ＋b ＝9，∴a＝0，b＝3.∴z＝3i.
3．对复数加减法几何意义的理解：它包含两个方面：一方面是利
用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理， 另一方
面对于一些复数的运算也可以给予几何解释， 使复数作为工具运用 于几何之中．
题型一、复数代数形式的加减运算
例 1：计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：∵z＋i－3＝3－i
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
课件复数加减法及几何意义
反 思 感 悟
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一 对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的 复数可能改变.
解析 ∵z＋(3－4i)＝1， ∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数， 则a＝_－__1__.
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数， ∴aa22－ ＋aa－ －26＝ ≠00， ， 解得 a＝－1.
设问2、复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类 复数的加法，你有什么想法？举例说明。
纯虚数2i与3i的和是多少呢?
即 z1=0+2i ，z2=0+3i 猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i。
猜想归纳 对一般的两个复数相加有什么猜想，即
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
跟踪训练 2 已知平行四边形 ABCD 中，A→B与A→C对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，
两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求： (1)A→D对应的复数；
解 因为ABCD是平行四边形，
D
C
o
所以A→C＝A→B＋A→D，于是A→D＝A→C－A→B，
A
而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i， 即A→D对应的复数是－2＋2i.
复数的加减运算及其几何意义
复数的加减运算及其几何意义《复数的加减运算及其几何意义：一场奇妙的数学之旅》你有没有想过，在数学的世界里，有一些数字就像拥有超能力一样？复数就是这样神奇的存在。
复数啊，简单来说就是由实数和虚数组成的数。
就好比我们生活中有些东西是实实在在能看见摸到的，这就像实数；而有些东西是我们想象出来的，就如同虚数。
那复数的加减运算可有趣了。
比如说，复数的加法就像我们交朋友。
你有一群朋友，又新认识了一些朋友，那就把大家都聚在一起。
两个复数相加，就是把它们的实部和虚部分别相加。
这多简单啊，就像把两堆东西放在一块儿。
那减法呢？就像是你和朋友分开了一部分，也是实部和虚部分别相减。
这时候你可能会想，这有啥了不起的？可别小瞧它哦。
再来说说复数加减运算的几何意义吧。
想象一下我们在一个大平面上，复数就像这个平面上的一个个小箭头。
复数的实部就像这个箭头在水平方向的长度，虚部就像在垂直方向的长度。
当我们做复数加法的时候，就好像把两个箭头首尾相连，新的箭头就是它们相加的结果。
这是不是很像我们把两段路程接起来啊？减法呢，就像是从一个箭头的末端减去另一个箭头，剩下的就是结果。
这就好比你本来要走一条长长的路，但是有一段不需要走了，剩下的路就是减法的结果。
你看，复数的加减运算和它的几何意义是不是超级酷？它就像一个神秘的宝藏，一旦你发现了它的妙处，就会觉得数学这个大花园里到处都是惊喜。
我觉得复数的加减运算及其几何意义，就像是打开了一扇通往神奇数学世界的新大门。
它不仅仅是枯燥的数字计算，更是一种充满想象和创意的数学魔法。
我们只要用心去理解，就会发现数学其实充满了乐趣和魅力，复数的加减运算就是一个很好的例子。
复数的加、减运算及其几何意义
我们规定，复数的加法法则如下： 设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR ）是两个任意复数， 那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时， 与实数加法法则保持一致;
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法 可以推广到多个复数相加的情形.
知识一：复数的加法
探究：
设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR）是两个任意复数， 由于希望加法结合律成立，
z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（bi+di）
由于希望乘法分配律成立，
z1+z2=（a+c）+（bi+di）=（a+c）+（b+d）i
这样就猜想出了复数的加法法则.
说明：（3）复数的加法法则：
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i 如果将i 看作“变元”，a+bi中的实部和虚部 a，b看作常数，我们就可以将复数看成是 “一次二项式”，很容易发现两个复数相加与 两个一次二项式相加（合并同类项）一致. 这样，得到两个复数相加与两个多项式相加 相类似.
例题2
y
解：复平面内的点Z1(x1,y1)，Z2(x2,y2) 对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i， 所以点Z1，Z2之间的距离为
Z2(x2,y2)
z2
z2-z1
Z1(x1,y1)
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复数·复数的减法及其几何意义·教案
教学目标
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．
3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学重点和难点
重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
教学过程设计
（一）引入新课
师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．
（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，
（板书）
1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算；
（2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）．
如何推导这个法则呢？
生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．
（学生口述，教师板书）
（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i．师：说一下这样推导的想法和依据是什么？
生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则．
师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题．
生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．
（学生口述，教师板书）
推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di 的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得
故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i．
师：这样推导每一步都有合理依据．
我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？
生：仍是复数．
师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？
生：不会．
师：这说明什么？
生：两个复数的差是唯一确定的复数．
师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．
（三）复数减法几何意义
师：我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？（板书：2．复数减法几何意义）
生：用向量表示两个做减法的复数．
（学生口述，教师板书）
设z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），对应向量分别
师：我们应该如何认识这个方程？（学生困惑，教师引导）
师：我们先看方程左式，右式分别表示什么？
生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．
师：有什么几何意义吗？
生：是动点Z与定点（1，1）间的距离．
（学生活跃起来，纷纷举手回答）
生：方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．（2）|z+i|+|z-i|=4；
（学生议论后，举手回答）
生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．
师：这个动点轨迹是什么曲线呢？
（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）
生：是椭圆吧．
师：似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义．
（学生在教师的提示下一起回答）生：在平面内，与两个定点F1，F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆．
师：满足这个方程的动点轨迹是不是椭圆呢？
生：是．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1），（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
（学生议论后，举手回答）
生：这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．
师：说的再准确些．
生：是双曲线右支．
师：很好．由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简
捷．且反映曲线的本质特征．
例4 设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数p=a+bi对应．求
（1）复平面内圆的方程；
（学生口述，教师板书）
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．
师：利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．
（五）小结
师：我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．
（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．
课堂教学设计说明
1．复数加法法则是规定的，而复数减法法则需要推导．推导过程要求每一步都要有合理依据，渗透转化思想，培养学生严谨思维品质．复数减法几何意义是教学难点，主要由于学生对复数及其几何表示还不很熟悉，在复数加法几何意义学习基础上，引导学生自己得到复数减法几何意义，有利于学生对复数几何意义以及复数减法几何意义理解．2．对复数减法几何意义应分三个层次．
例1主要训练学生对复数减法几何意义应用，并通过此例题使学生对复数减法几何意义有具体认识，进一步使学生理解向量与向量终点表示复数的区别与联系，并体会两个相等向量表示两个复数差的各自方便之处．
例2是对复平面内两点间距离公式的推导，这既是对复数减法几何意义再次应用，同时也为对复数方程的认识打下基础．
例3和例4是在例2公式基础上将复数几何意义应用推广到用复数研究解析几何某些曲线、不等式等问题，使学生进一步体会复数减法几何意义的重要性．。