函数的单调性与最值(课件)

以
a＝f
－1 2
＝f
5 2
，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以 b＞a＞c.
【变式探究】（2020·吉林长春外国语学校模拟）定义在[－2,2]上的函数 f(x)满足(x1－
x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且 f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数 a 的取值范围为( )
A．[－1,2)
定 间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 义 当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2) ，当 x1＜x2 时，都有f(x1)＞f(x2) ，
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 那么就说函数 f(x)在区间 D 上
增函数
是减函数
图
象
描 述 自左向右看图象是_上__升__的_
自左向右看图象是下__降__的__
满
ax，x≥1
足对任意 x1≠x2，都有fxx11－－fx2x2＞0 成立，那么 a 的取值范围是(
)
A．(1,2)
1，3 B. 2
3，2 C. 2
3，2 D. 2
【答案】C
【解析】由已知条件得 f(x)为增函数，
2－a＞0， 所以 a＞1，
2－a×1＋1≤a，
解得：3≤a＜2， 2
所以 a
的取值范围是
【变式探究】（2020·江苏省金沙中学质检）函数 y＝ x2＋x－6的单调递增区间为 ________，单调递减区间为________．
【解析】令 u＝x2＋x－6，则 y＝ x2＋x－6可以看作是由 y＝ u与 u＝x2＋x－6 复合而 成的函数．令 u＝x2＋x－6≥0，得 x≤－3 或 x≥2。易知 u＝x2＋x－6 在(－∞，－3]上是减函数， 在[2，＋∞)上是增函数，而 y＝ u在[0，＋∞)上是增函数，所以 y＝ x2＋x－6的单调减区间 为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)。
高频考点二 确定含参函数的单调性(区间)
例 2.（2020·河南南阳一中模拟）函数 f(x)＝|x－2|x 的单调递减区间是( )
A．[1,2]
B．[－1,0]
C．(0,2]
D．[2，＋∞)
【答案】A x2－2x，x≥2，
【解析】由题意得，f(x)＝ －x2＋2x，x＜2，
当 x≥2 时，[2，＋∞)是函数 f(x)的单调递增区间； 当 x＜2 时，(－∞，1]是函数 f(x)的单调递增区间，[1,2]是函数 f(x)的单调递减区间。
①对于任意的 x∈I，都 有 f(x)≥M ；
②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M 为 y＝f(x)的最大值
M 为 y＝f(x)的最小值
【必备知识】 1．函数单调性的结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，fxx11－－fx2x2＞0⇔f(x)在 D 上是增函数； fxx11－－fx2x2＜0⇔f(x)在 D 上是减函数．
【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一 般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法： 如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象 的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的 正负确定函数的单调区间．(4)性质法：①对于由基本初等函数的 和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质 进行判断；
(2)对勾函数 y＝x＋ax(a＞0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)， 减区间为[－ a，0)和(0， a]．
(3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和 仍是减函数．
(4)函数 f(g(x))的单调性与函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性的关系 是“同增异减”．
则 a 的取值范围是( )
A．a＝－3
B．a＜3
C．a≤－3
D．a≥－3
【答案】C
【解析】(1)y＝x－ax－－2a＋－a2－3＝1＋x－a－a－3 2＝1＋x－a－a＋3 2，由题意知
a－3＜0， a＋2≤－1，
得
a≤－3.所以 a 的取值范围是 a≤－3。
2－ax＋1，x＜1，
【变式探究】（2020·河北省邢台市第一中学模拟）已知 f(x)＝
【变式探究】（2020·浙江省平湖中学模拟）对于任意实数 a，b，定 a，a≤b，
义 min{a，b}＝ b，a＞b. 设函数 f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x， 则函数 h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
【答案】1 【解析】法一：(图象法)
在同一坐标系中，作函数 f(x)，g(x)图象， 依题意，h(x)的图象如图所示． 易知点 A(2,1)为图象的最高点， 因此 h(x)的最大值为 h(2)＝1.
所以函数 f(x)＝ax2＋1(其中 1＜a＜3)在[1,2]上是增函数． x
法二：(定义法)设 1≤x1＜x2≤2，则
f(x2)－f(x1)＝ax22＋x12－
ax21＋ 1 x1
＝(x2－x1)
ax1＋x2－ 1 x1x2
，
由 1≤x1＜x2≤2，得 x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－ 1 ＜－1. x1x2 4
2．函数最值存在的 2 个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
【考点梳理】 高频考点一、确定不含参函数的单调性(区间)
例 1.（2020·新课标Ⅱ）设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f(x)（ ）
当 x2＞x1＞1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 恒成立，设 a＝f 2 ，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b， c 的大小关系为( )
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．b＞a＞c
【答案】D
【解析】根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所
又 1＜a＜3，
所以 2＜a(x1＋x2)＜12，
得 a(x1＋x2)－ 1 ＞0，从而 f(x2)－f(x1)＞0， x1x2
即 f(x2)＞f(x1)，
故当 a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．
高频考点三 函数的最值
例 3.(2018·全国Ⅱ)若 f(x)＝cos x－sin x 在[0，a]上是减函数，则 a 的最大值是( )
高中数学一轮总复习
【人教版】
专题2.2 函数的单调性与最值
一轮总复习
【考情分析】
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
一轮总复习
【知识清单】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区
【变式探究】（2020·山西临汾模拟）判断并证明函数 f(x)＝ax2＋1(其中 1＜a＜3)在 x
x∈[1,2]上的单调性．
【解析】
法一：(导数法)因为 f′(x)＝2ax－ 1 ＝2ax3－1，
x2
x2
因为 1≤x≤2，∴1≤x3≤8，
又 1＜a＜3，
所以 2ax3－1＞0，
所以 f′(x)＞0，
f
x
在
1 2
,
1 2
上单调递增，排除
B；当
x
,
1 2
时，
f
x
ln 2x 1 ln 1 2x
ln
2x 1 2x 1
ln 1
2 2x 1
，
1 2 在
2x 1
,
1 2
上单调递减，
f
ln
在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：
f
x
在
,
1 2
上单调递减，D
正确.
【方法技巧】确定函数单调性的方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导 数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由 图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义 域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接， 不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复 合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
B．[0,2)
C．[0,1)
D．[－1,1)
【答案】C 【解析】因为函数 f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递 增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得 0≤a＜1，故选 C。
高频考点五 根据函数的单调性求参数
例 5.（2020·辽宁省新民市第一中学模拟）函数 y＝x－x－a－5 2在(－1，＋∞)上单调递增，
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D叫做 y＝f(x)的单调区
间．
2．函数的最值
前提
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
①对于任意的 x∈I，都 条件 有 f(x)≤M ；
结合条件得[0，a]⊆
－π，3π 44
，∴a≤3π，即 4
amax＝34π.
【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法(1)单调性法：先确定函 数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再 观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变 形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值， 求出最值.
又 f x ln 1 2x ln 2x 1 ln 2x 1 ln 2x 1 f x ， f x 为定义域上
的奇函数，可排除
AC；当
x
1 2
,
1 2
时，
f
x
ln 2x 1 ln 1 2x ，
y
ln
2x
1
在
1 2
,
1 2
上单调递增，y
ln 1 2x
在
1 2
,
1 2
上单调递减，
法二：(单调性法)依题意，h(x)＝ log2x，0＜x≤2， －x＋3，x＞2.
当 0＜x≤2 时，h(x)＝log2 x 是增函数， 当 x＞2 时，h(x)＝3－x 是减函数， 所以 h(x)在 x＝2 时取得最大值 h(2)＝1.
高频考点四 函数单调性的应用
例 4（. 2020·辽宁师大附中模拟）已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称， －1
A. 是偶函数，且在(1 , ) 单调递增 2
C. 是偶函数，且在(, 1) 单调递增 2
B. 是奇函数，且在( 1 , 1) 单调递减 22
D. 是奇函数，且在(, 1) 单调递减 2
一轮总复习
【答案】D
【解析】由
f
x ln
2x 1 ln
2x 1
得
f
x
定义域为
x
x
1
2
，关于坐标原
点对称，
A.π B.π C.3π D．π
4
2
4
【答案】C
【解析】∵f(x)＝cos x－sin x＝－
源自文库
2sin
x－π 4
，∴当
x－π∈
－π，π 22
－π，3π ，即 x∈ 4 4 时，
4
y＝sin
x－π 4
单调递增，f(x)＝－
2sin
x－π 4
单调递减，∴
－π，3π 44
是 f(x)在原点附近
的单调减区间，
3，2 2
，故选
C。