运筹学-1-线性规划

3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
第一章 线性规划
线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量
目标函数 约束条件
Decision variables
Objective function Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0
A 2 2 12
B 1 2 8
C 4 0 16
D 0 4 12
利润 （元）
Ⅰ Ⅱ
有效台时
2 3
第一章 线性规划
某厂生产三种药物，这些药 物可以从四种不同的原料中 提取。下表给出了单位原料 可提取的药物量
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示； (2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的 线性等式或线性不等式表示； (3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
建模步骤
(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。 一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量； (2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束； (3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是 max 还是 min。
解：
习题3
1.决策变量：设四种原料的使用
量分别为：x1、x2 、x3 、x4 2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
2x1
+4 x3 +2 x4 ＝200
≤180
要求：生产A种药物至少160 单位；B种药物恰好200单位， C种药物不超过180单位，且 使原料总成本最小。
x1 X xn
a1 j Pj a mj
b1 B bm
矩阵形式：
max(min) Z CX AX ( ) B X 0
其中： C (c1 c 2 c n )
特点：
(1) 目标函数求最大值
i 1, 2, ,n
,m
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零
(3) 决策变量xj为非负。
如何转化为标准形式
目标函数的转换 如果是求极小值即min z c j x j ，则可将目标函数乘以 (-1)，可化为求极大值问题。 即 也就是：令 z z ，可得到上式。 变量的变换 若存在取值无约束的变量 x j ，可令 x j xj xj 其中：xj , xj 0
习题 Warm Up
将下列非标准型线性规划化为标准型： Min f(x) =3x1-2x2+4x3 s.t. 2 x1+3x2 +4x3 ≥300 x1+5x2 +6x3 ≤400 x1+x2 +x3 ≤200 x1 ≥0, x2 ≥0 ,x3 正负不限
第一章 线性规划
例一：
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、 乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设 备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种 设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 3 2 0 产品乙 2 1 3 设备能力 （h） 65 40 75
利润（元/件）
1500
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
第一章 线性规划
例二：
某混合饲料加工厂计划从市场上购买甲、乙两种原料 生产一种混合饲料。混合饲料对VA、VBl、VB2和VD的最 低含量有一定的要求。已知单位甲、乙两种原料VA、 VBl、VB2和VD的含量，单位混合饲料对VA、VBl、VB2和 VD的最低含量以及甲、乙两种原料的单位价格如表所示。 原料甲 原料乙 混合饲料最低含量 VA含量 0.5 0.5 2
如何转化为标准形式
将 x 2 3 x 3 5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x 1 x 2 2 x 3 5 x 1 , x 2 0, x 3 无 约 束
如何转化为标准形式
将线性规划问题化为标准型
习题四：
minZ x 1 2 x2 3 x1 8 x2 5 x1 3 x2 4 x 0, x 无约束 2 1
解：
, ,, maxZ x1 2( x2 x2 ) , ,, 3x1 8( x2 x2 ) x3 5 , ,, x1 3( x2 x2 ) x4 4 x , x, , x,, , x , x 0 1 2 2 3 4
运筹学
管理学院 朱卫未 zhuww@
运 筹 帷 幄 之 中
第一章
线性规划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
第一章 线性规划
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
LP模型的应用
第一章 线性规划
• 1. 规划问题
线性规划数学模型的一般形式
目标函数：
max (min) z c1 x1 c2 x2 a11 x1 a12 x2
cn xn
a1n xn ( ) b1 amn xn ( ) bm
约束条件：
am1 x1 am 2 x2 x1 0 xn 0
如何转化为标准形式
将线性规划问题化为标准型 Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0； x2无约束 解： Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到 max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦
标准形式如下：
max Z 2 x1 x 2 3( x 3 x 3 ) 0 x4 0 x5 7 5 x1 x 2 ( x 3 x3 ) x4 ) x x5 2 x1 x 2 ( x 3 3 ) x 5 3 3 5 x1 x 2 2( x 3 , x 3 , x4 , x5 0 x1 , x 2 , x
maxz z c j x j
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
a x
ij
j
bi
a
ij
x j x n i bi
称为松弛变量
x n i 0
a
ij
x j bi
a
ij
x j x n i bi
称为剩余变量
x n i 0
常量 bi＜0 的变换:约束方程两边乘以（－1）
习题五：
习题 Warm Up
某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的 货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 编队形式 货运成本 （千元／队） 货运量 （千吨）
拖轮
A型 驳船
B型 驳船
1
1 2
1 1
2 —
— 4
36 36
25 20
2
3
4
2
1
2
—
4
4
72
27
40
20
船只种类 拖 轮 A型驳船 B型驳船
船只数
30
航线号
1 2
合同货运量
200 400
34
52
问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？
习题 Warm Up
解： 设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本 min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30 2x1 + 2x3 ≤ 34 4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52 25x1+20x2 ＝200 40x3+20x4 ＝400 xj ≥ 0 （ j = 1,2,3,4）
例四：
如何转化为标准形式
0 替换 x3 ，且 x , x 用 x x 3 3 3 3
例四：
解: (1)因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准型中 要求变量非负，所以
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
简写为： max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m ) (j 1 2 n)
xj 0
向量形式： m ax (min) z CX
p j x j ( ) B X 0
其中： C (c1 c 2 c n )
项目 设备 A（h） 设备 B（h） 调试工序（h） 利润（元） Ⅰ 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
习题1
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5 x1， x2≥0
VBl含量 VB2含量 VD含量 原料单价(元)
1 0.2 0.5 0.3
0.3 0.6 0.2 0.5
3 1.2 2
问该加工厂应如何搭配使用甲乙两种原料，才能使混合饲料 在满足VA、VBl、VB2和VD的最低含量要求条件下，总成本最小?
第一章 线性规划
污水处理问题
500万m3 1000元/万m3 化工厂1 2万m3 化工厂2 200万m3 1.4万m3 800元/万m3
a11 a1 n A a m 1 a mn
x1 X xn
b1 B bm
标准形式
max Z c j x j
j 1
n
n aij x j bi s.t j 1 x 0, j 1, 2, j
2500
求该工厂应该如何生产才能获得最大利润。
Maximize
目标函数 约束条件
subject to
Max
z =1500x1+2500x2
s.t. 3x1+2x2≤ 65
2x1+ x2≤ 40
3x2≤ 75
x1 ,x2 ≥0
第一章 线性规划
某厂生产两种产品，下表给 出了单位产品所需资源及单 位产品利润
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
例三：
环保要求河水含污低于2‰，河水可自身净 化20%。 问：化工厂1、2每天各处理多少污水， 使总费用最少？
第一章 线性规划
已知资料如下表所示，问如 何安排生产才能使利润最大？ 或如何考虑利润大，产品好 销。
设备 产 品
习题2
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则 有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：