圆锥曲线与方程教案

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：

课题椭圆及其标准方程第 1 课时

三维目标1、了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义及其标准方程。

2、通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导，培养学生的分析探索能力，熟练掌握解决解析问题的方法—坐标法。

3、通过对椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，让学生体会运动变化、对立统一的思想，提高对各种知识的综合运用能力．

重点椭圆的定义和椭圆的标准方程中

心

发

言

人

周鹏

难点椭圆的标准方程的推导．

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教学

(一)椭圆概念的引入

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于

|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强

过

程

调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是

椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平

面”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示

学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜| F1F2

|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条

件：“此常数大于| F1F2 |”．

(二)椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标

法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)

化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，

注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法

是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设| F1F2 |=2c(c

＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，

0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为

P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

(3)代数方程

(4)化简方程（学生板演，教师点拨）

2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、

F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．

教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题讲解

例、平面两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

思考：焦点F1、F2放在y轴上呢？

（四）课堂练习：

(五)小结

1．定义：椭圆是平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形

备课组长签字：天波年月日附注：课型填“常规课”或“复习课”或“习题课”或“多媒体课”。

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教 学 过 程

(一)复习提问

1．椭圆的定义是什么？

2．椭圆的标准方程是什么？ (二)几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一。

1、围

即|x|≤a ，|y|≤b ，这说明椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里，注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取围以外的点．

2．对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．

设问：为什么“把x 换成-x ，或把y 换成-y ？，或把x 、y 同时换成-x 、-y 时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴或原点对称的” 呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x 换成-x 而方程不变，那么当点P(x ，y)在曲线上时，点P 关于y 轴的对称点Q(-x ，y)也在曲线上，所以曲线关于y 轴对称．类似可以证明其他两个命题．

同时向学生指出：如果曲线具有关于y 轴对称、关于x 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x 轴和原点对称，那么它一定关于y 轴对称．

事实上，设P(x ，y)在曲线上，因为曲线关于x 轴对称，所以点P 1(x ，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P 1关于原点对称点P 2(-x ，y)必在曲线上．因P(x ，y)、P 2(-x ，y)都在曲线上，所以曲线关于y 轴对称．

最后指出：x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．

3．顶点