随机过程的数字特征汇总

1 A2cos 2f0 (1t 2
2t ) 1 2
2
A
2 1 0 2
cos[2f0 (t1 t2 ) 2]d
1 A2cos 2f0 (1t 2t ) 2
随机相位信号的平均功率
3. 计算举例 随机频率信号的均值
X (t ) cos 2f0t
3. 计算举例
1
0.8
0.6
0.4
mu(t)
本节小结：
均值与方差 均值反映了随机过程取值的一个分布中心 方差反映了随机过程取值偏离均值的偏离程度
自相关函数与自协方差函数 反映了任意两个时刻随机过程取值的相关性
计算举例 随机正弦信号的数字特征
ft
f t
21
2
1 1
32
( ) cos 2 0(t 1 t 2
f t0 1 2[ ]
( ) cos 2 (t t0 1 2 f t0 1 2cos2
3. 计算举例 随机相位信号的均值和自相关函数
X (t ) A cos(2f0t )
E[ X (t )] E[ A cos(2f0t )]
2 0
A
cos(2f0t
)21
d
0
X (t)
随机相位信号任意时刻
t
取值的平均值为零
3. 计算举例 随机相位信号的均值和自相关函数
RX (t1 , t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )} E{A cos(2f0t1 ) A cos(2f0t2 )}
1 A2E{cos 2f0 (t1 t2) cos[2f0(t1 2t ) 2]} 2
0.2
0
-0.2
-0.4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (seconds)
Matlab程序
fo=2; % Maximum frequency. N=1000; % Number of realizations. t=[-4.995:0.01:4.995]; % Time axis. F=fo*rand(N,1); % Uniform frequencies. x=cos(2*pi*F*t); % Each row is a realization of process. sample_mean=sum(x)/N; % Compute sample mean. true_mean=sin(2*pi*fo*t)./(2*pi*fo*t); % Compute ensemble mean. plot(t,sample_mean,'-',t,true_mean,'--') % Plot results. xlabel('t (seconds)'); ylabel('mu(t)');
(t ) mX2
(t )
平均直流 功率。
平均交流
功率。
2. 自相关函数与自协方差函数 自相关函数(Autocorrelation Function)的定义：
自相关函数反映了随机过程在 两个不同的时刻取值的相关性。
2. 自相关函数与自协方差函数
自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关 性越强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱， 自相关函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时， 其相关性应是最强的，所以RX(t,t)最大。
2.2-2 随机过程的数字特征
均值与方差 自相关函与自协方差函数 计算举例
定义：
1. 均值与方差(Mean and Variance)
(1) 均值函数
dxtxxftXEtm
XX
(2) 方差函数
2( ) {[ ( ) ( )] } 2 [ ( )] ( )X

X
1. 均值与方差(Mean and Variance) 均值与方差的物理意义
X(t1), X(t2) 统计独立
3. 计算举例
例2.2-3 随机正弦信号的数字特征 X (t ) A cos(2f0t )
=0，f0是常数，A是均匀分布于(-1,1)上的 随机变量，随机幅度信号
A、 f0是为常数, 为均匀分布于[0, 2]上的随机变量
随机相位信号 =0，A=1, f0 均匀分布于[-B,B]上的随机变量
K X (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
2. 自相关函数与自协方差函数 常用的一些概念:
K X (t1 , t 2 ) 0 X(t1), X(t2) 不相关
RX (t1 , t 2 ) 0 X(t1), X(t2) 正交 f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 )
随机频率信号
3. 计算举例 随机幅度信号的均值和自相关函数
E[ X (t )] E[ A cos 2f0t ] E[ A]cos 2f0t 0
R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ A cos 2f0t1 A cos 2f0t2 ]
0 1 2 0 2[ ]cos 2 cos 2E A
X (t )
X (t )
t
t
相关性强,变化越缓慢
2. 自相关函数与自协方差函数 自协方差函数(Autocovariance Function)的定义：
K X (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][ X (t2 ) mX (t2 )]} E[ X (t1 ) X (t2 )] mX (t1 )mX (t2 )
X(t)-----单位电阻上的电压
X2(t)/1-----消耗在单位电阻上的瞬时功率
[X(t)-mx(t)]2/1-----消耗在单位电阻上的瞬时交流功率
E{[X(t)-mx(t)]2/1}-----消耗在单位电阻上的瞬交流功率
的统计平均值
表示消耗在 单位电阻上 的总的平均 功率。
E{X 2(t )} X2