向量自回归模型,VAR
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云南大学发民研究院 16
Yt c Π1 Π 2 Y 0 I 0 t 1 Yt 2 0 0 I 0 0 NK 1 0 Yt k 1 NK 1 令 Yt (Yt , Yt 1 , Yt 2 ....Yt k 1 )NK 1 C (c,0,0....0)NK 1 1 2 I 0 A 0 I ... ... 0 0
估计VAR的EVIEW操作
• 打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate VAR功能。 作相应选项后，即可得到VAR的表格式输出方式。在VAR 模型估计结果窗口点击View 选 representation功能可 得到VAR的代数式输出结果。 • VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态 解）。 • VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接双击 Model）。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Dynamic solution（动态 解）。
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2、VAR 模型
• Yt=+1Yt-1+ut为例 • 改写为：（I- 1L）Yt=+ut • VAR模型稳定的条件是特征方程|1-λI|=0 的单位圆以内，特征方程|1-λI|=0的根 就是1的特征值。
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例：N=1，k=1时的VAR模型
y1t 5 / 8 1 / 2 y1,t 1 u1t y •= y + u 1 / 4 5 / 8 2t 2,t 1 2t | I - 1L |
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6、VAR模型的稳定性特征
• 稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某 一个方程的新息（innovation）过程上时，随着 时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不 消失，则系统是不稳定的。
Yt c 1Yt 1 ut 采用迭代方式计算, 对于t期,则有 Yt ( I 1 ...
产生的问题是什么? 无法捕捉两个变量之间的关系 解决办法:建立两个变量之间的关系
两个变量y1t , y2t 滞后1期的VAR模型为例 : y1,t c1 11.1 y1,t 1 12.1 y2,t 1 u1t y2,t c2 21.1 y1,t 1 22.1 y2,t 1 u2t 其中u1t , u2t IID(0, 2 ), cov(u1t , u2t ) 0
1 0 (5 / 8) L (1/ 2) L 1 (5 / 8) L (1/ 2) L 0 1 (1/ 4) L (5 / 8) L (1/ 4) L 1 (5 / 8) L (1 (5 / 8) L) 2 1/ 8L2 (1 0.987 L)(1 0.27 L) 0
Π k 1 Π k Yt 1 ut Y 0 0 0 t 2 Yt 3 0 0 0 I 0 NK NK 0 NK 1 Yt k NK 1
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注意的问题
• （1）因为L1=1/0.978 =1/1, L2 =1/0.27=1/2， 所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/ 。 • （2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程 (L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程 稳定的条件是（相反的）特征方程(L) = 0的根 都要在单位圆以外；而在VAR模型中通常用特征方 程 |1-I|=0的根描述模型的稳定性。VAR模型稳 定的条件是，特征方程|1-I|=0的根都要在单位 圆以内，或相反的特征方程|I–L1|=0的根都要 在单位圆以外。
求解得: L1 1/ 0.978 1.022 L2 1/ 0.27
云南大学发民研究院 因为, L1 , L2都大于1, 则对应的 VAR模型是稳定的. 13
3、VAR模型稳定性的另一判别法
• 特征方程 | 1L -λL |=0 的根都在单位圆以内。 特征方程的根就是П1的特征值。 • 上述例子则有：1 = 0.9786, 2 = 0.2714
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写成矩阵形式是 : y1t c1 11.1 12.1 y1,t 1 u1t y + y = c + 2t 2 21.1 22.1 2,t 1 u2t y1t 11.1 12.1 u1t c1 设Yt = ,C= , 1 , ut c2 y2 t 21.1 22.1 u2 t 则Yt c 1Yt 1 ut 由此, 含有N 个变量滞后k期的VAR模型表示如下 : Yt c 1Yt 1 2Yt 2 ...... kYt k ut , ut IID (0, )
50000 40000
30000
20000
wenku.baidu.com10000
0 55 60 65 70 GP 75 80 CP 85 IP
3
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1953—1997年我国rgp,rcp,rip
.4 .3 .2 .1 .0 -.1 -.2 -.3 -.4 -.5 55 60 65 70 75 80 RCP 85 90 RIP 95
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4、K>1的VAR模型稳定性
• 对于k>1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换 （companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR 模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。 • 给出K阶VAR模型： • Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut • 配上如下等式：Yt-1=Yt-1 Yt-2=Yt-2 … • Yt-k+1=Yt- k+1 • 将以上K个等式写成分块矩阵形式
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LNGP
LNCP
DLNCP
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一、向量自回归模型定义
• 1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 • VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称 向量自回归模型。
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假设y1t , y2t 之间存在关系, 若分别建立两个回归模型 y1,t f ( y1,t 1 , y1,t 2 ,......) y2,t f ( y2,t 1 , y2,t 2 ,......)
2 1 t 1 1
)c Y 1i ut i
t 1 0 i 0
t 1
Yt 表示成了漂移向量c, 初始值向量Y0和新息向量ut的函数, 则系统是否稳定可以通过观察漂移向量c, 初始值向量Y0 和新息向量ut 经受冲击后的再现.
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假定模型是稳定的，将有如下3个结论
I 1 L 2 L I 0 1 2 I AL L 0 IL I 0 I I | I 1 L 2 L2 | 0 的全部根必须在单位圆以外.
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5、VAR稳定性的EVIEW操作
• 求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR模 型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, AR Roots Table 功能，即可 得到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可 得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的 位臵图。
... k 1 k ... 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... I 0 NK NK
U t ut 0 0 ... 0 NK 1 上式可写为 Yt C AYt 1 U t
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VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程 |A-I|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特 征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。 注意：特征方程中的A是NkNk阶的。特征方程中的 I也是NkNk阶的 • 例：2阶VAR的友矩阵变换为例
• （1）假设t = 1时，对c 施加一个单位的冲击， 那么到t期的影响是
(I 1 12 ... 1t 1 ) 当t 时,此影响是一个有限值,(I 1 )1
• (2）假设在初始值Y0上施加一个单位的冲击。到t 期的影响是 1t。随着t ，1t 0，影响消 失（因为对于平稳的VAR模型，1中的元素小于1， 所以随着t ，取t次方后，1t 0）。
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二、VAR的稳定性
• VAR模型稳定的充分与必要条件是Π1 的所有特征 值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为 虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的 圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。
1、单方程情形
AR(2) yt 1 yt 1 2 yt 2 ut 改写为 (1-1 L 2 L2 )yt L yt ut yt稳定的条件是 L 0的根据必须在单位圆以外
(3)从 1i ut i 项可以看出白噪声的冲击离 , t期越远, 影响力就越小.
i 0 t 1
i 0
t 1
上述方程可以用OLS估计吗?
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VAR模型的特点：
• （1）不以严格的经济理论为依据。 –①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的 变量包括在VAR模型中； –②确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互 影响的绝大部分。 • （2）VAR模型对参数不施加零约束。 • （3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量， 所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不 存在。 • （4）有相当多的参数需要估计。当样本容量较小 时，多数参数的估计量误差较大。 • （5）无约束VAR模型的应用之一是预测。 • （6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做 样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势， 云南大学发民研究院 9 而对短期波动预测不理想。
第二部分 时间序列分析
——向量自回归（VAR）模型
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1
内容安排
• • • • • • • 一、向量自回归模型定义 二、VAR的稳定性 三、VAR模型滞后期k的选择 四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解 五、格兰杰非因果性检验 六、VAR与协整 七、实例
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1953—1997年我国gp,cp,ip
RGP
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4
1953—1997年我国Lngp,Lncp,Lnip
11 10 9 8
-0.4 0.8 0.4 0.0
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-0.8
6
-1.2
5 4 55 60 65 70 75 80 85 90 LNIP
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-1.6
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55
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65 DLNGP
70
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90 DLNIP
Yt c Π1 Π 2 Y 0 I 0 t 1 Yt 2 0 0 I 0 0 NK 1 0 Yt k 1 NK 1 令 Yt (Yt , Yt 1 , Yt 2 ....Yt k 1 )NK 1 C (c,0,0....0)NK 1 1 2 I 0 A 0 I ... ... 0 0
估计VAR的EVIEW操作
• 打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate VAR功能。 作相应选项后，即可得到VAR的表格式输出方式。在VAR 模型估计结果窗口点击View 选 representation功能可 得到VAR的代数式输出结果。 • VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态 解）。 • VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接双击 Model）。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Dynamic solution（动态 解）。
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2、VAR 模型
• Yt=+1Yt-1+ut为例 • 改写为：（I- 1L）Yt=+ut • VAR模型稳定的条件是特征方程|1-λI|=0 的单位圆以内，特征方程|1-λI|=0的根 就是1的特征值。
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例：N=1，k=1时的VAR模型
y1t 5 / 8 1 / 2 y1,t 1 u1t y •= y + u 1 / 4 5 / 8 2t 2,t 1 2t | I - 1L |
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6、VAR模型的稳定性特征
• 稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某 一个方程的新息（innovation）过程上时，随着 时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不 消失，则系统是不稳定的。
Yt c 1Yt 1 ut 采用迭代方式计算, 对于t期,则有 Yt ( I 1 ...
产生的问题是什么? 无法捕捉两个变量之间的关系 解决办法:建立两个变量之间的关系
两个变量y1t , y2t 滞后1期的VAR模型为例 : y1,t c1 11.1 y1,t 1 12.1 y2,t 1 u1t y2,t c2 21.1 y1,t 1 22.1 y2,t 1 u2t 其中u1t , u2t IID(0, 2 ), cov(u1t , u2t ) 0
1 0 (5 / 8) L (1/ 2) L 1 (5 / 8) L (1/ 2) L 0 1 (1/ 4) L (5 / 8) L (1/ 4) L 1 (5 / 8) L (1 (5 / 8) L) 2 1/ 8L2 (1 0.987 L)(1 0.27 L) 0
Π k 1 Π k Yt 1 ut Y 0 0 0 t 2 Yt 3 0 0 0 I 0 NK NK 0 NK 1 Yt k NK 1
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注意的问题
• （1）因为L1=1/0.978 =1/1, L2 =1/0.27=1/2， 所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/ 。 • （2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程 (L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程 稳定的条件是（相反的）特征方程(L) = 0的根 都要在单位圆以外；而在VAR模型中通常用特征方 程 |1-I|=0的根描述模型的稳定性。VAR模型稳 定的条件是，特征方程|1-I|=0的根都要在单位 圆以内，或相反的特征方程|I–L1|=0的根都要 在单位圆以外。
求解得: L1 1/ 0.978 1.022 L2 1/ 0.27
云南大学发民研究院 因为, L1 , L2都大于1, 则对应的 VAR模型是稳定的. 13
3、VAR模型稳定性的另一判别法
• 特征方程 | 1L -λL |=0 的根都在单位圆以内。 特征方程的根就是П1的特征值。 • 上述例子则有：1 = 0.9786, 2 = 0.2714
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写成矩阵形式是 : y1t c1 11.1 12.1 y1,t 1 u1t y + y = c + 2t 2 21.1 22.1 2,t 1 u2t y1t 11.1 12.1 u1t c1 设Yt = ,C= , 1 , ut c2 y2 t 21.1 22.1 u2 t 则Yt c 1Yt 1 ut 由此, 含有N 个变量滞后k期的VAR模型表示如下 : Yt c 1Yt 1 2Yt 2 ...... kYt k ut , ut IID (0, )
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• 对于k>1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换 （companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR 模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。 • 给出K阶VAR模型： • Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut • 配上如下等式：Yt-1=Yt-1 Yt-2=Yt-2 … • Yt-k+1=Yt- k+1 • 将以上K个等式写成分块矩阵形式
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一、向量自回归模型定义
• 1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 • VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称 向量自回归模型。
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假设y1t , y2t 之间存在关系, 若分别建立两个回归模型 y1,t f ( y1,t 1 , y1,t 2 ,......) y2,t f ( y2,t 1 , y2,t 2 ,......)
2 1 t 1 1
)c Y 1i ut i
t 1 0 i 0
t 1
Yt 表示成了漂移向量c, 初始值向量Y0和新息向量ut的函数, 则系统是否稳定可以通过观察漂移向量c, 初始值向量Y0 和新息向量ut 经受冲击后的再现.
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假定模型是稳定的，将有如下3个结论
I 1 L 2 L I 0 1 2 I AL L 0 IL I 0 I I | I 1 L 2 L2 | 0 的全部根必须在单位圆以外.
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5、VAR稳定性的EVIEW操作
• 求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR模 型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, AR Roots Table 功能，即可 得到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可 得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的 位臵图。
... k 1 k ... 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... I 0 NK NK
U t ut 0 0 ... 0 NK 1 上式可写为 Yt C AYt 1 U t
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VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程 |A-I|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特 征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。 注意：特征方程中的A是NkNk阶的。特征方程中的 I也是NkNk阶的 • 例：2阶VAR的友矩阵变换为例
• （1）假设t = 1时，对c 施加一个单位的冲击， 那么到t期的影响是
(I 1 12 ... 1t 1 ) 当t 时,此影响是一个有限值,(I 1 )1
• (2）假设在初始值Y0上施加一个单位的冲击。到t 期的影响是 1t。随着t ，1t 0，影响消 失（因为对于平稳的VAR模型，1中的元素小于1， 所以随着t ，取t次方后，1t 0）。
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二、VAR的稳定性
• VAR模型稳定的充分与必要条件是Π1 的所有特征 值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为 虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的 圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。
1、单方程情形
AR(2) yt 1 yt 1 2 yt 2 ut 改写为 (1-1 L 2 L2 )yt L yt ut yt稳定的条件是 L 0的根据必须在单位圆以外
(3)从 1i ut i 项可以看出白噪声的冲击离 , t期越远, 影响力就越小.
i 0 t 1
i 0
t 1
上述方程可以用OLS估计吗?
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VAR模型的特点：
• （1）不以严格的经济理论为依据。 –①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的 变量包括在VAR模型中； –②确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互 影响的绝大部分。 • （2）VAR模型对参数不施加零约束。 • （3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量， 所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不 存在。 • （4）有相当多的参数需要估计。当样本容量较小 时，多数参数的估计量误差较大。 • （5）无约束VAR模型的应用之一是预测。 • （6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做 样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势， 云南大学发民研究院 9 而对短期波动预测不理想。
第二部分 时间序列分析
——向量自回归（VAR）模型
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内容安排
• • • • • • • 一、向量自回归模型定义 二、VAR的稳定性 三、VAR模型滞后期k的选择 四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解 五、格兰杰非因果性检验 六、VAR与协整 七、实例
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